analyse-mathematique M

Exo7
1 Logique et raisonnements 5
1 Logique ................................................................ 6
2 Raisonnements ........................................................... 10
2 Ensembles et applications 13
1 Ensembles .............................................................. 14
2 Applications ............................................................. 17
3 Injection, surjection, bijection .................................................. 19
4 Ensembles finis ........................................................... 21
5 Relation d’équivalence ....................................................... 27
3 Nombres complexes 31
1 Les nombres complexes ...................................................... 32
2 Racines carrées, équation du second degré ........................................... 35
3 Argument et trigonométrie .................................................... 37
4 Nombres complexes et géométrie ................................................ 40
4 Arithmétique 43
1 Division euclidienne et pgcd ................................................... 44
2 Théorème de Bézout ........................................................ 46
3 Nombres premiers ......................................................... 49
4 Congruences ............................................................. 51
5 Polynômes 56
1 Définitions .............................................................. 57
2 Arithmétique des polynômes ................................................... 58
3 Racine d’un polynôme, factorisation .............................................. 61
4 Fractions rationnelles ....................................................... 64
6 Les nombres réels 67
1 L’ensemble des nombres rationnels Q.............................................. 68
2 Propriétés de R........................................................... 70
3 Densité de Qdans R........................................................ 73
4 Borne supérieure .......................................................... 75
7 Les suites 78
1 Définitions .............................................................. 79
2 Limites ................................................................ 80
3 Exemples remarquables ...................................................... 85
4 Théorème de convergence ..................................................... 88
5 Suites récurrentes ......................................................... 92
1

8 Limites et fonctions continues 98
1 Notions de fonction ......................................................... 99
2 Limites ................................................................ 103
3 Continuité en un point ...................................................... 107
4 Continuité sur un intervalle ................................................... 110
5 Fonctions monotones et bijections ................................................ 113
9 Fonctions usuelles 117
1 Logarithme et exponentielle ................................................... 117
2 Fonctions circulaires inverses .................................................. 120
3 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses ..................................... 123
10 Dérivée d’une fonction 126
1 Dérivée ................................................................ 127
2 Calcul des dérivées ......................................................... 130
3 Extremum local, théorème de Rolle ............................................... 133
4 Théorème des accroissements finis ............................................... 136
11 Zéros des fonctions 139
1 La dichotomie ............................................................ 139
2 La méthode de la sécante ..................................................... 144
3 La méthode de Newton ...................................................... 147
12 Intégrales 151
1 L’intégrale de Riemann ...................................................... 153
2 Propriétés de l’intégrale ...................................................... 158
3 Primitive d’une fonction ...................................................... 161
4 Intégration par parties – Changement de variable ...................................... 164
5 Intégration des fractions rationnelles .............................................. 168
13 Développements limités 171
1 Formules de Taylor ......................................................... 172
2 Développements limités au voisinage d’un point ....................................... 176
3 Opérations sur les développements limités .......................................... 179
4 Applications des développements limités ........................................... 183
14 Groupes 187
1 Groupe ................................................................ 188
2 Sous-groupes ............................................................ 191
3 Morphismes de groupes ...................................................... 193
4 Le groupe Z/nZ........................................................... 196
5 Le groupe des permutations Sn................................................. 197
15 Espaces vectoriels 201
1 Espace vectoriel (début) ...................................................... 202
2 Espace vectoriel (fin) ........................................................ 205
3 Sous-espace vectoriel (début) ................................................... 208
4 Sous-espace vectoriel (milieu) .................................................. 211
5 Sous-espace vectoriel (fin) ..................................................... 214
6 Application linéaire (début) .................................................... 220
7 Application linéaire (milieu) ................................................... 221
8 Application linéaire (fin) ..................................................... 224
16 Matrices 229
1 Définition .............................................................. 230
2 Multiplication de matrices .................................................... 232
3 Inverse d’une matrice : définition ................................................ 236
4 Inverse d’une matrice : calcul .................................................. 238
5 Inverse d’une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires ........................... 239
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques ............................ 245
2

17 Leçons de choses 251
1 Travailler avec les vidéos ..................................................... 251
2 Alphabet grec ............................................................ 253
3 Écrire des mathématiques : L
A
T
EX en cinq minutes ...................................... 254
4 Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente .................................... 256
5 Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique .................................... 261
6 Formules de développements limités .............................................. 263
7 Formulaire : primitives ...................................................... 264
18 Algorithmes et mathématiques 266
1 Premiers pas avec .................................................... 266
2 Écriture des entiers ........................................................ 270
3 Calculs de sinus, cosinus, tangente ............................................... 276
4 Les réels ............................................................... 279
5 Arithmétique – Algorithmes récursifs ............................................. 284
6 Polynômes – Complexité d’un algorithme ........................................... 288
19 Cryptographie 293
1 Le chiffrement de César ...................................................... 294
2 Le chiffrement de Vigenère .................................................... 298
3 La machine Enigma et les clés secrètes ............................................ 301
4 La cryptographie à clé publique ................................................. 306
5 L’arithmétique pour RSA ..................................................... 310
6 Le chiffrement RSA ........................................................ 313
Cours et exercices de maths
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Logique &
Raisonnements
Ensembles &
Applications
Arithmétique
Nombres
complexes Polynômes Espaces
vectoriels
Groupes
Systèmes
linéaires
Dimension finie
Matrices
Applications
linéaires
Déterminants
Droites et plans
Courbes pa-
ramétrés
Géométrie affine
et euclidienne
Nombres réels
Suites I
Fonctions
continues
Zéros de
fonctions
Dérivées
Trigonométrie
Fonctions
usuelles Développements
limités
Intégrales I
Intégrales II
Suites II
Équations
différentielles
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Exo7
1 Logique ................................................. 6
1.1 Assertions ............................................ 6
1.2 Quantificateurs ........................................ 8
2 Raisonnements ............................................ 10
2.1 Raisonnement direct ..................................... 10
2.2 Cas par cas ........................................... 10
2.3 Contraposée ........................................... 11
2.4 Absurde ............................................. 11
2.5 Contre-exemple ........................................ 11
2.6 Récurrence ........................................... 11
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■
Quelques motivations
–Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais
pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut
pas exclure l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As-tu 10 euros en poche ? »
si l’on dispose de 15 euros ?
–Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est
souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition
peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f:I→Ren un
point x0∈I:
∀ε>0∃δ>0∀x∈I(|x−x0|<δ=⇒ |f(x)−f(x0)|<ε).
C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique.
–Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une
augmentation de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50% ?». Vous
pouvez penser « oui » ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui
mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres.
On parle de raisonnement.
Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes com-
plexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’infirmer
— une hypothèse et de l’expliquer à autrui.
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