td4-predicats-2024-2025-solutions

K.DJAROUDIB 2024/2025
TD4
Logique des Prédicats : Aspect Syntaxique (2024/2025)
Exercice 1: Un peu de syntaxe. (Fait dans le cours)
On posera que x,y,z sont des variables, a,b,c des constantes, f,g,h des fonctions et P,Q,R des prédicats pouvant prendre une arité
quelconque.
A/ Dites si les écritures suivantes correspondent à des termes :
1. y
2. c
3. xa
4. f(x)
5. f(x,a)
6. f(ab)
7. g(h(x),f(x,y),c)
8. f(f(f(x)))
9. R(x,y)
1. y : y est une variable par définition donc terme.
2. c : constante par définition donc terme.
3. x v a: Non rien, même pas formule.
4. f(x): x est un terme (car obligatoirement terme à l'intérieur d’une fonction), f fonction, donc f(x) est bien 1 terme.
5. f(x,a): x terme, a terme, f fonction, donc f(x,a) est 1 terme.
6. f(ab): Non, ab n'est pas un terme.
7. g(h(x),f(x,y),c): x terme, h terme, y terme, f terme, c terme, g terme, donc g(h(x),f(x,y),c) est un terme.
8. f(f(f(x))): x terme, f terme, donc f(x) terme, f(f(x)) terme, donc f(f(f(x))) est un terme.
9. R(x,y) : Non, R est un prédicat.
B/ Dites si les écritures suivantes correspondent à des formules bien formées (fbf):
1. P(a)
2. P(x)
3. P(ab)
4. Q(x,y,b)
5. R(f(x))
6. Q(g(f(a)),b)
7. ab
8. g(x,y)
9. P
10. PR
11. xQ(y)
12. xP(x)Q(y)
13. Q(x,y,b)P(x)P(a)R
14. b Q(x,y,b) P(x) P(a)
1. P(a) : a : terme, P : Prédicat : formule atomique donc fbf.
2. P(x) : x : terme, P : Prédicat : formule atomique donc fbf.
3. P(ab) : ab n’est pas un terme, donc ce n’est pas fbf.
4. Q(x,y,b) : x,y,b sont des termes, Q : Prédicat : formule atomique donc fbf.
5. fbf
6. fbf
7. Non
8. Non c’est un terme
9. P : prédicat sans argument (donc proposition), fbf.
10. fbf
11. Non car x n’est pas une formule
12. fbf
13. Non manque les ( ) (car pas de priorité des connecteurs)
14. b est faux mathématiquement car b constante et ne plus manque les ( ) aussi.
C/ Si P,Q : Prédicats binaires, R : Prédicats unaire, f : fonction unaire, g : fonction ternaire, a : fonction 0-aire ou constante, x,y,z :
variables. Donner le nombre de termes existant dans chacune de ces formules :
F=(∃x P(x, f(y))) ∨ ∀y Q(y, g(a, z, h(z)))
G=R(x) ∨ ((∃x∀y P(f(x), z)) ∧ R(a)) ∧ ∀xQ(y, g(x, z, x))
Pour la formule F =(∃x P(x, f(y))) ∨ ∀y Q(y, g(a, z, h(z)))
Les termes sont en rouge :
En comptant les doubles : 9 termes.

K.DJAROUDIB 2024/2025
Sans compter les doubles : 7 termes.
Pour la formule G=R(x) ∨ ((∃x∀y P(f(x), z)) ∧ R(a)) ∧ ∀xQ(y, g(x, z, x))
Les termes sont en rouge :
En comptant les doubles : 10 termes.
Sans compter les doubles : 6 termes.
Exercice 2: Modélisation ou traduction ou formalisation
Formalisez les assertions suivantes dans le langage des prédicats, donc il faut définir les prédicats et les variables ou constantes :
1. L'inspecteur Tahar a mené l'enquête.
2. Mohamed n'a pas préparé ses cours.
3. Quelques champignons sont comestibles.
4. Tous les enfants aiment les bonbons.
5. Aucun enfant ne déteste les bonbons.
6. Il y a des peines et il y a des plaisirs, mais aucune peine n'est un plaisir.
7. Si les enfants sont plus intelligents que les hommes alors il y a un enfant qui est plus intelligent que son père.
8. Pour tout entier, il existe un entier plus grand.
1. a : L'inspecteur Tahar (constante), et M(x) : x a mené l'enquête :
Donc : M(a)
2. b : Mohamed (constante), et :
P(x) : x a préparé ses cours, Donc : P(b)
Ou
P(x) : x n'a pas préparé ses cours, Donc : P(b)
3. C(x) : x est un champignons, et S(x) : x est comestibles
Donc : x(C(x)  S(x))
4. E(x) : x est un enfant, et A(x) : x aime les bonbons.
Donc : x(E(x)  A(x))
5. En utilisant les mêmes prédicats que dans 4. , et en sachant que « détester » et le contraire d’ « aimer », (détester : A(x)),
on aura :
x (E(x)  A(x))
Ou
x (E(x)  A(x))
6. P(x) : x est une peine, et L(x) : x est un plaisir
Donc : (x P(x)  y L(y))  x (P(x)  L(x))
7. E(x) x est un enfant, H(y) : y est homme, I(x,y) : x est plus intelligent que y, a : père (constante)
Donc : (x E(x)  y H(y))  I(x,y))  x (E(x)  I(x,a))
8. E(x) : x est entier, G(x,y) : x est plus grand que y.
Donc : x(E(x)  y (E(y)  G(y,x)))
Exercice 3: Du Langage des prédicats au Français (A faire chez soi car facile)
Traduire les formules (1) à (8) en français avec les prédicats suivants : P(x) : x est plombier, R(x) : x est riche, Q(x ): x habite à Batna,
a : Mohamed, b : Malika, c : Amina
1.P(a)
2.Q(c)
3.R(b)
4.xQ(x)
5.xP(x)
6.x(P(x) Q(x))
7.x(Q(x)P(x))
8.xR(x)
Exemple :
x(Q(x)P(x)) : Il y a quelqu’un qui habite à Batna mais qui n’est pas plombier.
Exercice 4: Variables libres, variables liées.
Dans les formules suivantes, déterminer les variables libres et les variables liées (pour vous aider : indiquer par un trait les
connecteurs et les liens), puis dites si la formule est ouverte ou fermée (close) :
1. P(x)
2. xP(x)y(Q(y)R(x))
3. (P(f(x,y))z R(a,z) )
4. x P(x,y,z)z ( P(z) R(x) )
5. y( ( P(x)xP(x) ) Q(y) )
6. xy( ( P(x)xP(x) ) Q(y) )

K.DJAROUDIB 2024/2025
1.P(x) : x libre
Formule Ouverte.
2.xP(x)y(Q(y)R(x))
Les occurrences sont en rouges.
1ère occ de x : liée
2ème occ de x : libre, Donc x libre
1ère occ de y : liée, une seule occ donc liée.
Formule Ouverte.
3. (P(f(x,y))z R(a,z) ) : x et y libres, z : liée
4. x P(x,y,z)z ( P(z) R(x) ) Les occurrences sont en rouges :
1ère occ de x : liée
2ème occ de x : libre, Donc x libre
1ère occ de y : libre, Donc y libre.
1ère occ de z : libre, Donc z libre.
Formule Ouverte.
y ( ( P(x)xP(x) ) Q(y) )
1ère occ de x : libre, Donc x libre
1ère occ de y : liée, une seule occ liée.
Formule Ouverte.
xy ( ( P(x)xP(x) ) Q(y) )
1ère occ de x : liée
2ème occ de x : liée, Donc x liée.
1ère occ de y : liée, une seule occ liée.
Formule Close.
Exercice 5: Renommage et Substitution.
a/Quel est le résultat des substitutions suivantes :
1. P(x) Q(x,y){z/x}
x Q(x,y) {z/x}
3. (P(x) Q(x,y)) {y/x, f(a)/y}
b/Peut-on substituer x par z dans les formules suivantes, expliquer:
4. (P(f(x,y))z R(a,z) )
x P(x,y,z)z ( P(z) R(x) )
c/Peut-on renommer x,y,z dans les formules 4.et 5.? Pourquoi.
Rappels :
Substituer : remplacer les occurrences des variables libres par des termes.
Renommer : donner un autre nom aux occurrences des variables liées car xP(x) ou yP(y) ont le même sens.
a/
1.P(x) Q(x,y){z/x}= P(z) Q(z,y)
x Q(x,y) {z/x}= x Q(x,y) (aucun remplacement car x est liée)
3. (P(x) Q(x,y)) {y/x, f(a)/y}= (P(y) Q(y,f(a))) (ici on ne remplace plus y par f(a) dans le résultat obtenu)
b/ On substitue puis on vérifie :
4. (P(f(x,y))z R(a,z) ){z/x}= (P(f(z,y))z R(a,z) )
Avant substitution : x est libre, y libre, z liée
Après substitution : y libre, mais la définition de la variable z a changé : z libre car sa 1ère occ libre.
Donc Substitution Impossible.

K.DJAROUDIB 2024/2025
x P(x,y,z)z ( P(z) R(x) ){z/x}=x P(x,y,z)z ( P(z) R(z) )
Avant substitution :
1ère occ x : liéé et 2ème occ de x libre
1ère occ de y libre
1ère occ de z libre et 2ème occ de z liée.
Après substitution :
1ère occ x : liéé reste liée
1ère occ de y libre reste libre
1ère occ de z libre reste libre et 2ème occ de z liée reste liée mais « on a créé un autre lien » de z dans la 3ème occ de z
Donc Substitution Impossible.
c/ Oui, pour éviter le changement de statut des variables et pour séparer les variables liées des variables libres, on renomme les variables
liées :
4.(P(f(x,y))z R(a,z) )= (P(f(x,y))w R(a,w) ) renommage de l’occurrence de la variable z liée par w
Et Donc on peut appliquer la substitution :
(P(f(x,y))w R(a,w) ){z/x}= (P(f(z,y))w R(a,w) )
La substitution est devenue possible.
x P(x,y,z)z ( P(z) R(x) )=x P(x,y,z)t ( P(t) R(x) ) renommage de l’occurrence de la variable z
liée par t.
Et Donc on peut appliquer la substitution :
x P(x,y,z)t ( P(t) R(x) ){z/x}=x P(x,y,z)t ( P(t) R(z) )
La substitution est devenue possible.