CHAPITRE 3 – Repères, points et droites

Mathématiques - Cours de Seconde - CHAPITRE 9 – Configurations
CHAPITRE 9 – GÉOMÉTRIE
A) Le triangle (Rappels)
1) Droites et points remarquables
a) Médianes et centre de gravité
Les médianes sont les droites issues des sommets et passant par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité, G.
G est situé aux 2/3 de chaque médiane.
AG = 2 GA’ BG = 2 GB’ CG = 2 GC’
b) Hauteurs et Orthocentre
Les hauteurs d’un triangle sont les droites issues des sommets et perpendiculaires au côté opposé.
(AE) ┴ (BC) (BF) ┴ (AC) (CD) ┴ (AB)
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Les hauteurs d’un triangle sont concourantes, leur point d’intersection est l’orthocentre O.
c) Bissectrices et cercle inscrit
Les bissectrices d’un triangle sont Les droites issues des sommets qui partagent l’angle du sommet en deux
angles égaux.
Les bissectrices d’un triangle sont concourantes, et leur point d’intersection est le centre I du cercle inscrit : IP
= IQ = IR, où les points P, Q et R sont obtenus en traçant depuis I les perpendiculaires aux côtés du triangle :
(IP) ┴ (BC), (IQ) ┴ (AB) et (IR) ┴ (AC).
d) Médiatrices et cercle circonscrit
Les médiatrices d’un triangle sont les droites passant par les milieux des côtés et perpendiculaires à ces côtés.
Les médiatrices d’un triangle sont concourantes et leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit :
OA = OB = OC.
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e) Exemples d’application
I) Tracer le triangle ABC avec AB = 2cm, BC = 4cm et AC = 5cm
II) Tracer les médianes (AK), (BJ) et (CI), vérifier qu’elles sont concourantes en G.
III) Vérifier que G est aux 2/3 de chaque médiane en mesurant AG, AK, BG, BJ,CG et CI
IV) Tracer un parallélogramme ABCD, et I et J milieux de [AB] et [AD].
V) Tracer (BJ), (DI) et AC.
Ces trois droites sont concourantes : pourquoi ? Prouvez-le !
Indication : Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux ! (et 2a) de la leçon).
B) Pythagore et le triangle rectangle
1) Théorème de Pythagore
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB² + AC² = BC²
Réciproque du théorème de Pythagore :
Si ABC est un triangle et que AB² + AC² = BC², alors ABC est rectangle en A.
2) Triangle rectangle et cercle
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors A est sur le cercle de diamètre BC.
Réciproque :
Si A est sur le cercle de diamètre [BC] avec A différent de B et C, alors ABC est un triangle rectangle en A.
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3) Triangle rectangle et médiane
Si ABC est rectangle en A et O le milieu de [BC], alors BC = 2 AO.
Réciproque : Si ABC est un triangle avec O milieu de [BC] et si BC = 2 AO, alors ABC est rectangle en A.
4) Trigonométrie
Soit ABC un triangle rectangle en A.
a) Sinus, cosinus, tangente et cotangente
On aura cos(Ĉ) = AC / BC, sin(Ĉ) = AB / BC, tan(Ĉ) = AB / AC et cotan(Ĉ) = AC / AB.
b) Valeurs remarquables
À partir de certaines figures, on peut trouver des valeurs particulières :
· Triangle rectangle isocèle (45°/ 45°/ 90°)
AB = AC et BC² = AB² + AC² = 2 AB² d’où, toutes ces longueurs étant positives, AB = AC = BC /
√
2
cos(45°) =AC / BC =
1
√
2
=
√
2
2
, et de même :
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cos(45°) =
√
2
2
sin(45°) =
√
2
2
tan(45°) = cotan(45°) = 1.
· Demi-triangle équilatéral (30°/ 60°/ 90°)
BD = DC = AC / 2 et AD² + DC² = AC² = (2 DC)² = 4 DC², donc AD² = 3 DC² et AC² = 4 DC².
D’où on tire DC / AC =
1
2
, AD / AC =
√
3
4=
√
3
2
et AD / DC =
√
3
cos(30°) =
√
3
2
sin(30°) =
1
2
tan(30°) =
√
3
3
cotan(30°) =
√
3
cos(60°) =
1
2
sin(60°) =
√
3
2
tan(60°) =
√
3
cotan(60°) =
√
3
3
C) Thalès et les triangles semblables
1) Théorème des milieux
a) Si I est le milieu de [AB] et si (IJ) // (AC), alors J est le milieu de [BC].
b) Réciproque : Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors (IJ) // (BC).
(même figure)
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