- UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 2023GS26NA0132
rrurr Durée : 4 heures
OFFICE DU BACCALAUREAT Séries: S2-S2A-S4-S5 – Coef. 5
siteweb :officedubac.sn Epreuve du 1er groupe
M A T H E M A T I Q U E S
Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les
calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur
utilisation sera considérée comme une fraude (Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12 08 1998).
EXERCICE 1 (03 points)
1) Soit
!
un nombre rationnel strictement positif et
"
un entier naturel. Donner les limites suivantes :
a)
!"#
!"#
$%
&
!'(
)
!#########$%#!"#
!"#
*!+(
!&
(1,5 pt)
2) Donner les primitives des fonctions suivantes :
a) '
()*+,
%
,,########$%#-"
-&
(1,5 pt)
EXERCICE 2 (04 points)
Un jeune agriculteur décide de pratiquer de la culture sous serre dans son champ. A cet effet, il choisit dans son
plan de représentation un repère orthonormal '
-./
0
1
23
1%. Il place dans ce repère deux points
4#
et
#5
dont les affixes
respectives
6.#78#6/
sont des racines du polynôme
9
défini par :
9
'
6
%
:;#60<=#
'
>?@
%
#61?A@#6?><@2
où
6#B#C
.
Son objectif est de pratiquer sa culture sous serre dans l’ensemble '
D
% des points
E
de son plan de représentation
tels que F
E4
0
0
0
0
0
0
1
?#E5
0
0
0
0
0
0
1
?;#E-
0
0
0
0
0
0
1
F
G;2
qui contient un point du segment H
45
I.
1) Vérifier que
>
et
@
sont des racines de
9
. (0,5 pt)
2) Déterminer le polynôme
J
tel que
9
'
6
%
:#
'
6<>
%
#
'
6<@
%
#J
'
6
%
K
(0,5 pt)
3) Résoudre dans
C
l’équation
9
'
6
%
:L&
(0,5 pt)
4) On pose
6.:>26/:@
et
62:#(
1?#(
1#@&
a) Placer les points
425#
et
#M#
d’affixes respectives
6.26/
et
62
dans le repère orthonormal '
-./
0
1
23
1% en
choisissant comme unité graphique
A#NO
. (0,75 pt)
b) Démontrer que
M
est le milieu de
H45I
, puis que
M
appartient à l’ensemble '
D
%
&
(0,5 pt)
c) Déterminer l’affixe
63#
du point
P
barycentre du système Q'
42>
%
#.#
'
52>
%
#.#
'
-2;
%R#, puis placer
P
. (0,5 pt)
5) Déterminer puis construire l’ensemble '
D
% des points
E
du plan tels que
F
E4
0
0
0
0
0
0
1
?#E5
0
0
0
0
0
0
1
?;#E-
0
0
0
0
0
0
1
F
G;&
(0,5 pt)
6) Le jeune agriculteur atteindra-t-il son objectif ? (0,25 pt)
EXERCICE 3 (04 points)
On considère la suite numérique '
S4
%
45657
définie par : T
S#:U
S4'( :(
8#?0
9S42"BV
.
1) Déterminer
S(#78#S1&
(0,5 pt)
2) Démontrer par récurrence que :
W#"BV2###S4X
Y
=&
(01 pt)
3) Soit
,
la fonction définie sur I
L2?Z
H par
,
'
)
%
:#(
!?#0
9#)&
a) Etudier le sens de variations de
,
. (01 pt)
b) En déduire par récurrence que '
S4
%
4567
est strictement décroissante. (0,5 pt)
4) Démontrer que '
S4
%
4567
est convergente et déterminer sa limite. (01pt)
PROBLEME (09 pts)
PARTIE A (02 pts)
On considère l’équation différentielle '
D
%#:
(
1#[,?[:=#(+1! ?;
.
1) Résoudre l’équation différentielle '
D\
%
]#(
1#[,?[:L&
(0,25 pt)
2) Soit
^
une fonction définie sur
_
par
^
'
)
%
:!)#(+1! ?`#ab#!#78#`#
sont des réels.
Déterminer
!#78#`
pour que
^
soit une solution de
#
'
D
%. (0,5 pt)
3) a) Soit
J
une fonction dérivable sur
_
. Posons
!:U
et
`:;&
Démontrer que
J
est solution de '
D
% si et seulement si
J<^
est solution de '
D\
%. (0,5 pt)
…/… 2
MATHEMATIQUES 2/2 2023GS26NA0132
Séries: S2-S2A-S4-S5
Epreuve du 1er groupe
b) En déduire l’ensemble des solutions de '
D
%. (0,5 pt)
4) Déterminer la solution k de '
D
%
#
dont la courbe représentative
'M:%
dans un repère orthonormal '
-.c
1
2d
1%
passe par le point
-
. (0,25 pt)
PARTIE B (07 pts)
Soient
,
la fonction définie par :
,
'
)
%
:
e'
U)<;
%
(+1! ?;####fg#)GL
)?hi
j
><)
j
><) ############fg#)kL
et l
M-
m sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité graphique
;NO
.
1) Justifier que l’ensemble de définition
n-
de
,
est égal à
_o
Q
>
R. (0,5 pt)
2) Etudier les limites aux bornes de
n-
et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus. (01,5 pt)
3) Déterminer
!"#
!"+;
-&!)
!
et interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt)
4) Etudier la continuité de
,
en
L
. (0,5 pt)
5) Etudier la dérivabilité de
,
en
L
et interpréter géométriquement les résultats obtenus. (01 pt)
6) Calculer
,\')%
puis étudier son signe sur I
<Z2L
H et sur I
L2?Z
H
o
Q
>
R
&
(0,75 pt)
7) Dresser le tableau de variations de
,
. (0,5 pt)
8) Montrer sur l’intervalle I
>#2;
H que l’équation
,
'
)
%
:L
admet une unique solution
p
et que
>2;qpq>2=&
(0,5 pt)
9) Construire l
M-
m et ses asymptotes. (0,75 pt)
10) Calculer en
NO1
l’aire
4
'
D
% de la partie
D
du plan comprise entre les droites d’équations
):;2):=2
[:<>#
et la courbe l
M-
m de
,
. (0,5 pt)
MATHEMATIQUES 1/8 2023GS26NA0132
Séries: S2-S2A-S4-S5
Epreuve du 1er groupe
Grille de correction des copies des élèves
Pour la correction des copies, il faudra tenir compte, pour chaque réponse à une question de l’épreuve
de :
ü La justesse du raisonnement pour 50% de la note. Si le raisonnement est acceptable mais
insuffisant, on donne 25% de la note.
ü L’exactitude des résultats attendus et qui sont en adéquation avec le raisonnement pour 50% de
la note.
CORRIGE
EXERCICE 1
1) Le nombre rationnel strictement positif
$
et l’entier naturel
%
sont des données inutiles. Pour le
calcul de limite, on a d’après les limites usuelles :
a)
!"#
!"#
$%
&
!'(
)
!&'((((((()*(!"#
!"#
*!+(
!&'+
(0,75+0,75 pt)
2) Une primitive de la fonction :
a) ,
-./01
*
1,+
On sait que la dérivée de la composée
23405
est la fonction ,
23405
*
5,+
Donc une primitive de la
fonction
36
,
23405,3
*
*5,
,
3
*
(789(!:(;<=>9"<=(3623405
,
3
*
?@A:B7>(@(C=7(><=89:=97+
(0,75 pt)
b)
-"
-+
On sait que
8"(5789(=<=(=C!!7
alors la dérivée de la composée
!=(,
D
5
D
*
est la fonction
."
.+
Donc une primitive de la fonction
36."
&
!
)
.
&
!
)
(8"(5789(=<=(=C!!7A789(!:(;<=>9"<=(36(!=(,
D
5
,
3
*D
?E(
:B7>(5,3*FG(7H(E(C=7(><=89:=97+
(0,75 pt)
EXERCICE 2
1)
4
,
'
*
&I,'*/JK
,
'?L
*
(
,
'
*
0?ML(
,
'
*
?'JL+
N
,
'
*
&IJKJKL?ML?'JL&G(A
donc
'
est une racine de
N
. (0,25 pt)
N
,
L
*
&IL/JK
,
'?L
*
(L0?ML(
,
L
*
?'JL&(JIL?K
,
'?L
*
JM?'JL
N
,
L
*
&(JIL?K?KLJM?'JL&GA(
donc
L
est une racine de
N
. (0,25 pt)
2) L’élève pourra déterminer
J
'
6
% par division euclidienne, par la méthode d’identification des coefficients ou par
la méthode de Hörner.
Utilisons dans ce tableau deux fois la méthode de Hörner
2
J(KJ(KL
ML
'(J(L
1
2
J'JKL
J'(?L
2
J'JKL
J'(?(L
0
L
IL
JL(?'
2
J'(JL
0
D’où
O
,
P
*
&IPJ'JL
et
N
,
P
*
&(
,
PJ'
*
(
,
PJL
*
(
,
IPJ'JL
*. (0,5 pt)
3) Les solutions dans
Q
de l’équation
N
,
P
*
&G
sont
'AL
et la racine de
O
.
O
,
P
*
&G(RIPJ'JL&G(RIP&'?L(RP&((
0?((
0(L
.
S&(
T
'ALA (
0?((
0(L
U. (0,5 pt)
…/… 2
MATHEMATIQUES 2/8 2023GS26NA0132
Séries: S2-S2A-S4-S5
Epreuve du 1er groupe
4) a)
b) L’élève pourra démontrer que
M
est le milieu de
H45I
en utilisant les affixes respectives des points
425#
et
#M#
ou en utilisant leurs coordonnées respectives.
En utilisant les affixes respectives des points
r2s#
et
#t
on a
!!"#!"
$=%"&
$=%
$+%
$𝑖 = 𝑧'%
donc
V
est
le milieu de W
XY
Z. (0,25 pt)
Démontrons que
M
appartient à l’ensemble '
D
%.
On a F
M4
0
0
0
0
0
1
?#M5
0
0
0
0
0
1
?;#M-
0
0
0
0
0
1
F
:
F
;#M-
0
0
0
0
0
1
F
:;
j
𝑧𝐶
j
:
Y
;&
Ce qui implique que F
M4
0
0
0
0
0
1
?#M5
0
0
0
0
0
1
?;#M-
0
0
0
0
0
1
F
G;&
D’où
M
appartient à l’ensemble '
D
%. (0,25 pt)
c) Déterminer l’affixe
63#
du point
P
barycentre du système Q'
42>
%#
.#
'
52>
%#
.#
'
-2;
%R
&
On a :
𝑧)= % !!"#!""$!#
%"%"$ = % %"&
*= % %
*+% %
*%𝑖.
(0,25 pt)
Voir figure pour le placement du point
P
dans le repère. (0,25 pt)
5) Comme G est le barycentre de [,
XA'
*
(\(
,
YA'
*
(\(
,
]AI
*^
(A(
donc pour tout point M du plan, on a :
_X
`
`
`
`
`
`
a
?(_Y
`
`
`
`
`
`
a
?I(_]
`
`
`
`
`
`
a
&(
,
'?'?I
*
(_b
`
`
`
`
`
`
a
(c(_X
`
`
`
`
`
`
a
?(_Y
`
`
`
`
`
`
a
?I(_]
`
`
`
`
`
`
a
&M(_b
`
`
`
`
`
`
a
+
d
_X
`
`
`
`
`
`
a
?(_Y
`
`
`
`
`
`
a
?I(_]
`
`
`
`
`
`
a
d
eI(R(
d
M(_b
`
`
`
`
`
`
a
d
eI(RM
d
_b
`
`
`
`
`
`
a
d
eI(R_be((
0
R_
appartient au disque
de centre G et de rayon
(
0f
D’où '
D
% est le disque de centre G et de rayon
(
0f
(0,25 pt)
Pour la construction de '
D
% voir figure. (0,25 pt)
6) Oui le jeune agriculteur atteindra son objectif s’il choisit les deux points
X(
et
(Y
d’affixes respectives
P1&'(79(P2&L
. Il pourra pratiquer sa culture sous serre dans la partie de son champ '
D
% sous forme
de disque qui contient au moins le point
V
milieu de W
XY
Z
A
d’affixe
P3&((
0?((
0(L+
(0,25 pt)
Les élèves pourront donner d’autres réponses possibles. A savoir :
ü Oui le jeune agriculteur atteindra son objectif s’il choisit deux points
g(
et
(h
d’affixes respectives
i4&L(79(i5&'
. Il pourra pratiquer sa culture sous serre dans la partie de son champ '
D
% sous
forme de disque qui contient au moins le point
j
milieu de W
gh
Z
A
d’affixe
i6&((
0?((
0(L+
ü Oui le jeune agriculteur atteindra son objectif s’il choisit deux points
X(
et
(Y
d’affixes respectives
P1&'(79(P2&(
0?((
0(L
. Il pourra pratiquer sa culture sous serre dans la partie de son champ
'
D
% sous forme de disque qui contient au moins le point
Y
.
ü Oui le jeune agriculteur atteindra son objectif s’il choisit deux points
X(
et
(Y
d’affixes respectives
P1&(
0?((
0(L(79(P2&'
). Il pourra pratiquer sa culture sous serre dans la partie de son champ
'
D
% sous forme de disque qui contient au moins le point
X
.
ü Oui le jeune agriculteur atteindra son objectif s’il choisit deux points
X(
et
(Y
d’affixes
respectives
P1&L(79(P2&(
0?((
0(L
. Il pourra pratiquer sa culture sous serre dans la partie de
son champ '
D
% sous forme de disque qui contient au moins le point
Y
.
…/… 3
MATHEMATIQUES 3/8 2023GS26NA0132
Séries: S2-S2A-S4-S5
Epreuve du 1er groupe
ü Oui le jeune agriculteur atteindra son objectif s’il choisit deux points
X(
et
(Y
d’affixes respectives
P1&(
0?((
0(L(79(P2&L
). Il pourra pratiquer sa culture sous serre dans la partie de son champ
(E) sous forme de disque qui contient au moins le point
X
.
EXERCICE 3
1) Déterminons
S(#78#S1
k(&((
7#?(/
8(k#&((
9?(/
8(
,
l
*
&((
9?(:
0&((
9?(0;
9&(0<
9&((8
/+
(0,25 pt)
k0&((
7$?(/
8(k(&( (
$%
&?(/
8m((8
/&(/
(8 ?(;
0&(/
(8 ?(8:
(8 &(=0
(8 &(09
;
. (0,25 pt)
2) Démontrons par récurrence que :
W#"BV2###S4X
Y
=&
• Vérifions que
##S#X
Y
=
.
On a
k#&l+(
Or
l(n(
o
KA(
donc
k#(n(
o
K+
• Démontrons que si
k>(n(
o
K
alors
k>'( (n(
o
K+
Supposons que
k>(n(
o
K
et montrons que
k>'( (n(
o
K+
k>'( J(
o
K&( (
7'?(/
8(k>J(
o
K&8'/?7'
(+8?
@
/?7'
8?7'+
k>'( J(
o
K&(/?7'
(+8?
@
/?7''?8
8?7'&(
A@
/?7'+0
B
(
8?7'+
pq(k>(n(
o
K("#r!"sC7(sC7(
to
K(k>JI
u
0(nG(((79(k>(vG+
Ce qui donne A@
/?7'+0
B
(
8?7'(nG(c(k>'( J(
o
K(nG(c(k>'( (n(
o
K+
• Donc
w(%(xyAk>(n(
o
K+
(01 pt)
3) a)
,
est une fonction rationnelle, donc
,
est dérivable en tout point de son ensemble de définition.
Par conséquent
,
est dérivable sur Z
GA?z
W. (0,25 pt)
w(3(x(
Z
GA?z
W
A5,
,
3
*
&(J((
!(?(/
8&(+?8'/!(
8?!(&(/?!(+8
8?!(+
5,
,
3
*
&(
A@
/?!'0
B
?
A@
/?!+0
B
8?!(+
(0,25 pt)
w3x
Z
GA?z
W
A
o
K3?IvG(79(M(30vGA(
donc
5,
,
3
* est du signe de o
K3JI+
o
K3JI&G{
o
K3&I{3& 0
@
/&0
@
/
/
(0,25 pt)
,
est strictement croissante sur |
)
@
*
*A?z
| et strictement décroissante sur }
GA)
@
*
*
}
+
(0,25 pt)
b) Déduisons-en par récurrence que '
S4
%
4567
est strictement décroissante.
• Vérifions que
k((~(k#+
k#&l(2H(k(&((8
/
. Or
(8
/(~lA(
donc
k((~(k#+
• Supposons que
k>'( ~k>
et montrons que
k>'0 ~k>'(+
On sait que
w(%(xyAk>n(
o
K+
Or o
Kv)
@
*
*
, donc
k>v)
@
*
*f
c(k>x
|
)
@
*
*A?z
|
f
De même
k>'( x
|
)
@
*
*A?z
|
+((
…/… 4
!+"#$%&'(#%')*+
+
!+"#$,&(#-.)*+
+/012
!+"#$3&(#-.&/)*+
+2
3 0
0@/
/ +z
,,')% J (G +
6
7
8
9
10
1
/
10
100%
