Limites et continuité : Support de cours de maths au lycée

Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 1
LIMITES ET CONTINUITÉ
I) Limites
1) Quelques limites usuelles
n  N* ,  = + n  N* ,  = 
n  N * ,  
 =  n  N*,    = 
 = +  
 = 
 , a IR   = -, a IR
Remarque
x  <=> x  et x  . x  <=> x  et x  .
2) Quelques théorèmes sur les limites
a) Théorème de majoration
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage I de .
Si  x I ,  g(x) et  = 0 alors  = l .
Remarque
Le théorème de majoration reste valable lorsque  = + ou , a IR.
Exercice d’application
Calculer 
Solution
 x  IR ,  et .On a 
 ,    =  donc
 = 0
b) Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes
Soient f, g et h trois fonctions définies au voisianage I de 
Si  x I g(x)  et  =  = l , l  IR alors
 = l 
Remarque
 = +ou  = -ou , a IR.

Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 2
Exercice d’application
Calculer 
Solution
 x  IR, -1 - 1 
2  
 =   = 
c) Théorème de l’unicité de la limite
Si  = l alors l est unique.
Propriété
 Si f est définie en  alors
 = f( ) si et seulement si   .
 Si f n’est pas définie en  alors
 = l si et seulement si  .
Exercice d’application
Calculer les limites suivantes.
e) Limite et composition de fonctions
Si f est définie au voisinage de  avec  = l et g est définie au voisinage de l alors
 = .
Démonstration
Posons t = f(x). gof(x) =g(f(x)) = g(t). (1)
Si x  donc t   = .
Exercice d’application
Calculer  
.
Solution
 =  et  = 1 donc    = 1.

Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 3
f) Théorème du changement de variable
  = 
  = 
  = 
Démonstration
 = 
Soit le changement de variable t = x -  . t = x -  donc x = . f(x) = f( (1)
Si x   alors t   =  .
 = 
 et  = 
Soit le changement de variable X = 
 . X =   donc x =   . f(x) = f(  (1)
Si x   alors X   = 
 .
Exercice d’application
Calculer les limites suivantes :
 et  
Solution
 Posons X =   . Donc x =   . Si x   alors X 
 =   sinX .   =   = 1 donc   = 1
 Posons t = x  3 .Donc x = t + 3. Si x   alors t  .
 =   .    =   .    = 
g) Limites des fonctions trigonométriques
 = 1
 = 1
 = 
 = 0
3) Opérations sur les limites
 Cas des formes indéterminéés (FI)
 ,   , + , -

Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 4
 Cas particuliers
IR   IR , + 
Remarque
 La limite en l’infini d’un polynôme est égale à la limite en l’infini de son monôme le plus haut
degré.
 La limite en l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient des
monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exercice d’application Calculer les limites suivantes :
32
3
lim
3x x
;
6235lim3
 x x
;
11
402
3)4( )72(
lim 
x
x
x
;
321
lim
3x
x
x
;
x
x
x3
3
lim
;
)2(lim 2xx
x
;
2
2
5)52( 43
lim 
x
x
x
;
 2
12
lim 2
2
1xx xx x
;
x
x
x
3
1
2
lim
;
35 45
lim 4
xxx
x
;
5
4
lim 6
52
xxx
x
;
23
2
lim 2
2
xx xx x
;
Exercice d’applicaion Calculer les limites suivantes :
(a) lim
x
x
x
245
0
(b) lim
4312
4 x
x
x
(c) lim
4² 153
2 x
x
x
(d) lim
2521
2  xx x
(e) lim
x
x
x
1²1
0
(f) lim
3²2 
xx x
4) Interprétations gémétriques des limites
a) Asymptote horizontale (AH) ou asymptote parllèle à (ox)
 Si  = a , IR alors y = a est une AH à ( en + .
 Si  = a , IR alors y = a est une AH à ( en - .
b) Asymptote verticale (AV) ou asymptote parllèle à (oy)
 Si  =  IR alors x = a est une AV à (.
c) Asymptote oblique (AO)
 Si  alors y = ax + b est une AO à ( en + .
 Si  alors y = ax + b est une AO à ( en - .
Cette méthode est utilisée pour montrer que y = ax + b est est une AO à (.

Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 5
Propriété1
Soit f une fonction et ( sa courbe représentative .
Si  =  et 
 = a , IR et  = b , bIR
alors y = ax + b est une AO à ( en + .
Cette méthode asymptote oblique à (.
Remarque
Cette propriété reste valable lorsque x  .
On aura y = ax + b est une AO à ( en - .
Propriété2
 Si f(x) = ax + b + g(x) et  = 0 alors y = ax + b est une AO à ( en + .
 Si f(x) = ax + b + g(x) et  = c alors y = ax + b + c est une AO à ( en + .
Cette propriété reste valable lorsque x  . On aura respectivement y = ax + b est une AO à ( en
 et y = ax + b + c est une AO à ( en - .
Exercice d’application
1) Soit f(x) = 
 .
Déterminer  et montrer que x = - 1 est une AV à  .
2) Soit g(x) =  .
a) Montrer que y = 0 est une AH à ( en - .
b) Montrer que y = 4x est une AO à ( en + .
Solution
1) f(x) existe ssi x + 1  . x + 1  => x   = ]- 1 ; +.
 = 
 = -  donc x = -1 est une AV à  .
2) g(x) existe ssi 4   . Or  x IR 4   donc  = IR .
 + 2x = 
 = 
 = 
  = 0.
Par conséquent y = 0 est une AH à ( en -  .
 = 
 = 
 =  donc
Par conséquent y = 4x est une AO à ( en +  .