4ème Sc Tech
Limites et continuité
www.mathinfo.tn
Prolongement par continuité :
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼, sauf peut-être en un réel 𝑥0 de 𝐼. Si 𝑓 admet une limite
𝑓(𝑥) si 𝑥 ≠ 𝑥0
finie ℓ en 𝑥0 alors la fonction 𝑔 définie sur 𝐼 par 𝑔(𝑥) = {
est le prolongement par
ℓ
si 𝑥 = 𝑥0
continuité de 𝑓 en 𝑥0 et 𝑔 est continue en 𝑥0 .
Exemple 1 :
Soit la fonction f: x ↦
x3 +3x2 −6x−8
x−2
1)Préciser l'ensemble de définition de f .
2)Déterminer lim 𝑓(𝑥).
𝑥→2
3)La fonction 𝑓 admet-elle un prolongement par continuité en 2 .Si oui déterminer ce prolongement
Correction
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 6𝑥 − 8
𝑓(𝑥) =
𝑥−2
1)𝐷𝑓 = IR∖ {2}
2) On a: 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 6𝑥 − 8 = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 5𝑥 + 4) d'où pour 𝑥 ≠ 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 + 4
lim 𝑓(𝑥) = 18
𝑥→2
3)𝑓 admet une limite finie en 2 d'où 𝑓 est prolongeable par continuité en 2
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) = {
2
si 𝑥 ≠ 2
si 𝑥 = 2
I.Limites :
Théorèmes de comparaison et d’encadrement :
𝛼 un réel fini ou infini, ℓ et ℓ′ deux réels.
a) Si lim 𝑓(𝑥) = +∞ et 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) alors lim 𝑔(𝑥) = +∞
𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
b) Si lim 𝑓(𝑥 ) = −∞ et 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) alors lim 𝑔(𝑥 ) = −∞.
𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
c) Si |𝑓(𝑥) − ℓ| ≤ 𝑔(𝑥) et lim 𝑔(𝑥 ) = 0 alors lim 𝑓(𝑥) = ℓ.
𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
1
4ème Sc Tech
Limites et continuité
www.mathinfo.tn
d) Si lim 𝑓(𝑥) = ℓ = lim 𝑔(𝑥) et 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) alors lim ℎ(𝑥) = ℓ.
𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
e) Si lim 𝑔(𝑥) = ℓ′, lim f(x) = ℓ et f(x) ≤ g(x) alors ℓ ≤ ℓ′.
𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrement
Exemple 2 : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 + (cos𝑥)2 .
Déterminer sa limite en +∞.
Correction :
Comme (cos𝑥)2 ≥ 0 alors 𝑥 + (cos𝑥)2 ≥ 𝑥
Comme lim 𝑥 = +∞ alors: lim 𝑥 + (cos𝑥)2 = +∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
Donc lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
Exemple 3: Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 − 3sin2 𝑥.
Déterminer sa limite en +∞.
Correction :
Comme −𝑥 2 − 3sin2 𝑥. ≤ −𝑥 2 (car − 3sin2 𝑥 ≤ 0)
Comme lim − 𝑥 2 = −∞ alors: lim − 𝑥 2 − 3sin2 𝑥 = −∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
Donc lim 𝑔(𝑥) = −∞
𝑥→+∞
Exemple 4: Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0; +∞ [par𝑓(𝑥) =
sin𝑥
𝑥
Déterminer sa limite en +∞.
Correction :
Pour tout 𝑥 de ]0; +∞[, − 1 ≤ sin𝑥 ≤ 1
1
1
Donc pour tout 𝑥 de ]0; +∞ [, − 𝑥 ≤ sin𝑥 ≤ 𝑥
1
1
Comme lim 𝑥 = 0 et lim − 𝑥 = 0 D'après le théorème d'encadrements :
𝑥→+∞
𝑥→+∞
sin𝑥
=0
𝑥→+∞ 𝑥
lim
Exemple 5
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1 .
Déterminer sa limite en +∞.
Correction :
• lim sin 𝑥 n'existe pas.
𝑥→+∞
Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.
2
4ème Sc Tech
Limites et continuité
www.mathinfo.tn
Levons l'indétermination :
• −1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1
Donc : −𝑥 ≤ 𝑥 sin(𝑥) ≤ 𝑥, car 𝑥 > 0
Et donc :
−
𝑥
𝑥2 + 1
≤
𝑥 sin(𝑥)
𝑥
≤ 2
2
𝑥 +1
𝑥 +1
𝑥
𝑥
1
=
=
𝑥 2 + 1 𝑥 (𝑥 + 1) 𝑥 + 1
𝑥
𝑥
1
1
lim 𝑥 = 0 donc lim 𝑥 + 𝑥 = +∞.
•
𝑥→+∞
Et donc : lim
1
𝑥→+∞
1
𝑥→+∞ 𝑥+𝑥
= 0, comme limite d’un quotient.
𝑥
On a donc : lim − 2
𝑥→+∞
Donc on a : lim
𝑥 +1
𝑥 sin(𝑥)
𝑥→+∞ 𝑥 2 +1
= lim
𝑥
𝑥→+∞ 𝑥 2 +1
=0
= 0.
Limites d'une composée:
Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies respectivement sur 𝐼 et 𝐽 telles que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 on a 𝑓(𝑥) ∈ 𝐽.
( a, 𝑏 et c pourront être finis ou infinis).
Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée
Exemple 6 :
Soit la fonction 𝑓 définie par : 𝑓 (𝑥 ) = √4 +
1
𝑥
Calculer la limite de la fonction 𝑓 en +∞.
Correction
1
1
On a : lim 𝑥 = 0, donc lim 4 + 𝑥 = 4
𝑥→+∞
𝑥→+∞
1
Donc, comme limite d’une fonction composée : lim √4 + 𝑥 = √4 = 2
𝑥→+∞
II) Continuité :
Définition
3
4ème Sc Tech
Limites et continuité
www.mathinfo.tn
: (Soit 𝑥0 ∈ 𝐷; 𝐷 est le domaine de définition de 𝑓 ).
𝑓 est continue en 𝑥0 ⇔ lim 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ).
𝑓 est continue à droite en 𝑥0 ⇔ lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ).
𝑓 est continue à gauche en 𝑥0 ⇔ lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ).
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Théorème:
Si f est continue sur [a, b] alors f([a, b]) = [m, M]
avec 𝑚 la plus petite valeur prise par 𝑓(𝑥) sur [𝑎, 𝑏] et 𝑀 la plus grande valeur prise par f(x) sur [a, b].
Remarque: Si f est strictement monotone alors l'équation 𝑓(𝑥) = 𝑘 admet une seule solution.
Exemple 7 :
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 6.
Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥 ) = 2 admet au moins une solution sur [–1 ; 4].
Correction
● 𝑓 est continue sur [–1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur ℝ.
● 𝑓 (−1) = (−1)3 − 4(−1)2 + 6 = 1
𝑓(4) = 43 − 4 × 42 + 6 = 6
Comme 2 est compris entre 𝒇(−𝟏) et 𝒇(𝟒).
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l’équation 𝑓 (𝑥 ) = 2 admet au moins
une solution sur l’intervalle [–1 ; 4].
Remarque : Ici, on n’a pas la stricte monotonie de 𝑓, donc on n’a pas l’unicité de la solution
Exemple 8 :
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 1.
1)Montrer que l'équation 𝑓 (𝑥 ) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur l'intervalle [1; 2].
2) Donner une valeur approchée par défaut à 10−1 près de .
4
4ème Sc Tech
Limites et continuité
www.mathinfo.tn
Correction
1) • La fonction 𝑓 est continue sur l'intervalle [1; 2], car une fonction polynôme est
continue sur ℝ.
• 𝑓 ′ (𝑥 ) = 3𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑥(3𝑥 − 2)
Donc, pour tout 𝑥 de [1; 2], 𝑓 ′ (𝑥 ) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle [1; 2].
𝑓(1)
𝑓(2)
= 13 − 12 − 1 = −1 < 0
= 23 − 22 − 1 = 3 > 0
𝐟(𝟏) ⋅ 𝐟(𝟐) < 𝟎
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 𝑓(𝑥 ) = 0 admet
alors une unique solution sur l’intervalle [1; 2].
f (1.5) 0.125
2) f (1.4) 0.216
;
1.4 1.5
Donc 1.4 est une valeur approchée par défaut à 10−1 près de .
Composée de deux fonctions continues:
Si 𝑓 est continue en 𝑥0 et 𝑔 est continue en 𝑓(𝑥0 ) alors 𝑔 ∘ 𝑓 est continue en 𝑥0 .
Si 𝑓 est continue sur un intervalle 𝐼 ⊂ ℝ et 𝑔 continue sur un intervalle 𝐽 tel que 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽 alors 𝑔 ∘ 𝑓
est continue sur 𝐼.
Conséquences:
Si 𝑓 est continue sur 𝐼 et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) ≥ 0
Alors √f est continue sur I.
5
4ème Sc Tech
Limites et continuité
Limites et comportement asymptotique :
Asymptotes :
6
www.mathinfo.tn
4ème Sc Tech
Limites et continuité
www.mathinfo.tn
Réflexes:
Situations
Réflexes
On peut essayer dans l'ordre.
* on utilise les règles opératoires relatives au somme, produit,
quotient, ou théorème des fonctions composées ou théorème
polynôme ou rationnelles à l'infini ou les limites usuelles
trigonométrique
Déterminer la limite d'une
fonction f en a réel ou infini.
* Si on a toujours F une indéterminée on cherche à
transformer l'écriture de f en factorisant et en simplifiant.
* S'il y a des racines carrés on peut utiliser l'expression conjuguée.
* Si on a la forme
0
on peut utiliser le nombre dérivé.
0
* On utilise les théorèmes de comparaisons.
Justifier qu’une équation
f(x)=k admet au moins une
solution sur [a,b]
Dénombrer les solutions d'une
équation f(x)=k.
On peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaire.
Si f est strictement monotone la solution est unique
Dans certain cas particulier on peut résoudre (second degrés)
7
