P111 TD 1

UNIVERSITE MOULAY ISMAIL
FACULTE DES SCIENCES TECHNIQUES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
ERRACHIDIA
TRAVEAUX DIRIGÉS DE THERMODYNAMIQUE
FILIERE: MIP(P111)
Serie 1
Exercice 1
Soit les fonctions de plusieurs variables:
f1 (x,y) =
xy
;
x2 +y 2
f2 (x,y) =
x2 y 2
√ ;
y
f3 (x,y) = ylog(x) + xsin(y)
1. Calculer les dérivées partielles de fonctions f1 ,f2 et f3
2. En deduire leurs diérentielles.
3. Ces diérentielles sont-elles totales exactes?
Exercice 2
On considère les fonctions de plusieurs variables, suivantes:
1
2
f1 (x,y) = xy ; f2 (x,y) = log|xy|; f3 (x,y) = xy = eylog|x| ); f4 (x,y) = (x2 + y 2 ) 3 ;
f5 (x,y) = √ 21 2 ; f6 (x,y,z) = zxlog|y|
x +y
1. Calculer les dérivées partielles de ces fonctions
2. En déduire leurs dierentielles.
3. Parmi ces diérentielles, lesquelles sont des diérentielles totales exactes?
Exercice 3
Soit les formes diérentelles suivantes:
w1 = (x + (y + 1)2 )dx + 2x(y + 1)dy
w2 = (y 2 − 3)xdx + (1 + x2 )ydy
w3 = y1 dx − yx2 dy
w4 = y 2 xdx + x2 ydy
y
x
w5 = x2 +y
2 dx + x2 +y 2 dy
w6 = −4y 2 dx − x2 dy
1. Montrer que w1 ,w2 ,w3 ,w4 ,w5 et w6 sont des diérntielles totales exactes,
et qu'il n'en est pas de même pour w6 .
2. Trouver les fonctions f1 (x,y),f2 (x,y),f3 (x,y),f4 (x,y) et f5 (x,y)
telle que: df1 = w1 ,df2 = w2 ,df3 = w3 ,df4 = w4 , et df5 = w5 .
1
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FACULTE DES SCIENCES TECHNIQUES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
ERRACHIDIA
Exercice 4
Démontrer que l'expression:
(x + y + y1 − xy2 )dx + (x + y + x1 − yx2 )dy
est la diérencielle totale exacte d'une fonction que l'on déterminera.
Exercice 5
Soit l'expression diérentielle: df =
1−y 2
dx
(1+xy)2
+
1−x2
dy
(1+xy)2
1. Quelles sont les dérivées partielles de f(x,y)?
2. df est-elle diérentielle totale exacte?
3. Chercher la fonction d'état f(x,y).
Exercice 6
Soit la forme diérentielle:
w= P (x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz
Où P, Q et R sont des fonctions de x, y et z.
A quelles conditions doivent satisfaire P, Q et R pour que w soit une diérentielle totale exacte.
Si P (x,y,z) = ϕ(x)(x2 z + z 2 + 2xz) ; Q(x,y,z) = 0 ;
R(x,y,z) = ϕ(x)(x2 + x)(x + 2z)
Où ϕ(x) est une fonction seulement de x.
Trouver l'expression de ϕ(x) pour que les conditions de la question 1
soient vériées.
Exercice 7
On considère la fonction
F (P,V,T ) = VP + PTV + VPT 2
Où P, V et T sont respectivement la pression, le volume et la température
d'un système thermodynamique.
a) Ecrire la diérentielle dF
b) dF est-elle une diérentielle totale exacte?.
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