En avant les espaces vectoriels: Introduction à l'algèbre linéaire

En avant les espaces vectoriels
Une introduction à l’algèbre linéaire (Première édition)
Thierry Giordano, Barry Jessup et Monica Nevins
Traduit en français par Abdelkrim El basraoui

©Première édition française, août 2021
Traduction du livre : « Vector Spaces First : An Introduction to Linear Algebra » (4th Edition), 2021
Thierry Giordano, email : [e-mail]
Barry Jessup, email : [e-mail]
Monica Nevins, email : [e-mail]
Abdelkrim El basraoui, email : [e-mail]
CE DOCUMENT EST DISPONIBLE AUX ENDROITS SUIVANTS :
https://ruor.uottawa.ca/handle/10393/43956
https://github.com/uottawa-mathstat/linear-algebra-oer
Sauf indication contraire, ce livre est mis à disposition dans le cadre d’une licence Creative Commons de
type Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International
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Les photos utilisées dans les titres des chapitres sont reproduites avec la permission de l’artiste,
Ralph Nevins, , [e-mail].

Préface
Ce volume constitue la traduction française de la quatrième édition du livre « Vector Spaces First »
de Thierry Giordano, Barry Jessup et Monica Nevins, lequel est né de la mise en commun de notes du
cours Introduction à l’algèbre linéaire enseigné à l’Université d’Ottawa. Ce livre est destiné à servir de
manuel ou de compagnon pour compléter le cours.
L’approche que nous adoptons dans ce livre n’est pas standard : contrairement aux approches
usuelles, nous introduisons les espaces vectoriels très tôt et nous ne traitons les systèmes linéaires
qu’après une telle introduction approfondie des espaces vectoriels.
Nous agissons ainsi pour au moins deux raisons. D’une part, après avoir enseigné ce cours de
diverses manières à plusieurs milliers d’étudiants sur près de vingt-cinq ans, nous sommes maintenant
en mesure d’observer que les outils relatifs aux espaces vectoriels sont généralement mal vécus par les
étudiants car ils représentent la partie la plus difficile du cours et trouvent pourtant traditionnellement
leur place à la fin. Dans un cours dispensé en seulement douze semaines, le fait que la matière la plus
difficile se trouve à la fin ne laisse pas à la plupart des étudiants suffisamment de temps pour s’attaquer
aux concepts (apparemment) nouveaux que l’on peut rencontrer lorsque l’on s’attaque aux espaces
vectoriels pour la première fois.
À l’opposé, notre expérience nous montre que le fait d’aborder les espaces vectoriels dès les deux
premières semaines permet aux étudiants de bien mieux appréhender les deux « grandes » idées de
l’algèbre linéaire : la notion de combinaison linéaire d’une famille de vecteurs, qui donne lieu à ce que
l’on appelle « enveloppe linéaire », et la notion d’« indépendance linéaire » d’une famille de vecteurs.
Ces deux notions sont au cœur de l’algèbre linéaire et sont généralement ressenties comme nouvelles,
abstraites et difficiles par les étudiants lorsqu’elles sont rencontrées pour la première fois. Le mieux est
donc sans doute d’introduire ces notions le plus tôt possible pour pouvoir ensuite les utiliser et ainsi
définir par exemple les notions de base et de dimension, lesquelles sont utiles à la fois dans le reste
du cours et dans différents autres contextes. Aussi, toujours d’après notre expérience, la plupart des
étudiants semblent préférer aborder les concepts difficiles le plus tôt possible afin d’avoir le temps de

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se familiariser avec des idées vraisemblablement nouvelles et différentes de ce qu’ils avaient vu dans
l’enseignement secondaire.
D’autre part, une autre raison justifiant notre organisation est d’alerter les étudiants sur le fait qu’il
y a réellement des concepts à la fois nouveaux et différents dans ce cours! En effet, si l’on commençait
le cours avec les systèmes linéaires que beaucoup d’étudiants ont déjà étudiés auparavant (en petite
dimension du moins), il serait alors facile de se reposer sur l’idée qu’au final peu de nouvelles notions
seront abordées dans ce cours, si bien que les étudiants seraient pris au dépourvu plus tard lorsque les
espaces vectoriels sont introduits... Au contraire, si l’on commence avec des concepts nouveaux mais
abordables, les étudiants sont stimulés pour aller de l’avant. D’où notre choix d’organisation pour cet
ouvrage.

Remerciements
Remerciements des auteurs de la version anglaise
Les auteurs tiennent à remercier toutes celles et ceux qui ont contribué à la réalisation de ce livre,
consciemment ou non. Ce livre est en quelque sorte la compilation de diverses notes pour un cours
qui était destiné à des élèves de première année à l’Université d’Ottawa. Sur cette longue période
d’enseignement, les auteurs ont été influencés par plusieurs manuels aussi excellents et complets les uns
que les autres, comme ceux de Howard Anton, W. Keith Nicholson, David C. Lay, Seymour Lipschutz
ou encore Marc Lipson (voir les références à la fin de l’ouvrage). Au fil des années, les auteurs ont
également consulté les ouvrages de Tom M. Apostol, Otto Brestcher et Gilbert Strang.
Les auteurs expriment leur gratitude envers leurs collègues qui ont su déceler les inévitables et
innombrables erreurs de la première édition. Ils remercient tout particulièrement Anne Broadbent,
Saeid Molladavoudi ainsi que Charles Starling qui ont non seulement dressé des listes d’erreurs, mais
aussi suggéré d’excellentes modifications.
Ce livre a été utilisé pour la première fois comme manuel de cours à l’automne 2015. Les auteurs
sont reconnaissants envers les dizaines d’étudiants de la section MAT1341 qui ont lu le livre et qui ont
eu la bienveillance de faire savoir les erreurs qu’ils rencontraient.
Ceci étant dit, les erreurs qui subsistent encore malgré tout sont entièrement dues aux auteurs!
Thierry Giordano, Barry Jessup & Monica Nevins
Janvier 2015
Université d’Ottawa
Remerciements de l’auteur de la version française
Je tiens à remercier toutes celles et ceux qui ont contribué à la naissance de cette première version
française. En particulier, je remercie Anne Broadbent pour tout le travail qui ne se limite pas uniquement