Corrigé d'examen : Algèbre linéaire pour l'informatique L1

UNIVERSITÉ DE DOUALA - FS - DMI
Contrôle Continu UE : INF 132
Filière : Informatique Corrigé-type
Niveau : Licence 1 Mai 2025
Élément d’Algèbre pour Informatique I
Exercice 1 Produit matriciel (06 points)
Dans chaque cas, dire si c’est le produit AB ou BA qui est possible,
et le calculer.
(1) A= 2 1 3
3 2 −1!,B=
2 1
3 2
−1 0
.AB = 4 4
13 7!.2 pts
(2) A=
−1−1 0
1 4 −1
212
,B= 120
314!.BA = 1 7 −2 6 5 7 !.2 pts
(3) A= −126
3 5 7!,B=
7 2
−5 2
3 1
6 0
.BA =
−1 24 56
11 0 −16
0 11 25
−6 12 36
.2 pts
Exercice 2 Espace vectoriel (12 points)
Let S=⟨(1,2,3,4),(2,2,2,6),(0,2,4,4)⟩and T=⟨(1,0,−1,2),(2,3,0,1)⟩.
(1) Déterminer une base et la dimension de S.
1234
2226
0244
∼
1 2 3 4
0−2−4−2
0 2 4 4
∼
1234
0121
0122
∼
1234
0122
0001
.
Donc Base de S:B1= ((1,2,3,4),(0,1,2,1),(0,0,0,1)).2 pts
dim(S)=3.2 pts
(2) Déterminer une équation de S.
1 2 3 4
0 1 2 2
0 0 0 1
x y z t
∼
1 2 3 4
0 1 2 2
0 0 0 1
0y−2x z −3x t −4x
∼
1 2 3 4
0 1 2 2
0 0 0 1
0 0 x−2y+z4x−4y+t
.
Donc S:x−2y+z= 0.2 pts
(3) Déterminer S∩Tet S+T.
v∈T⇐⇒ v= (a+2b, 3b, −a, 2a+b). Ce v∈S⇐⇒ a+2b−2(3b)+(−a) =
0⇐⇒ b= 0 ⇐⇒ v=a(1,0,−1,2).
Donc S∩T=⟨(1,0,−1,2)⟩.2 pts
D’après le théorème de Grassmann, dim(S+T)=4. D’où S+T=R4.
Une base de S+T: toute base de R4.1 pt
(4) Déterminer, si possible, un sous-espace S′⊆Ttel que S⊕S′=R4.
S′=⟨(2,3,0,1)⟩.2 pts
(5) Déterminer, si possible, un sous-espace vectoriel S′′ tel que S⊕S′′ =
R4et T∩S′′ ={0R4}.
(1,2,3,4) + (2,3,0,1) = (3,5,3,5). Prendre S′′ =⟨(3,5,3,5)⟩.2 pts
Two marks of presentation to everybody. 2 pts
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