Calcul différentiel et extrema de fonctions de Rn dans R

Calcul différentiel et extrema de
fonctions de Rndans R
Eurinsa 2
2023 - 2024
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Sommaire
1Un brin de topologie
Boules de Rn
Ouverts et fermés de Rn
2Limite d’une fonction de Rndans R
3Continuité d’une fonction de Rndans
R
4Dérivées partielles d’ordre 1 et
dérivées directionnelles
5Fonctions de classe C1et
développement limité
6Différentielle et opérations
7Gradient et plan tangent
8Fonctions de classe Ck(k≥2)
9Extrema d’une fonction de Rndans R
Développement limité d’ordre 2
Hessienne d’une fonction en un point
Extrema locaux sur un ouvert
Exemple d’une fonction de Rdans R
Exemple d’une fonction de R2dans R
Points critiques
Nature d’un point critique
Illustration pour une fonction
f:R2→R
Extrema locaux sur un fermé borné

Un brin de topologie
Boules de Rn
L’espace vectoriel Rnest muni de sa norme euclidienne usuelle ∥·∥définie pour
tout x= (x1,x2,...,xn)∈Rnpar ∥x∥=x2
1+x2 2+· · · +x2
n1/2(vue au
chapitre "produit scalaire").
Les vecteurs de Rnseront affichés en gras pour les distinguer des réels.
Définition 1.1
Soit a∈Rn, et run réel positif.
La boule ouverte de centre aet de rayon rest l’ensemble
B(a,r) = x∈Rn
∥x−a∥<r.
La boule fermée de centre aet de rayon rest l’ensemble
B(a,r) = x∈Rn
∥x−a∥ ≤ r.
La sphère de centre aet de rayon rest l’ensemble
S(a,r) = x∈Rn
∥x−a∥=r.
La boule ouverte B(0Rn,1)est appelée boule unité de Rnet tout vecteur de
S(0Rn,1)est appelé vecteur unitaire.
:::::
Rappel : pour tout u∈Rn, si u̸=0Rnalors 1
∥u∥.uest un vecteur unitaire de Rn.
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Un brin de topologie
Ouverts et fermés de Rn
Définition 1.2
Soit Aune partie de Rn.
On dit que Aest un ouvert de Rnlorsque
∀a∈A∃r>0B(a,r)⊂A.
On dit que Aest un fermé de Rnlorsque le complémentaire de Adans Rn
est un ouvert de Rn.
Proposition 1.3
Rnet ∅sont à la fois ouverts et fermés dans Rn.
Une réunion d’ouverts est un ouvert. L’intersection d’un nombre fini
d’ouverts est un ouvert.
Une intersection de fermés est un fermé. La réunion d’un nombre fini de
fermés est un fermé.
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Limite d’une fonction de Rndans R
Sauf indication contraire, dans la suite, Xdésignera une partie de Rnet Uun
ouvert de Rn.
Soit fune application de X⊂Rndans Ret a∈Rntel que pour tout r>0,
B(a,r)∩X̸=∅(on dit alors que aest un point adhérent à X).
Définition 2.1 (Limite finie en a)
On dit que fa pour limite ℓen a(et on note lim
x→af(x) = ℓ) si
∀ε > 0,∃η > 0,∀x∈X,∥x−a∥ ≤ η=⇒ |f(x)−ℓ| ≤ ε.
Définition 2.2 (Limite infinie en a)
On dit que fa pour limite +∞en asi
∀A∈R,∃η > 0,∀x∈X,∥x−a∥ ≤ η=⇒f(x)≥A.
On peut écrire une définition analogue pour dire que fa pour limite −∞ en a.
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