Calcul Différentiel et Équations Différentielles - Cours

Université de Montpellier - Faculté des Sciences
Année Universitaire 2025-2026
HAX502X
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Calcul Di!érentiel, Équations
Di!érentielles
Philippe Castillon, Thibault Delcroix ( 1)
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Version du 8 octobre 2025.
1. Département de Mathématiques, CC 051, Université Montpellier II, Pl. Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
Mèl : [email protected]

Table des matières
1 Rappels et Motivations 5
1.1 Rappel sur les fonctions de plusieurs variables .......................... 5
1.1.1 Limites et continuité ................................... 5
1.1.2 Dérivabilité ........................................ 6
1.2 Dérivées directionnelles et partielles ................................ 6
2 Calcul Di!érentiel 9
2.1 Di!érentiabilité .......................................... 9
2.1.1 Di!érentiabilité et opérations ............................... 12
2.1.2 Matrice jacobienne .................................... 16
2.1.3 Le cas des fonctions à valeurs réelles ........................... 17
2.2 Accroissements finis ........................................ 18
2.2.1 Pour les fonctions à valeurs vectorielles .......................... 18
2.2.2 Conséquences de l’inégalité des accroissements finis ................... 19
3Di!érentiellesd’ordressupérieurs 23
3.1 La di!érentielle seconde et les suivantes ............................. 23
3.1.1 Fonctions kfois di!érentiables et de classe Ck..................... 23
3.1.2 Dérivées directionnelles et partielles d’ordres supérieurs ................. 26
3.1.3 Formule de Taylor-Young ................................. 28
3.2 Extrema locaux .......................................... 29
3.2.1 Condition nécessaire d’ordre 1 .............................. 29
3.2.2 Condition su"sante d’ordre 2 ............................... 30
4 Inversion locale et fonctions implicites 33
4.1 Di!éomorphismes et di!éomorphismes locaux .......................... 33
4.2 Le théorème d’inversion locale .................................. 34
4.2.1 Un théorème d’inversion globale ............................. 35
4.2.2 Preuve du théorème d’inversion locale .......................... 36
4.3 Le théorème des fonctions implicites ............................... 39
5 Équations di!érentielles ordinaires 43
5.1 Introduction et motivation .................................... 43
5.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz ................................. 44
5.2.1 Fonctions localement lipschitzienne en espace ...................... 44
5.2.2 Énoncé du Théorème ................................... 44
5.2.3 Preuve de l’unicité ..................................... 46
5.3 Solutions maximales vs solutions globales ............................ 49
5.3.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz global .......................... 49
5.3.2 Sortie de tout compact .................................. 50
5.3.3 Exemple d’étude qualitative ................................ 51
3

4TABLE DES MATIÈRES
6 Équations di!érentielles linéaires 53
6.1 Structure des solutions des EDL ................................. 53
6.1.1 Norme triple de matrices ................................. 53
6.1.2 EDL ............................................ 53
6.1.3 Structure des solutions d’une EDL homogène ...................... 54
6.1.4 Cas d’une EDL non-homogène .............................. 55
6.2 Exponentielle de matrices ..................................... 55
6.2.1 Définition ......................................... 55
6.2.2 Calculs d’exponentielle de matrices ............................ 56
6.2.3 Dérivée de l’exponentielle le long des droites ....................... 56
6.3 Solutions des EDL à coe"cients constants ............................ 57
6.3.1 Solution d’une EDL homogène à coe"cients constants ................. 57
6.3.2 Quelques applications théoriques ............................. 58
6.3.3 Cas des EDL non-homogènes ............................... 59

Chapitre 1
Rappels et Motivations
1.1 Rappel sur les fonctions de plusieurs variables
1.1.1 Limites et continuité
Dans tout le cours, Eet Fdésignent deux espaces vectoriels normés de dimensions finies. On notera
→.→leurs normes, ou →.→Eet →.→Fsi on a besoin de les distinguer. Les normes permettent de définir les
notions d’ouverts, de voisinages, de limite et de continuité pour les fonctions de Evers F.
—U↑Eest un ouvert si, pour tout x↓U,ilexister>0tel que B(x, r)↑U.
—V↑Eest un voisinage de a↓Es’il existe un ouvert U↑Etel que a↓U↑V.
Dans ces énoncés, B(x, r)={y↓E|→x↔y→<r}désigne la boule ouverte de centre xet de rayon r. Par
ailleurs, il est facile de voir que la notion de voisinage s’exprime de façon équivalente à l’aide des boules :
V↑Eest un voisinage de a↓Es’il existe r>0tel que B(a, r)↑V.
Si f:U↗Fest une fonction définie sur un ouvert U↑E, pour a↓Uet b↓Fon a
—lim
x→af(x)=bsi
↘ω>0≃ε>0↘x↓U→x↔a→E<ε⇐→f(x)↔b→F<ω
— la fonction fest continue en asi lim
x→af(x)=f(a).
— la fonction fest continue sur Usi elle est continue en tout point a↓U.
À priori, ces définition dépendent des normes choisies sur Eet F, mais deux normes équivalentes sur
Eet/ou sur Fdonneront les mêmes notions d’ouverts, de voisinages, de convergence et de continuité. De
plus, sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes, donc les définitions
ci-dessus ne dépendent pas des normes →.→Eet →.→Fchoisies.
Comme Eet Fsont de dimensions finies, les applications linéaires de Evers Fsont continues. On a
même mieux : pour L↓L(E,F), la norme triple |||L||| est bien définie par
|||L||| =sup→L.x→F
→x→Ex↓E\{0},
et vérifie
→L.x ↔L.y→F=→L.(x↔y)→⇒|||L|||→x↔y→E
Donc Lest |||L|||-lipschitzienne.
Par ailleurs, si F=Rpalors pour tout x↓Uon a f(x)=f1(x),...,f
p(x)et se donner une fonction
à valeur dans Rp, c’est se donner pfonctions à valeurs réelles. De plus, pour a↓Uet b=(b1,...,b
p)↓Rp
on a
lim
x→af(x)=b⇑⇐ ↘i↓[[ 1 ,p]] l i m x→afi(x)=bi
La preuve est très simples et se fait par exemple en utilisant la norme →.→1sur Rp.Onendéduitquef
est continue en asi et seulement si les pfonctions fisont continues en a.
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