Cours seconde C

ACHILLE - YANGA
Table des matières
I ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 11
1 CONNAITRE LES NOMBRES 12
1.1 ChiffresetNombres.................................. 12
1.1.1 Définitions................................... 12
1.1.2 Nombres pairs et impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Notiond’ensemble .................................. 13
1.2.1 Définition ................................... 13
1.2.2 Ensembledesnombres ............................ 13
1.3 Nombresrationnels.................................. 14
1.3.1 Définition ................................... 14
1.3.2 Développement décimal d’un nombre rationnel . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Exemples ................................... 14
1.3.4 Période d’un nombre décimal illimité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Exemple.................................... 15
1.3.6 Longueur de la période d’un nombre décimal illimité . . . . . . . . . . . 15
1.3.7 Exemple.................................... 15
1.3.8 Écriture d’un rationnel de la forme décimale à la forme fractionnaire . . 15
1.4 Nombresirrationnels ................................. 15
1.4.1 Définition ................................... 15
1.5 Division euclidienne dans Z............................. 16
1.6 Multiples d’un entier relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Définition................................... 16
1.6.2 Ensemble des multiples d’un entier relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Diviseurs d’un entier relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Définition ................................... 17
1.7.2 Ensemble des diviseurs d’un entier relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Critèresdedivisibilité ................................ 17
1.9 Nombrespremiers................................... 18
1.9.1 Définition ................................... 18
1.9.2 Théorèmes................................... 18
1.9.3 Reconnaissance d’un nombre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.4 Décomposition d’un nombre entier naturel en produit de facteurs premiers 18
1.9.5 Nombres de diviseurs positifs d’un entier relatif . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.6 Application1 ................................. 19
1.10 Plus grand commun diviseur de deux entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10.1Définition ................................... 19
1.10.2Propriétés................................... 19
1.10.3 Détermination du PGCD de deux entiers relatifs connaissant leur
décomposition................................. 19
1.10.4 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1

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TABLE DES MATIÈRES
1.11.1Définition ................................... 20
1.11.2Propriétés................................... 20
1.11.3 Détermination du PPCM de deux entiers relatifs connaissant leur
décomposition................................. 20
1.12 Sous-ensemble R................................... 20
1.12.1 Sous-ensembles bornés de R......................... 20
1.12.2 Sous-ensembles non bornés de R....................... 20
1.12.3 Amplitude, centre et rayon d’un sous-ensemble borné . . . . . . . . . . . 21
1.12.4 Opération entre sous-ensemble de R..................... 21
1.12.5 Éléments particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 CALCULS DANS R24
2.1 Propriétés de calcul dans R............................. 24
2.2 Lesquotients ..................................... 24
2.2.1 Définition ................................... 24
2.2.2 Égalité de deux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Simplification d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Propriétés................................... 25
2.3 La Puissance d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Définition ................................... 26
2.3.2 Propriétés................................... 26
2.3.3 Écriture d’un nombre sous la forme a×10p................. 27
2.3.4 Notationscientifique ............................. 27
2.4 Lesradicaux...................................... 27
2.4.1 Définition ................................... 27
2.4.2 Propriétés................................... 27
2.4.3 Simplification de l’expression qa+k√bou qa−k√b........... 28
2.5 Exposants rationnels d’un nombre réel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 Définition ................................... 28
2.5.2 Propriétés................................... 28
2.6 Partieentièred’unréel................................ 29
2.7 Relation d’ordre dans R............................... 29
2.7.1 Définition ................................... 29
2.7.2 Propriétés................................... 29
2.7.3 Comparaison de a,a2et a3......................... 30
2.8 Valeursabsolues.................................... 31
2.8.1 Définition ................................... 31
2.8.2 Propriétés................................... 31
2.9 Distance dans R.................................... 32
2.9.1 Définition ................................... 32
2.9.2 Propriétés................................... 32
2.9.3 Traduction des inégalités |x−a| ≤ ret |x−a| ≥ ren intervalles . . . . . 32
2.10 Encadrement et Valeurs approchés dans R..................... 32
2.10.1Encadrement ................................. 32
2.10.2Valeurapprochée ............................... 33
2.10.3 Applications à l’encadrement d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10.4 Encadrement d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.11 Approximation décimale d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.11.1Arrondi .................................... 34
2.11.2Troncature................................... 35
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TABLE DES MATIÈRES
2.11.3Ordredegrandeur .............................. 35
3 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE 36
3.1 Équation du premier degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Définition ................................... 36
3.1.2 Résolution................................... 36
3.1.3 Équationrationnelle ............................. 36
3.1.4 Équationproduit ............................... 37
3.1.5 Équations paramétriques du premier degré à une inconnue . . . . . . . . 37
3.2 Inéquations du premier degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Signe d’une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Signe d’une expression du premier degré : p(x) = ax +b(a,0) ..... 38
3.2.3 Définition d’une inéquation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Résolution d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Inéquationsproduits ............................. 39
3.2.6 Inéquations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.7 Inéquation paramétrique du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Équations et Inéquations simultanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 41
4.1 Système de deux équations linéaires à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Définition ................................... 41
4.1.2 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.3 Résolution par la méthode du déterminant ou de Cramer . . . . . . . . 41
4.1.4 Système de deux équations à deux inconnues en utilisant un changement
devariable................................... 42
4.1.5 Système de deux équations à deux inconnues paramétrique . . . . . . . . 43
4.2 Système d’équations à trois inconnues dans R3................... 43
4.2.1 Formegénérale ................................ 43
4.2.2 Résolution................................... 43
5 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 45
5.1 Trinômeduseconddegré............................... 45
5.1.1 Définition ................................... 45
5.1.2 Discriminant d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.3 Forme canonique d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.4 Racine d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.5 Forme factorisée d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.6 Signe du trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Équationduseconddegré .............................. 47
5.2.1 Définition ................................... 47
5.2.2 Résolution................................... 47
5.2.3 Somme et Produit des racine d’un trinôme du second degré . . . . . . . . 48
5.2.4 Exprimons Set Pen fonction de a,bet c................. 48
5.2.5 Expression symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.6 Signe des racines du trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.7 Équation du second degré
connaissance la somme Set le produit P.................. 49
5.3 Inéquations de second degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Définition ................................... 49
5.3.2 Résolution................................... 50
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TABLE DES MATIÈRES
6 AUTRES ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 51
6.1 Équations et Inéquations irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Équations irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 Inéquations irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Équations et Inéquations avec valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.1 Équations avec valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.2 Inéquations avec valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 PROBLÈME D’ALGÈBRE 56
7.1 Problèmes conduisant à des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.1 Analysedel’énoncé.............................. 56
7.1.2 Traduction en langage mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.3 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.4 Interprétation des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Application ...................................... 56
8 EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 57
8.1 Définition ....................................... 57
8.2 Développement d’une expression algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.1 Définition ................................... 57
8.2.2 Application pratique d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.3 Réduction d’une expression algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.3.1 Définition ................................... 57
8.3.2 Application pratique d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.4 Propriétés ....................................... 57
8.5 Égalitésremarquables ................................ 58
8.6 Application aux calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.7 Factorisation d’une expression algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.7.1 Définition ................................... 58
8.7.2 Factorisation : utilisation d’un facteur commun . . . . . . . . . . . . . . 58
8.7.3 Factorisation : utilisation des égalités remarquables . . . . . . . . . . . . 58
8.7.4 Factorisation : utilisation de plusieurs méthodes . . . . . . . . . . . . . . 58
8.8 Monôme........................................ 59
8.9 Polynômes....................................... 59
8.9.1 Définition ................................... 59
8.9.2 Degré et coefficient du polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.10 Égalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.11 Opération sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.11.1Sommedespolynômes ............................ 60
8.11.2 Produit des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.11.3 Valeurs numériques d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.11.4 Racine d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.11.5 Polynôme réciproque d’ordre n....................... 61
9 ÉTUDE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 62
9.1 Généralités sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1.1 Définition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1.2 Vocabulaire et Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 Fonctionnumérique.................................. 62
9.3 Fonction numérique de la variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.3.1 Définition ................................... 62
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TABLE DES MATIÈRES
9.3.2 Notation.................................... 63
9.4 Ensemble de définition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4.1 Définition ................................... 63
9.4.2 Détermination des ensembles de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4.3 Autres conditions d’existences des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4.4 Égalité de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.5 Paritésdesfonctions ................................. 64
9.5.1 Fonctionspaires................................ 64
9.5.2 Fonctionsimpaires .............................. 65
9.6 Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.6.1 Taux de variation ou taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.6.2 Théorème ................................... 66
9.7 Notionsd’applications ................................ 66
9.7.1 Définition ................................... 66
9.7.2 Différents types des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.7.3 Application injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.7.4 Application surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.7.5 Application bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.7.6 Composée de deux ou trois applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.7.7 Bijectionréciproque ............................. 68
10 REPRÉSENTATIONS DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 70
10.1 Fonctions affines par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.1.1Définition ................................... 70
10.1.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.1.3 Expression de la fonction affine par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.1.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.1.5 Application d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.2Fonctionenescaliers ................................. 72
10.2.1Définition ................................... 72
10.2.2 Application d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.3Fonctionpartieentière ................................ 73
10.3.1Définition ................................... 73
10.3.2Propriétés................................... 73
10.3.3 Application d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.4Fonctionmantisse................................... 74
10.4.1Définition ................................... 74
10.4.2 Application d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.5 Fonctions déterminées par maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.5.1Définition ................................... 75
10.5.2 Représentation graphique de la fonction maximum . . . . . . . . . . . . . 75
10.5.3 Application d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.6 Fonctions déterminées par minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.6.1Définition ................................... 76
10.6.2 Représentation graphique de la fonction minimum . . . . . . . . . . . . . 76
10.6.3 Application d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.7Fonctioncarré..................................... 77
10.7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.7.2Sensdevariation ............................... 77
10.7.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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