Exercices de Dérivation, Convexité et Continuité en Mathématiques

DÉRIVATION, CONVEXITÉ ET CONTINUITÉ
 Calculer des dérivées de fonctions usuelles
 Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer la fonction dérivée de la fonction f.
1. f est la fonction définie sur  par f(x) = 3x4 – 2x3 + 7x2 – 4x – 1.
2. f est la fonction définie sur [0 ; + par f(x) = x –  + 1.
3. f est la fonction définie sur - ; 
 ; + par f(x) = 
.
 Déterminer l'équation d'une tangente
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 
.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit A le point de C d'abscisse 1.
 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A.
 Composer des fonctions
Soit u la fonction définie sur  par u(x) = x2, v la fonction définie sur  par v(x) = 3x – 1 et w la
fonction définie sur [0 ; + par w(x) = .
1. Préciser l'ensemble de définition de u v, puis déterminer explicitement (u v)(x).
2. Préciser l'ensemble de définition de v u, puis déterminer explicitement (v u)(x).
3. Préciser l'ensemble de définition de v w, puis déterminer explicitement (v w)(x).
4. Préciser l'ensemble de définition de w v, puis déterminer explicitement (w v)(x).
 Dériver une fonction composée
 Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction g sur
l’intervalle I donné :
1. g est la fonction définie sur  par g(x) = (x2 – 1)4 ; I = .
2. g est la fonction définie sur [2 ; + par g(x) =  ; I = 2 ; +.
3. g est la fonction définie sur  par g(x) =  ; I = .
 Calculer une dérivée seconde
On admet que f : x  x2 + x – 2 est deux fois dérivable sur son ensemble de définition .
 Calculer sa dérivée seconde f ’’.
 Convexité : approche graphique
Déterminer graphiquement la convexité d’une fonction
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [-3 ; 6] dont la représentation
graphique Cf dans un repère orthonormé est donnée ci-contre :
1. Déterminer graphiquement le tableau de variation de la fonction f
sur [-3 ; 6).
2. Déterminer graphiquement le (ou les) intervalle(s) sur le(s)quel(s)
f est convexe et celui (où ceux) sur le(s)quel(s) f est concave.
Déterminer graphiquement l'existence d'un point d'inflexion

On considère la fonction f : x  x3 – 3x + 2 définie sur  et sa représentation graphique Cf dans un
repère orthonormé.
1. Tracer la représentation graphique Cf de la fonction f sur [-2 ; 2].
2. Déterminer l'équation de la tangente T0 à la courbe Cf au point A d'abscisse 0. Tracer T0.
3. En déduire graphiquement l'abscisse d'un point d'inflexion de Cf.
 Convexité des fonctions dérivables
Utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité d’une fonction
Soit f la fonction polynôme définie sur  par f(x) = 
 x3 – x2 + x + 1.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère.
1. À l’aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de géométrie, conjecturer la convexité de f et les
éventuels points d'inflexion de Cf .
2. Calculer la dérivée seconde de f.
3. En déduire la convexité de f.
4. Justifier l'existence d'un point d'inflexion de Cf , que l'on précisera.
Relier convexité d'une fonction et sens de variation de sa dérivée
Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 4].
On note Cf sa courbe représentative
et Cf ’ la courbe représentative de sa fonction dérivée f ’,
représentée ci-contre.
 Cf est l'une des trois courbes ci-dessous.
Préciser laquelle en justifiant clairement la réponse.
 Étudier une fonction définie par morceaux
Soit f la fonction définie sur  par f(x) =    
   .
1. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère.
2. Étudier la continuité de la fonction f :
a. sur l'intervalle - ; -1] ; b. sur l'intervalle -1 ; + ; c. en -1.
3. Que peut-on en conclure ?
 Calculer la limite d'une suite définie par une relation de récurrence un+1 = f (un)
On considère la suite (un) définie par son premier terme u0 = 1 et par la relation de récurrence, pour
tout entier naturel n, un+1 = f (un), où f est la fonction définie sur  par f(x) = 
 x + 2.

1. Justifier que f est continue sur .
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, un  un+1  4.
b. En déduire que (un) est convergente. On note l sa limite.
3. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, conjecturer la valeur de l .
4. Démontrer qu'il existe un unique réel  tel que f() = .
5. Démontrer la conjecture de la question 3. en utilisant la continuité de f.
 Théorème des valeurs intermédiaires
Prouver l'existence d'une solution d'une équation du type f (x) = k
Soit f la fonction définie sur 0 ; + par f(x) = x – 2 + 3.
 Prouver que l'équation f (x) = 5 admet au moins une solution dans l'intervalle [4 ; 9].
Prouver l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation du type f (x) = k
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = ex + x – 2.
1. Tracer la courbe représentative de f dans un repère.
2. Démontrer que f est strictement croissante et continue sur .
3. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution  dans .
4. Déterminer avec la calculatrice un encadrement décimal de  à 10-2 près.