Fiche d'Exercices Limites de Fonctions

Term-LIM-02 Limites
Fiche de calcul no2
Limites de suites
Quelques calculs généraux pour commencer
Calcul 2.1 —Quelques équations.
Donner la solution dans Rdes équations suivantes.
a) 10
3x+5 9= 0 .....................
b) 3x+ 2
−2x+ 3 = 1 .....................
c) x+ 5
x+ 2 =2x+ 5 2x+ 1 ..................
Calcul 2.2 —Quelques inéquations.
Résoudre dans Rles inéquations suivantes.
On donnera la solution sous la forme d’un intervalle ou de la réunion de deux intervalles.
a) 2
7x−6>0..................................................
b) (2x−1)(2 −3x)⩽0.........................................
c) 2x−12
1−x⩾0.................................................
d) x2−9
x⩽0..................................................
Théorèmes de comparaison
Calcul 2.3 —Autour de (−1)n.
Pour chacune des suites définies par les expressions suivantes, dire si « oui » ou « non », elle admet une
limite (finie ou infinie).
a) (−1)n........
b) (−1)2n+1 .....
c) n(−1)n.......
d) n+ (−1)n. . . .
e) 2n(−1)n.....
f) n(−1)2n......
g) cos((−1)nπ). .
h) sin((−1)nπ). .
Fiche no2. Limites de suites 9

Calcul 2.4
Quelle est la limite des suites définies par les expressions suivantes ?
a) 13
17n
cos(n)
a−∞ b13
17 c1d0e+∞
............................................................................................
b) (9 + (−1)n)×(0,2)n
a−10 b−2c−1d0e1f1,8
............................................................................................
c) n+ sin(nπ/2)
3n
a−1b0c1/3d1/2e1f3
............................................................................................
Calcul 2.5
Soit a∈R. On considère une suite réelle (un)nvérifiant
∀n∈N∗, a2−a1 + 1
n+1−a n⩽un⩽a+a n.
a) Déterminer lim
n→∞ a+a
n, en fonction de a..............................................
b) Déterminer lim
n→∞a2−a1 + 1
n+1−a n, en fonction de a.........................
c) Pour quelle valeur de ale théorème des gendarmes permet-il d’affirmer que la suite (un)nconverge ?
............................................................................................
d) Dans ce cas, combien vaut alors lim
n→∞ un? .............................................
Calcul 2.6 —Des inégalités.
Soit la suite (un)ndéfinie sur Npar un=n+ (−1)n
n−(−1)n.
a) Lequel des encadrements suivants est-il vérifié ?
a1⩽un⩽1
bn+ 1
n−1⩽un⩽n−1 n+ 1
cn−1
n+ 1 ⩽un⩽n+ 1 n−1
dn−1
n⩽un⩽n+ 1 n
en−2
n−1⩽un⩽n+ 2 n−1
............................................................................................
b) Quelle est la limite de la suite (un)n? .................................................
10 Fiche no2. Limites de suites

Calcul 2.7 —Une inégalité très costaude.
Soit a∈R. On considère une suite réelle (un)nvérifiant
∀n∈N∗,na +√n+n
n6
−1−a6
n⩽un⩽a+a n6+2an2+ 7n+ 18 n2+n+ 1 .
a) Quel est le degré du polynôme (X+ 1)6−X6−2X−1? ..............................
On note P= (X+ 1)6−X6−2X−1. Calculer :
b) P(0) ......... c) P(−1) ....... d) P−1
2.....
e) Déterminer a, b, c tels que (X+ 1)6−X6−2X−1=X(X+ 1)(2X+ 1)(aX2+bX +c).
........................................................................
f) Pour quelles valeurs de ale théorème des gendarmes permet-il d’affirmer que la suite (un)nconverge ?
........................................................................
g) Combien vaut alors lim
n→∞ unen fonction de a? .....................
Formes indéterminées
Calcul 2.8 —Reconnaître une forme indéterminée (I).
Pour chacune des suites définies par les expressions suivantes, dire si « oui » ou « non », elle présente une
forme indéterminée.
a) n2+ 3n+ 1 ..............
b) √n−n..................
c) (1,001)n×1
n19 ...........
d) 3
2+7 n+49 n2+1 8n3.......
Calcul 2.9 —Reconnaître une forme indéterminée (II).
Pour chacune des suites définies par les expressions suivantes, dire si « oui » ou « non », elle présente une
forme indéterminée.
a) √2n−3
n2+ 5 ..................
b) sin1
n
e−n...................
c) ln1
n
3−n...................
d) −42n−1×cos((−1)nπ). . .
Fiche no2. Limites de suites 11

Calculs de limites
Calcul 2.10
Déterminer les limites des suites définies par les expressions suivantes.
On pourra factoriser par le terme prépondérant pour lever les indéterminations.
a) npln(n)−√nln(n)2. . . .
b) 2n−1
2n
n2−1
n2
.................
c) 5n−1
10n+ 5 ..................
d) √2n−1
n+√2.................
Calcul 2.11
Déterminer les limites des suites définies par les expressions suivantes.
On pourra factoriser par le terme prépondérant pour lever les indéterminations.
a) 3n3−n2−17
5n3+ 9n2+n...........
b) (3 −n)(2 + √n)
9−n2.........
c) 8
11 n
24
121 n...................
d) 87n−56n................
Calcul 2.12 —Avec des radicaux.
Déterminer les limites des suites définies par les expressions suivantes.
Pour lever les indéterminations, on pourra utiliser la quantité conjuguée ou factoriser par les termes pré-
pondérants.
a) √n+ 4 −√n............
b) pn2+ 2n−n............
c) √2n2−n+ 1 −n
2n+ 12 .......
d) q2n+√3n−√2n.......
Calcul 2.13
Calculer les limites des suites définies par les expressions suivantes.
a) ncosnπ
2+ 3
n√n−2n.................
b) −3 exp(n) + 5 exp(3n)
exp(2n)−4 exp(n)..........
c) 7−5√n
√n+2
n
.......................
d) n+ sin(n)
−2n−4 cos(n).................
12 Fiche no2. Limites de suites

Utiliser les quantificateurs
Calcul 2.14 —À partir d’un certain rang ?
a) Écrire avec les symboles ∀et ∃la phrase « la suite (un)nest croissante à partir d’un certain rang ».
.....................
b) On suppose que lim
n→∞ un= +∞.
Peut-on en déduire, en général, que la suite (un)nest croissante à partir d’un certain rang ?
a Oui b Non
............................................................................................
c) On suppose que lim
n→∞ un= 2 et que ∀n∈N, un<2.
Peut-on alors en déduire, en général, que la suite (un)nest croissante à partir d’un certain rang ?
a Oui b Non
............................................................................................
Calculs plus difficiles
On peut lever certaines formes indéterminées en utilisant le taux d’accroissement. Par exemple, comme la
fonction sinus est dérivable en 0, on sait que
lim
h→0
sin(0 + h)−sin(0)
h= sin′(0).
Comme sin′= cos, cela peut se réécrire
lim
h→0
sin(h)
h= 1.
Dans les exercices qui suivent, on pourra utiliser de telles considérations pour répondre aux questions.
Calcul 2.15 —Taux d’accroissement.
a) Calculer lim
h→0
ln(1 + h)
h..........................................................
b) Calculer lim
n→∞
cos1
n−1
1
n
.......................................................
c) Calculer lim
n→∞ nq1 + 1
n−1..................................................
Fiche no2. Limites de suites 13