DST de Mathématiques n°1 - Équations, Fonctions, Python, Géométrie

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1ère Spécialité 14 octobre 2023
DST de mathématiques n°1
2 heures Calculatrice interdite
1 point de présentation
Exercice 1 [11,5 points]
Résoudre dans les équations et inéquation suivantes :
( )
2
132E : x x=
( )
2
212 27 0E :x x− + =
( ) ( )( )
2
362
1
2 2 1 2
x
E:x x x
+=+
− + −
( )
2
42
61E : x x
−=
( )
1522
2 4 3
I:
xx
−  −
−+
Exercice 2 [7 points]
Camille lance, à l’instant
0t=
, une balle de la fenêtre de sa chambre. On note
( )
ht
la hauteur de la balle, en
mètres, t secondes après avoir été lancée.
On modélise la trajectoire de la balle par la fonction :
( )
2
1 5 49
2 2 8
h t t
= − − +
1) a) Donner la forme développée de h.
b) Montrer que pour tout réel t positif,
( ) ( )( )
0 5 6 1h t , t t= − − +
2) Etudier les variations de la fonction h sur son ensemble de définition, puis dresser le tableau de
variations.
3) En utilisant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
a) De quelle hauteur la balle a-t-elle été lancée ?
b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?
c) Quel temps met la balle pour tomber sur le sol ?
4) Un papillon qui voletait tranquillement à 3 mètres du sol, a évité de justesse d’être percuté par la balle.
A quel instant du parcours cela a-t-il pu se produire ?
Exercice 3 [3 points]
1) On considère l’équation
2
( ): 0E ax bx c+ + =
,
où a, b et c sont réels avec
0a
et
0c
.
Compléter le script de la fonction « rac » donné ci-
contre, afin qu’elle renvoie la ou les racines du
polynôme qui appartiennent à L.
2) On suppose que
()E
a deux solutions qui n’appartiennent pas toutes les deux simultanément à L. Quelle
instruction faut-il ajouter au script, et à quelle ligne, afin que, si la première solution appartient à L, la
fonction « rac » renvoie aussi la deuxième solution ?
Si besoin, vous recopierez votre script Python sur votre copie.
Exercice 4 [3 points]
La figure ci-contre représente le logo d’une entreprise. ABCD est un carré de
côté 4 cm. AFKE et KHCG sont des carrés. Le créateur de ce logo souhaite que
l’aire de la surface en gris soit la plus petite possible.
Pour quelle valeur de x, la partie grise a-t-elle la plus petite aire ?

Exercice 5 [4 points]
Entourer dans chaque cas la ou les bonnes réponses : (Aucune justification n’est attendue. Une mauvaise
réponse enlève 0,25 point)
A) Soit
( )
2
f x ax bx c= + +
une fonction
trinôme du second degré représentée par
f
C
, et
dont le tableau de signes est donné ci-dessous :
Question 1 : L’extremum de f est :
a) Un maximum
positif
b) Un minimum
négatif
c) Un minimum
atteint en
05x,=
d) Un maximum
atteint en
05x,=
Question 2 : On peut dire que :
a)
0
b)
0a
c)
f
C
coupe deux
fois l’axe des
abscisses
d)
f
C
est toujours au-
dessus de l’axe des
abscisses
B) Les graphiques représentent une fonction
trinôme du second degré
2
x ax bx c++
.
Question 3 : Pour le graphique ci-dessous :
a)
22
b
xa
− − 
=
b)
et a sont de signes
contraires
a) c)
21
22
xx b
a
−=−
b) d)
et a sont négatifs
Question 4 : Pour le graphique ci-dessous :
a)
0c
b)
0
c)
0a
d) La fonction f admet un
minimum égal à
0
x
Exercice 6 [3,5 points]
En augmentant de 5 cm la longueur L du côté d’un carré, on augmente son aire de 44%.
1) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation :
2
0 44 10 25 0, L L− − =
.
2) En déduire la longueur du côté initial.
Exercice7 [7 points]
On considère la fonction f définie sur
2\−
par
( )
102
fx x =+
, et la fonction g définie sur par
( )
1g x x=−
.
Soient
f
C
et
g
C
leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé
( )
O; i , j
.
Soient m un réel et
( )
d
la droite d’équation
y mx=
.
Les deux questions sont indépendantes.
1) Déterminer les positions relatives de
f
C
et
g
C
.
2) Déterminer les valeurs du réel m pour lesquelles
f
C
et
( )
d
n’ont pas de point d’intersection.