Notes de cours Analyse 1 - Université de Genève

Analyse 1
semestre d’automne
Y. Velenik
[email protected]
— Version du 16 novembre 2023 —
Dernière version téléchargeable à l’adresse
http://www.unige.ch/math/folks/velenik/cours.html

Remerciements
Lors de la rédaction de ces notes de cours (et des exercices inclus), je me suis fortement inspiré
de celles de plusieurs collègues; en particulier, H. Duminil-Copin, S. Friedli, T. Gallouët, A. Giroux,
A. Knowles et P. Wittwer, ainsi que du livre de E. Hairer et G. Wanner. Un grand merci à eux!

Table des matières
Table des matières i
0 Notions de base 1
0.1 Logique ............................................. 1
0.2 Théorie des ensembles .................................... 4
0.3 Fonctions ............................................ 6
0.4 Exercices supplémentaires .................................. 10
1 Axiomatique des nombres réels 13
1.1 Les axiomes de l’arithmétique ................................ 13
1.2 Les axiomes d’ordre ...................................... 15
1.3 L’axiome de la borne supérieure ............................... 20
1.4 Les entiers naturels ...................................... 21
1.5 Puissances rationnelles .................................... 25
1.6 Quelques classes importantes de fonctions ......................... 27
1.7 Exercices supplémentaires .................................. 28
2 Suites numériques 33
2.1 Limite d’une suite numérique ................................ 33
2.2 Convergence monotone .................................... 39
2.3 Suites tendant vers l’inni et formes indéterminées .................... 42
2.4 Sous-suites et valeurs d’adhérence .............................. 44
2.5 Suites de Cauchy ....................................... 47
2.6 Exercices supplémentaires .................................. 48
3 Fonctions continues 53
3.1 Limite d’une fonction en un point .............................. 53
3.2 Convergence à l’inni et divergence vers l’inni ...................... 56
3.3 Continuité ........................................... 57
3.4 Maximum et minimum d’une fonction continue ...................... 60
3.5 Théorème des valeurs intermédiaires ............................ 61
3.6 Continuité de la fonction réciproque ............................. 65
3.7 Continuité uniforme ...................................... 66
3.8 Exercices supplémentaires .................................. 67
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ii Table des matières
4 Calcul diérentiel 71
4.1 La dérivée d’une fonction ................................... 71
4.2 Propriétés des dérivées .................................... 73
4.3 Accroissements et dérivées .................................. 75
4.4 Dérivées d’ordres supérieurs ................................. 79
4.5 Comparaison asymptotique .................................. 81
4.6 Extrema locaux ........................................ 84
4.7 Exercices supplémentaires .................................. 85
5 Calcul intégral 91
5.1 Intégrabilité au sens de Riemann ............................... 91
5.2 Propriétés de l’intégrale .................................... 95
5.3 Primitives et théorème fondamental de l’analyse ...................... 99
5.4 Propriétés supplémentaires .................................. 101
5.5 Intégrales impropres ..................................... 103
5.6 Exercices supplémentaires .................................. 106
6 Fonctions élémentaires 109
6.1 Les fonctions trigonométriques ................................ 109
6.2 Les fonctions logarithme et exponentielle .......................... 114
6.3 Exercices supplémentaires .................................. 120
7 Topologie de la droite réelle 125
7.1 Ensembles ouverts ....................................... 125
7.2 Ensembles fermés ....................................... 126
7.3 Frontière, adhérence, intérieur et extérieur ......................... 128
7.4 Ouverts et fermés relatifs ................................... 130
7.5 Ensembles compacts ...................................... 131
7.6 L’ensemble de Cantor ..................................... 131
7.7 Exercices supplémentaires .................................. 134
A Calcul de primitives 135
A.1 Primitives de quelques fonctions usuelles .......................... 135
A.2 Quelques remarques sur l’intégration par changement de variable ............ 136
A.3 Quelques remarques sur l’intégration par parties ...................... 137
A.4 Intégration de fonctions rationnelles ............................. 138
B Chapitres choisis 143
B.1 La méthode de Newton .................................... 143
B.2 La fonction de Takagi ..................................... 145
B.3 Il n’existe pas de fonction continue uniquement sur les rationnels ............ 148
C Solutions des quiz 149
Index 151

Informations
Ces notes présentent le contenu du cours d’Analyse I, premier semestre, donné à l’université de
Genève aux étudiants de première année de bachelor en mathématiques, en physique, en informatique
et en mathématiques et sciences informatiques. Il est probable qu’un certain nombre d’erreurs soient
présentes. Le cas échéant, des corrections seront eectuées tout au long du semestre. Il est également
possible que des informations manquantes soient ajoutées. Vous pourrez toujours télécharger la version
la plus récente du polycopié depuis la page Moodle du cours. Merci de me communiquer toute erreur
que vous trouveriez (si possible après avoir vérié qu’elle est toujours présente dans la version la plus
récente).
Conseils généraux au sujet du cours
Si vous souhaitez avoir une version papier du polycopié, vous pouvez imprimer le pdf vous-même
ou le faire imprimer par la centrale de polycopie d’Uni Mail (je vous renvoie à leur site internet pour
la procédure).
Il est fortement recommandé que vous annotiez le polycopié, très détaillé, plutôt que de prendre
des notes. Cela vous permettra de suivre les explications données en cours (le rythme du cours sera
probablement substantiellement plus rapide que ce à quoi l’enseignement secondaire vous a habitué).
Il vous est également conseillé de relire le polycopié chez vous. Pour certaines personnes, le proces-
sus d’apprentissage est facilité par l’écriture : si c’est votre cas, recopiez chez vous les parties les plus
importantes des notes, ou protez-en pour préparer un résumé après chaque cours.
Lors de votre relecture, vous pouvez tester votre compréhension en répondant aux quiz (repérés
par le symbole ); ceux-ci ne seront discutés ni en cours ni durant les séances d’exercices, mais les
réponses se trouvent dans l’Appendice Cen page 149 (et les assistants ou moi-même sommes évidem-
ment disponibles en cas de dicultés). Dans ces quiz, un certain nombre d’armations sont données,
et vous devez cocher celles qui sont correctes. Notez que vous devriez être capable de défendre votre
choix : si vous avez coché la case, vous devriez pouvoir démontrer l’armation (ou expliquer comment
se ramener à un résultat démontré antérieurement); si vous ne l’avez pas cochée, vous devriez être en
mesure de produire un contre-exemple.
Le but de ce cours (et de sa suite au second semestre) est de vous enseigner une approche rigoureuse
de l’analyse réelle. Vous devriez déjà avoir rencontré la plupart des concepts abordés dans ce cours
lors de vos études secondaires. Toutefois, le niveau de rigueur exigé ici est beaucoup plus élevé. En
particulier, le but du cours n’est pas uniquement calculatoire (apprendre à calculer des limites, des
dérivées, des intégrales, etc.), mais également d’apprendre à rédiger des démonstrations. Ainsi, s’il y
aura évidemment des exercices calculatoires, il y aura également un nombre important d’exercices vous
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