Chapitre II Gain et stabilité des quadripôles

ENSP/Master1 Télécom/ Chapitre 2 : Gain et stabilité des quadripôles
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Dr NKOUKA MOUKENGUE, Maître-Assistant CAMES
Chapitre 2 : Gain et stabilité des quadripôles
1. Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étudier le comportement d’un quadripôle défini par sa matrice [S]
quand il est mis dans un circuit. On commence par l’étude de gain d’un quadripôle, puis sa
stabilité lors de son fonctionnement.
2. Quadripôle unilatéral
Le gain que l’on peut tirer d’un quadripôle est l’une des caractéristiques les plus importantes
que l’on peut déduire de la connaissance de ses paramètres S. Le gain transducique est la notion
de gain la plus générale applicable aux quadripôles puisqu’elle inclut simultanément les
coefficients de réflexion présentés à son entrée et à sa sortie. Avant d’aborder le cas général
nous allons faire le calcul dans le cas particulier du quadripôle unilatéral.
Figure. 1 Quadripôle alimenté en entrée et chargé en sortie.
Considérons le schéma donné figure.1 où le quadripôle est par exemple un bipolaire ou un FET
auquel ont été intégré les tronçons de ligne d’accès comme vu auparavant. L’impédance de
normalisation est supposée être R0 = 50Ω. Supposer le quadripôle unilatéral signifie alors que
S12 ≈ 0.
3. Coefficients de réflexion à l’entrée et à la sortie d’un quadripôle
Soit un quadripôle Q défini par sa matrice [S]. Ce quadripôle est connecté à une source de
tension E avec une impédance interne Zs, et il est chargé par une impédance Zl.
Figure 2 : Coefficients de réflexion à l’entrée et à la sortie d’un quadripôle
Le coefficient de réflexion par rapport à la source est :

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Le coefficient de réflexion par rapport à la charge est :
Le coefficient de réflexion à l’entrée du quadripôle s’écrit :
 c’est l’impédance d’entrée du quadripôle chargé par .
Le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle s’écrit :
 c’est l’impédance de sortie du quadripôle alimenté par la source d’impédance .
Remarque :  est définie indépendamment de la source de . Il s’agit de la même chose pour
 et .
Pour calculer  on divise l’équation (1) par  et l’équation (2) par  :
 (4)
Remplaçant (4) dans (3), on trouve l’expression du coefficient de réflexion à l’entrée d’un
quadripôle chargé en fonction de ses paramètres S et de coefficient de réflexion à la charge :
 (5)
De la même façon, il est possible de déterminer le coefficient de réflexion à la sortie d’un
quadripôle en fonction de ses paramètres S, et de coefficient de réflexion à la sortie.
 (6)
Les expressions de  et  peuvent être mises sous la forme :
 et 

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4. Gain en puissance d’un quadripôle
4.1 Transfert de puissance
Figure 3 : Transfert de puissance à travers un quadripôle.
La puissance fournie par le générateur traverse le quadripôle pour atteindre la charge.
On définit :
•  : la puissance disponible à la source ;
•  : la puissance délivrée au quadripôle (puissance entrante) ;
•  : la puissance disponible à la charge (puissance sortante) ;
•  : la puissance délivrée à la charge (puissance utile dissipée par la charge) .
Pour que le maximum de puissance soit transmis de la source vers le quadripôle, il faut que
l’entrée soit adaptée (  
 ) dans ce cas :  sinon, le transfert sera partiel et une
partie de puissance sera réfléchie vers la source.
Pour que le maximum de puissance soit transmis du quadripôle vers la charge, il faut que la
source soit adaptée (  
 ) dans ce cas  
Le gain en puissance d’un quadripôle dépend donc de l’adaptation entre la source et le
quadripôle, et de l’adaptation entre le quadripôle et la charge. On définit trois types de gain en
puissance :
- Gain transducique (Gain de transfert en puissance)
C’est le rapport entre la puissance délivrée à la charge et la puissance disponible.
- Gain en puissance disponible : c’est le rapport entre la puissance disponible à la charge
et la puissance disponible à la source. Il ne dépend que de l’adaptation à l’entrée
- Gain en puissance : c’est le rapport entre la puissance délivrée à la charge et la puissance
délivrée au quadripôle. Il dépend que de l’adaptation à la sortie.
4.2 Gain en puissance

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Pour calculer le gain en puissance, on commence par le calcul de la puissance fournie à la
charge et la puissance fournie au quadripôle.
Puissance fournie à la charge en fonction des ondes de répartition est :
Après démonstration, on trouve :
 (6)
Exprimant la puissance à l’entrée du quadripôle :
Après démonstration, on trouve :
Finalement, on a l’expression du gain en puissance pour un quadripôle :
4.3 Gain en puissance disponible
La puissance disponible à la source c’est le maximum de puissance qu’on peut tirer de cette
source, donc elle se calcule quand l’entrée est adaptée.
De la même façon, la puissance disponible à la sortie du quadripôle quand la sortie est adaptée :
Finalement, on a l’expression du gain disponible
4.4 Gain transducique
Les deux puissances  et  sont déjà calculées, donc le rapport c’est GT :

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On montre qu’il est possible aussi de mettre GT en fonction de , sous la forme suivante :
Pour un quadripôle adapté (   et   ) :    , c’est le gain
maximal dans ce cas , donc  représente le gain propre d’un quadripôle.
N.B : Dans le cas d’un quadripôle unilatéral (   ou si, il est suffisamment faible) : 
 et  , le gain GT devient le gain de transfert unilatéral GTU :
Avec 
 ;  et 
L’expression du gain  est composée de trois termes, le premier dépend de l’adaptation entre
la source et le quadripôle, le deuxième représente le gain propre du quadripôle, et le troisième
dépend de l’adaptation entre le quadripôle et la charge.
On obtient le maximum du gain si l’entrée du quadripôle est adaptée à la source, et la charge
est adaptée à la sortie du quadripôle ( 
)
D’où :  
5 Quadripôle unilatéral : Cercles à gain d’entrée constant
Pour un quadripôle donné, en particulier pour un paramètre S11 donné, on peut chercher dans
l’Abaque de Smith le lieu des points représentant l’adaptation d’entrée donnant Gs = Cte ≤
Gsmax . On démontre alors qu’ils se situent sur des cercles3 dits à gain d’entrée constant. Pour
chaque gain d’entrée normalisé choisi, g1 = Gs/Gsmax = G1(1− |S11|2), le lieu de ces adaptations
d’entrée correspondantes est un cercle de rayon R, dont le centre est à une distance D du centre
de l’abaque sur la direction pointée par l’adaptation optimale S  11. R et D sont donnés par
Et   
La même démarche peut être réalisée pour l’adaptation de sortie et le résultat formel obtenu sera le
même puisque les gains d’adaptation entrée et sortie sont formellement identiques.
6. Stabilité d’un quadripôle actif