Fonctions de Plusieurs Variables : Topologie, Continuité, Différentiabilité
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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
ANTONIN MONTEIL
TABLE DES MATIÈRES
1. Topologie des espaces vectoriels normés 1
1.1. Normes, distances et boules 1
1.2. Ouverts et fermés de 3
1.3. Suites de 8
1.4. Compacité 9
1.5. Connexité et convexité 11
2. Applications continues 11
2.1. Caractérisations de la continuité et applications 13
2.2. Continuité et connexité 14
2.3. Continuité et compacité 14
2.4. Limite en un point et prolongement par continuité 15
3. Différentiabilité 16
3.1. Applications différentiables 16
3.2. Dérivées directionelles, dérivées partielles 18
3.3. Applications continûment différentiables 20
3.4. Vecteur gradient et matrice Jacobienne 21
3.5. Inégalité des accroissements finis 22
3.6. Dérivée le long d’une courbe et ensembles de niveau 24
4. Applications deux fois différentiables 26
5. Étude des extrema d’une fonction de plusieurs variables 30
5.1. Extrema et points critiques 30
Annexe A. Longueur d’une courbe paramétrique 35
Annexe B. Intégrale de fonctions à deux variables et aire d’une surface paramétrique 36
1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1.1. Normes, distances et boules.
Définition 1.1. Soit
un
ℝ
-espace vectoriel. Une norme sur
est une application
∶→ℝ+
telle que pour tout , ∈,∈ℝ
— (séparation) ()=0si et seulement si = 0,
— (homogénéité) () = (),
— (inégalité triangulaire) (+)() + ().
Un espace vectoriel normé (e.v.n.) est un ℝ-espace vectoriel muni d’une norme.
Dans un e.v.n., la distance entre deux points , ∈est définie par
d⋅(, ) = −.
Notation 1.2.Une notation courante pour une norme est
⋅
, et on note ainsi couramment
pour
la norme d’un vecteur .
UNIVERSITÉ PARIS-EST - CRÉTEIL VAL-DE-MARNE,[email protected]
1
2 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Proposition 1.3. L’application
∶ (, ) ∈ ×↦d⋅(, )
vérifie les propriétés suivantes :
pour tout , , ∈,
— (séparation) d(, )=0si et seulement si =,
— (inégalité triangulaire) d(, )d(, ) + d(, ).
Une application ∶×→ℝ+vérifiant les propriétés précédentes est appelée distance.
Définition 1.4. Soient ∈et ∈ℝ+.
La boule ouverte de centre et de rayon est le sous-ensemble de :
(, )={∈∶ d(, )< }.
La boule fermée de centre ∈et de rayon ∈ℝ+est le sous-ensemble de :
(, )={∈∶ d(, )}.
Exemple 1.5.La valeur absolue définit une norme sur
ℝ
:
∶↦
. La distance induite est
d(, ) = −
. Les boules ouvertes sont les intervalles ouverts
]−, +[
. Les boules fermées
sont les intervalles fermés [−, +].
Toutes les normes sur
ℝ
sont un multiple non nul de la valeur absolue : si
∶ℝ→ℝ+
est une
norme, alors par homogénéité on a pour tout
∈ℝ
,
() = (× 1) = (1)
et par séparation,
on a (1) >0.
En dimension supérieure, une façon de définir une norme est d’utiliser un produit scalaire : si
(, (⋅∣⋅))
est un espace préhilbertien, alors c’est également un espace vectoriel normé, muni de la
norme euclidienne associée,
∀∈, =(∣).
Lorsque qu’une norme est ainsi associée à un produit scalaire, on parle de norme euclidienne.
Par exemple la valeur absolue est une norme euclidienne.
Dans
ℝ
, la norme euclidienne standard est la norme associée au produit scalaire canonique,
c’est à dire la norme :
(1,…, )=
=1
2
,∀(1,…, ) ∈ ℝ.
On l’appelle parfois la norme euclidienne.
Dans
ℝ
, nous pouvons généraliser la norme euclidienne en une famille de normes dépendant
d’un paramètre
∈ [1,+∞]
qui ne sont néanmoins pas euclidiennes sauf dans le cas
= 2
(ou en
dimension 1) :
Proposition 1.6. Dans ℝ, les quantités définies pour tout = (1,…, )par
=
=11
si ∈ [1,+∞),
∞= sup1si = ∞,
définissent des normes sur ℝ.
Démonstration.
Il est facile de montrer que les quantités précédentes vérifient la propriété de
séparation et celle d’homogénéité. L’inégalité triangulaire est également facile dans le cas
= ∞
:
(1,…, )+(1,…, )∞= sup{1+1,…,+}
sup{1,…,} + sup{1,…,}
=(1,…, )∞+(1,…, )∞.
Dans le cas ∈ [1,+∞[, nous devons montrer l’inégalité de Minkowsky :
=1
(+)1
=1 1
+
=1 1
,∀= (1,…, ), = (1,…, ) ∈ ℝ.
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Celle-ci repose sur la convexité de l’application puissance
∈ℝ+↦
lorsque
1
, c’est à dire
l’inégalité
( + (1 − ))+ (1 − ),∀∈ [0,1], , ∈ℝ+.
En effet, prenons
= (1,…, )
,
= (1,…, ) ∈ ℝ
et appliquons l’inégalité pour chaque
= 1,…, avec :
=
, =
, =
+
et donc 1 − =
+
.
En sommant, on obtient
=1(+)
(+)1,
d’où le résultat. □
En dimension
= 2
, et dans les cas
= 1,2,∞
, les boules unités pour la norme
⋅
sont
respectivement un losange, un disque, et un carré :
⋅1(0,1)
∙
⋅2(0,1)
∙
⋅∞(0,1)
∙
1.2. Ouverts et fermés de .
Définition 1.7. Soit un ℝ-espace vectoriel normé.
(1)
On dit qu’un ensemble
est un voisinage d’un point
∈
s’il existe
> 0
tel que
(, ) .
Un ensemble
est dit ouvert s’il est un voisinage de tous ses points, c’est à dire si pour tout
∈, il existe > 0tel que (, ) .
Un ensemble
est dit fermé si son complémentaire dans
,
= {∈∶∉}
, est
ouvert.
Exemple 1.8.(1)
Les ensembles
∅
et
sont à la fois ouverts et fermés. En effet, par définition,
est ouvert puisqu’il est voisinage de n’importe quel point, et
∅
est ouvert car c’est un
voisinage de tous ses points puiqu’il en a aucun (il n’y a donc rien à vérifier). Par conséquent,
= ∅ et ∅=sont fermés.
(2)
Une boule ouverte est ouverte : si
∈
et
> 0
alors
(, )
est un ouvert de
. En
effet, étant donné un point
∈(, )
, nous allons montrer que
(, ′) (, )
avec
′=−(, )
. Tout d’abord, nous avons bien que
′>0
car
∈(, )
signifie que
(, )<
.
∙
(, )
∙
(, ′)
Ensuite, nous prenons un point
∈(, ′)
, et
nous montrons que ∈(, )à l’aide de l’inégalité triangulaire :
(, )(, ) + (, )′+(, ) = .
4 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
(3)
Une boule fermée est fermée : si
∈
et
> 0
alors
(, )
est fermé. En effet, nous
allons montrer que son complémentaire
(, )= {∈∶(, )> }
est un ouvert
de
. Pour cela, étant donné un point
∈
(, )
, nous allons montrer que
(, ′)
(, )
avec
′=(, ) −
. Tout d’abord, nous avons bien que
′>0
car
(, )>
.
∙
(, )
∙
(, ′)
Ensuite, nous prenons un point
∈(, ′)
, et nous montrons que
∈
(, )
à l’aide
de l’inégalité triangulaire, comme précédemment :
(, )(, ) + (, )< (, ) + ′=(, ) + (, ) − .
Par conséquent,
(, )> .
Exemple 1.9.L’intervalle semi-ouvert
[0,1[
n’est ni ouvert ni fermé dans
ℝ
. Il est non ouvert puisque
quel que soit
> 0
,
(0, )
n’est pas incluse dans
[0,1[
(
−∕2 ∈ (1, )⧵[0,1[
) montrant ainsi que
[0,1[
n’est pas voisinage de
0
. Il est non fermé car
[0,1[=] + ∞,0[∪[1,+∞[
n’est pas ouvert : en
effet, quel que soit
> 0
,
(1, )
n’est pas incluse dans
[0,1[
vu que
1− 1
2inf(1, ) ∈ (1, )∩[0,1[
montrant ainsi que [0,1[n’est pas voisinage de 1.
Proposition 1.10. Soit un espace vectoriel normé.
i) Une réunion quelconque d’ouverts est ouverte.
ii) Une intersection quelconque de fermés est fermée.
iii) Une intersection finie d’ouverts est ouverte.
iv) Une réunion finie de fermés est fermée.
Contre-exemple 1.11.Les ensembles
∪∈ℕ∗[0,1 − 1
] = [0,1[
et
= ∩∈ℕ∗]0,1 + 1
[=]0,1]
ne
sont ni ouverts ni fermés.
Démonstration. i)
Soit
()∈
une famille d’ouverts de
et
∈ ∪∈
. Par définition de la
réunion, il existe
∈
tel que
∈
. Puisque
est ouvert, il existe donc
> 0
tel que
(, ) . Mais on a donc également (, )∪∈. Donc ∪∈est ouvert.
ii)
Soit
()∈
une famille de fermés de
. Le complémentaire d’une intersection est une réunion
donc ∩∈= ∪∈
.
Comme chaque
est fermé,
est ouvert, et, par le point précédent, l’ensemble précédent est
un ouvert, c’est à dire, ∩∈est fermé.
iii)
Soit
()=1,…,
une famille finie d’ouverts de
et
∈ ∩
=1
. Pour chaque
∈ {1,…, }
,
est ouvert et il existe donc
>0
tel que
(, )
. Soit
= min{1,…, }>0
.
Pour chaque
∈ {1,…, }
, puisque
, on a
(, ) (, )
. Par conséquent
(, )∩
=1. Donc ∩
=1est ouvert.
iv)
Soit
()=1,…,
une famille finie de fermés de
. Le complémentaire d’une réunion est une
intersection donc ∪
=1= ∩
=1
.
Comme chaque
est fermé,
est ouvert, et, par le point précédent, l’ensemble précédent est
un ouvert, c’est à dire, ∪
=1est fermé.
□
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 5
Proposition 1.12. Soit
un espace vectoriel de dimension finie muni de deux normes
1
et
2
.
Étant donnés
∈
et
, on a que
est un voisinage de
pour
1
si et seulement
est un
voisinage de pour 2.
En particulier, les notions de voisinage, ouvert et fermé ne dépendent pas de la norme choisie
sur de dimension finie.
Démonstration.
Admis pour l’instant. Cela découlera de la propriété d’équivalence des normes.
□
Proposition 1.13. Si
est un ouvert (resp. fermé) de
ℝ
et si
est un ouvert (resp. fermé) de
ℝ
,
avec , ∈ℕ∗, alors le produit cartésien ×est un ouvert (resp. fermé) de ℝ+.
Démonstration.
Les notions d’ouverts et fermés ne dépendent pas de la norme, puisque les espaces
considérés sont de dimension finie. Il est plus simple ici de considérer la norme infinie :
(1,…, )∞= max{1,…,}
(1,…, )∞= max{1,…,}
(1,…, +)∞= max{1,…,+}
= max{(1,…, )∞,(1,…, )∞}.
Soient
un ouvert de
ℝ
et
un ouvert de
ℝ
, et
(, ) ∈ ×
. Par définition, il existe
1, 2>0tels que (, 1) et (, 2) . On prend alors = min{1, 2}>0. On a alors
((, ), ) (, ) × (, ) (, 1) × (, 2) × .
En effet, la première inclusion est due aux implications
(′, ′) ∈ ((, ), )⟹(′, ′)−(, )∞= max{′−∞,′−∞}<
⟸(′, ′) ∈ (, ) × (, ),
et les suivantes sont évidentes. Par conséquent ×est ouvert.
Si cette fois et sont supposés fermés, alors on calule le complémentaire
(×)= {(, ) ∈ ℝ×ℝ∶∈et ∈}
= {(, ) ∈ ℝ×ℝ∶∉ou ∉}
= (×ℝ)∪(ℝ×).
Or,
×ℝ
et
ℝ×
sont ouverts, par produit (première partie de la preuve), et leur réunion est
donc ouverte. Par conséquent, ×est fermé. □
Exemple 1.14.Un rectangle de la forme
], [×], [
est ouvert dans
ℝ2
. Plus généralement, un
pavé de la forme
]1, 1[×⋯×], [
est ouvert dans
ℝ
. Un pavé de la forme
[1, 1] × ⋯× [, ]
est fermé dans ℝ.
Définition 1.15. Soit . On définit :
—
L’adhérence de
, notée
ou
Adh()
, est le plus petit fermé contenant
, c’est à dire
l’intersection de tous les fermés contenant .
—
L’intérieur de
, notée
ou
Int()
, est le plus grand ouvert contenu dans
, c’est à dire
la réunion de tous les ouverts contenus dans .
— La frontière de est l’ensemble Fr() =
⧵
.
Remarque 1.16.Dans un espace vectoriel de dimension finie, les notions d’adhérence et d’intérieur
ne dépendent pas de la norme choisie (équivalence des normes).
Exemple 1.17.— On a
∅ =
∅=∅et
=
=.
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