CPGE TSI – 1ère année Devoir Surveillé de Mathématiques Année 2023-2024
Sujet : Géométrie, Systèmes et Réels
Durée : 4 heures – Calculatrice interdite
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constitueront un élément important pour
l’appréciation des copies. Les résultats importants doivent être encadrés.
Exercice 1 : Analyse réelle (4 points)
1. Question de cours : Soit Aune partie non vide et majorée de R. Énoncer précisément la
définition de la borne supérieure de A, notée sup(A).
2. Soient (x, y)∈R2. Démontrer l’inégalité triangulaire inversée : |x|−|y|≤ |x−y|.
3. Densité : Énoncer la propriété de densité de l’ensemble des rationnels Qdans R. Que signifie-
t-elle concrètement pour un intervalle ouvert non vide ?
4. Pour n∈N∗, on définit la somme : Sn=Pn
k=1 1
k(k+1) .
(a) Montrer que pour tout k∈N∗,1
k(k+1) =1
k−1
k+1 .
(b) En déduire une expression simplifiée de Sn.
(c) Déterminer sup{Sn|n∈N∗}. Justifier soigneusement.
Exercice 2 : Systèmes Linéaires (5 points)
On considère le système linéaire (Sm)suivant, d’inconnues (x, y, z)∈R3et de paramètre réel m∈R:
(Sm) :
mx +y+z= 1
x+my +z=m
x+y+mz =m2
1. Calculer le déterminant ∆mdu système. Montrer que ∆m= (m−1)2(m+ 2).
2. Pour quelles valeurs de mle système est-il un système de Cramer ?
3. Résoudre le système (Sm)dans le cas où il est de Cramer.
4. Étude de cas particuliers :
(a) Résoudre le système pour m= 1. L’ensemble des solutions forme-t-il un point, une droite
ou un plan de l’espace ?
(b) Résoudre le système pour m=−2. Le système est-il compatible ? Interpréter géométrique-
ment la position relative des trois plans définis par les équations du système.
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CPGE TSI – 1ère année Devoir Surveillé de Mathématiques Année 2023-2024
Exercice 3 : Géométrie Plane - Point de Torricelli (5 points)
Soit ABC un triangle non aplati du plan orienté. On construit extérieurement à ABC trois triangles
équilatéraux ABC′,BCA′et CAB′.
1. Soit rla rotation de centre Aet d’angle π/3.
(a) Déterminer l’image du point C′par ret l’image de Bpar r−1(rotation de centre Aet
d’angle −π/3).
(b) Justifier que r(C′)=Bet r(C)=B′.
(c) En déduire que les segments [AA′],[BB′]et [CC′]ont la même longueur.
2. Vision critique : On appelle point de Fermat le point Ftel que la somme des distances F A +
F B +F C soit minimale. Si l’un des angles du triangle ABC est strictement supérieur à 120◦, le
point Fest-il situé à l’intérieur du triangle ? Justifier par un argument géométrique simple.
Problème : Géométrie de l’Espace - Perpendiculaire commune (6 points)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,⃗
i,⃗
j, ⃗
k). On considère les droites :
—D1passant par A(1,0,0) de vecteur directeur ⃗u1(0,1,1).
—D2passant par B(0,1,0) de vecteur directeur ⃗u2(1,0,1).
Partie A : Position relative
1. Démontrer que les droites D1et D2ne sont pas parallèles.
2. Démontrer que les droites D1et D2ne sont pas coplanaires.
Partie B : Distance entre deux droites
3. Calculer le produit vectoriel ⃗n =⃗u1∧⃗u2.
4. Calculer la distance d(D1,D2)à l’aide de la formule :
d(D1,D2) = |⃗
AB ·(⃗u1∧⃗u2)|
∥⃗u1∧⃗u2∥
Partie C : Construction de la perpendiculaire commune
On cherche P1(x1, y1, z1)∈ D1et P2(x2, y2, z2)∈ D2tels que la droite (P1P2)soit orthogonale à D1et
D2.
5. Donner les représentations paramétriques de D1(paramètre s) et D2(paramètre t).
6. Exprimer le vecteur ⃗
P1P2en fonction de set t.
7. Montrer que les conditions d’orthogonalité se traduisent par le système :
(2s−t=−1
−s+ 2t= 1
8. En déduire les valeurs de set t, puis les coordonnées des points P1et P2.
9. Vérifier enfin que la distance P1P2correspond au résultat de la question 4.
Fin de l’énoncé.
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