TD Maths Appliquées Thermodynamique - Intégrales & Différentielles

TD maths appliquées à la thermodynamique – GTE 1
ère
année
Intégrales
Exercice préliminaire : Calculer les intégrales suivantes :
∫
⋅+
3
1
2)7( dxx
et
dx
x
x⋅
+
∫
3
1
2)7(
Exercice :
soit la fonction définie par
x
ya
yxf
⋅
=),(
ou a est une constante non
nulle. Calculer
∫⋅−
2
1
),(
x
x
dxyxf
ou x
1
et x
2
sont des constantes dans les cas suivants :
• y = K.x (K est une constante)
• dy=0
• dx=0
Application :
pour n moles d’un gaz parfait, la loi des gaz parfaits s’exprime :
p.V = n.R.T
1. Exprimer p en fonction de V,
2. Tracer la fonction dans le diagramme de Clapeyron (p en ordonnée et V
en abscisse) pour les transformations isotherme, isobare et isochore. 3. Calculer, pour ces trois évolutions, le travail échangé entre l’état 1 (p
1
,
V
1
, T
1
) et l’état 2 (p
2
, V
2
, T
2
) sachant que :
∫
⋅−=
2
1
2,1
V
V
dVpW
Dérivées partielles et différentielles
Exercice préliminaire :
calculer les dérivées partielles puis la différentielle de la
fonction suivante :
)ln(),( yxyxf
⋅
=
Exercice :
soit la fonction ybxayxf
⋅
+
⋅
=
),( avec a et b 2 constantes non nulles.
1. Exprimer a et b en fonction des dérivées partielles de f,
2. A quelle condition la différentielle de f ne dépend pas de b
Exercice :
Une mole de gaz reçoit au cours d’une transformation élémentaire
réversible, une quantité de chaleur δq qui peut s’exprimer sous les formes suivantes :
V
P
Q C dT a dV
Q C dT b dp
δ
δ
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
Exprimer les coefficients a et b en fonction de C
P
, C
V
, et des dérivées partielles
T
P
p
V
V
T
∂
∂
∂
∂,
Dans le cas des gaz parfaits, calculer a et b.
Exercice :
Soit 2 variables x et y telles que
1
Cyx =⋅
γ
ou γ est un réel et C
1
une
constante. Sachant que x .y = C
2
. z, quelles relations lient x et z, y et z ?
Application :
Transformation adiabatique réversible : KVp =⋅
γ
1. Dans le cas des gaz parfaits (p .V = n.R.T), quelle sont les relations qui lient
température et pression, température et volume, pour la transformation considérée ?
2. Exprimer dp en fonction de dT dans le premier cas.
Pour un gaz parfait on a :
v
p
vp
C
C
CCR
=
−
=
γ