DM Probabilités : Loi du Demi-Cercle - Lycée Lakanal

Lycée Lakanal, Sceaux Pour le 11/03/2025
MP – Mathématiques
A. Troesch
DM no16 : Probabilités
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Cahier-de-Prépa avant la date et heure ci-dessus.
Problème 1 –Centrale MP math 1, 2021 - La loi du demi-cercle
Notations
‚Pour tous entiers naturels pet qtels que pďqon note vp, qwl’ensemble tiPN|pďiďqu.
‚Pour tout entier naturel ntel que ně1, on note MnpRql’ensemble des matrices à nlignes et ncolonnes à
coefficients réels, SnpRql’ensemble des matrices symétriques et à coefficients réels de taille net OnpRql’ensemble
des matrices réelles orthogonales de taille n.
‚Pour toute matrice symétrique réelle MPSnpRqon note λ1pMq ě λ2pMq ě ¨¨¨ ě λnpMqses valeurs propres
rangées dans l’ordre décroissant.
‚On note MJla transposée d’une matrice M.
‚Pour tout pi, jq P v1, nw2, on note Eij la matrice de la base canonique de MnpRqdont tous les coefficients sont
nuls sauf celui situé sur la i-ème ligne et la j-ème colonne qui vaut 1.
‚Pour toute matrice MPMnpRq, on note }M}F“atr pMMJqsa norme euclidienne canonique.
‚Dans tout le problème, on note pΩ,A,Pqun espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires considérées sont
définies sur Ω.
‚Étant donnée une variable aléatoire discrète Xà valeurs réelles admettant une espérance, on note EpXqson
espérance. Si Xadmet une variance, on note VpXqsa variance .
Problématique
En essayant d’expliquer la répartition des niveaux d’énergie des noyaux des atomes lourds, Eugene Wigner a été amené,
dans les années 1950 , à étudier le spectre de matrices symétriques réelles aléatoires de grande taille. La figure 1 montre
un histogramme qui représente la répartition des valeurs propres d’une matrice symétrique réelle de taille n“2500
constituée de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, d’espérance nulle et de variance égale à 1.
´100 ´80 ´60 ´40 ´20 0 20 40 60 80 100
λ
5
10
15
20
25
30
35
Figure 1 –
1

On voit que les valeurs propres se répartissent suivant un profil en demi-cercle de rayon 2?n. En normalisant par un
facteur 1{?non obtient le profil d’un demi-cercle de rayon 2 .
Plus précisément, on considère pXij qpi,jqPpN˚q2une famille de variables aléatoires discrètes réelles telles que
‚pour tout pi, jqPpN˚q2, Xij “Xji
‚les variables aléatoires Xij sont de même loi, d’espérance nulle et de variance 1 ;
‚pour ně1, les variables aléatoires Xij , pour 1ďiďjďn, sont mutuellement indépendantes.
Pour tout nPN˚et pour tout ωPΩ, on note Mnpωqla matrice pXij pωqq1ďi,jďnPMnpRq.
Pour tout ωPΩ, on note Λ1,npωq ě ¨¨¨ ě Λn,npωqles valeurs propres de 1
?nMnpωq.
On définit ainsi, pour nPN˚et iP v1, nw, des variables aléatoires réelles discrètes Λi,n sur pΩ,A,Pq.
On se propose de montrer le résultat suivant :
Loi du demi-cercle
Pour toute fonction f:RÑRcontinue et bornée,
E˜1
n
n
ÿ
i“1
fpΛi,nq¸nÑ`8 ÝÑ 1
2πż2
´2
fpxqa4´x2dx
Dans la partie I, on établit une inégalité portant sur les valeurs propres d’un couple de matrices symétriques. La
partie II est consacrée à la résolution d’un problème de dénombrement qui est utilisée dans la partie III où la loi du
demi-cercle est démontrée pour des variables aléatoires uniformément bornées. Dans la partie IV, on établit la loi du
demi-cercle dans le cas général en utilisant les résultats des parties I et III.
Partie I – Inégalité de Hoffman-Wielandt
I.A - Soient Aet Bdeux matrices de SnpRq.
1. Montrer que, pour tout Mdans MnpRqet pour tous Pet Qdans OnpRq, on a }P M Q}F“ }M}F.
2. On note DA“diag pλ1pAq, . . . , λnpAqq et DB“diag pλ1pBq, . . . , λnpBqq. Montrer qu’il existe une matrice
orthogonale P“ ppi,j q1ďi,jďntelle que }A´B}2
F“ }DAP´P DB}2
F
3. Montrer que
}A´B}2
F“ÿ
1ďi,jďn
p2
i,j pλipAq ´ λjpBqq2
I.B - On note BnpRql’ensemble des matrices bistochastiques de MnpRq, c’est-à-dire l’ensemble des matrices M“
pmi,j q1ďi,jďndont tous les coefficients sont positifs ou nuls et tels que
n
ÿ
j“1
mi,j “
n
ÿ
j“1
mj,i “1pour tout iP v1, nw.
On note f:ˇˇˇˇˇˇ
MnpRq ÝÑ R
MÞÝÑ ÿ
1ďi,jďn
mi,j pλipAq ´ λjpBqq2
4. Justifier que fadmet un minimum sur BnpRq.
On se propose de montrer que ce minimum est atteint en la matrice identité.
5. Soit pi, j, kqPv1, nw3tel que jěiet kěi. Montrer que, pour MPMnpRqet pour xPR`,
fpM`xEii `xEjk ´xEik ´xEjiq ´ fpMq “ 2xpλipAq ´ λjpAqqpλkpBq ´ λipBqq ď 0.
6. Soient ně2et M“ pmi,j q1ďi,jPnPBnpRqune matrice différente de l’identité. On note ile plus petit entier
appartenant à v1, nwtel que mi,i ‰1. Montrer qu’il existe une matrice M1“`m1
i,j ˘1ďi,jďnPBnpRqtelle que
fpM1q ď fpMqet m1
j,j “1pour tout jP v1, iw.
7. En déduire que
min tfpMq | MPBnpRqu “ fpInq
I.C -
8. En déduire que
@pA, Bq P SnpRq2,
n
ÿ
i“1pλipAq ´ λipBqq2ď }A´B}2
F
2

Partie II – Dénombrement des mots bien parenthésés
Dans cette partie, on s’intéresse à des chaînes de caractères constituées uniquement des deux caractères parenthèse
ouvrante et parenthèse fermante. On dit qu’un mot est bien parenthésé s’il commence par une parenthèse ouvrante et
qu’à toute parenthèse ouvrante est associée une (unique) parenthèse fermante qui lui est postérieure. Par exemple le
mot
pqppqq
est bien parenthésé. En revanche, le mot
pqqpq
n’est pas bien parenthésé. Un mot bien parenthésé est ainsi forcément constitué d’un nombre pair de caractères, chaque
parenthèse qui s’ouvre doit se refermer.
Pour tout entier ně1, on note Cnle nombre de mots bien parenthésés de longueur 2n. On pose par commodité
C0“1.
II.A -
9. En énumérant les différents mots bien parenthésés de longueur 2, 4 et 6, montrer que C1“1, C2“2et
déterminer C3.
10. Montrer que, pour tout entier naturel n, Cnď22n. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la
série entière řCkxk?
11. Montrer par un raisonnement combinatoire que, pour tout entier kě1,
Ck“
k´1
ÿ
i“0
CiCk´i´1
On peut remarquer qu’un mot bien parenthésé est forcément de la forme pmqm1avec met m1deux mots bien
parenthésés, éventuellement vides.
II.B - Pour tout xPȷ´1
4,1 4„, on pose Fpxq “
`8
ÿ
k“0
Ckxk.
12. Montrer que, pour tout xPȷ´1
4,1 4„, F pxq “ 1`xpFpxqq2.
13. Montrer que la fonction f:ˇˇˇˇˇˇȷ´1
4,1 4„ÝÑ R
xÞÝÑ 2xF pxq ´ 1
ne s’annule pas.
14. Déterminer, pour tout xPȷ´1
4,1 4„, une expression de Fpxqen fonction de x.
15. Déterminer le développement en série entière de la fonction uÞÑ ?1´u. On écrira les coefficients sous la forme
d’un quotient de factorielles et de puissances de 2.
16. Montrer que, pour tout entier naturel n,
Cn“p2nq!
pn`1q!n!
Partie III – Loi du demi-cercle, cas uniformément borné
On suppose, uniquement dans cette partie, que les variables aléatoires Xij sont uniformément bornées :
DKPR,@pi, jq P pN˚q2,|Xij | ď K.
III.A - Pour tout entier naturel kon pose
mk“1
2πż2
´2
xka4´x2dx
3

17. Pour kPN, que vaut m2k`1?
18. En utilisant le changement de variable x“2 sin t, calculer m0.
19. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout entier naturel k,
m2k`2“2p2k`1q
k`2m2k
20. En déduire que
mk“#Ck{2si kest pair,
0si kest impair.
III.B - Soit kun entier naturel. On se propose de montrer que
lim
nÑ`8
E˜1
n
n
ÿ
i“1
Λk
i,n¸“mk,
où Λk
i,n “ pΛi,nqkest la puissance k-ième de Λi,n.
21. Justifier que la variable aléatoire
n
ÿ
i“1
Λk
i,n admet une espérance et que
E˜1
n
n
ÿ
i“1
Λk
i,n¸“1
n1`k{2E`tr `Mk
n˘˘“1
n1`k{2ÿ
pi1,...,ikqPv1,nwk
E`Xi1i2Xi2i3¨¨¨Xik´1ikXiki1˘.
On appelle cycle de longueur kà valeurs dans v1, nw, tout pk`1q-uplet ⃗ı “ pi1, i2, . . . , ik, i1qd’éléments de v1, nw. Les
éléments i1, . . . , iksont appelés sommets du cycle ⃗ı. On dit aussi que le cycle passe par ces sommets. On note |⃗ı|le
nombre de sommets distincts du cycle ⃗ı.
On appelle arêtes du cycle pi1, i2, . . . , ik, i1qles couples non ordonnés (l’ordre des deux éléments de chaque couple n’est
pas significatif) pi1, i2q,pi2, i3q,...,pik, i1q.
Par exemple ⃗ı “ p1,3,5,3,2,2,1qest un cycle de longueur 6 dans v1,5w.Les sommets de ce cycle sont les éléments
1,2,3et 5, donc |⃗ı| “ 4. Les arêtes distinctes de ce cycle sont p1,3q,p3,5q,p3,2q,p2,2qet p2,1q. Les arêtes p3,5qet
p5,3qsont les mêmes.
22. Montrer que le nombre de cycles de longueur kdans v1, nwpassant par ℓsommets distincts est inférieur ou égal
ànℓℓk.
23. En déduire que 1
n1`k{2ÿ
⃗ı Pv1,nwk
|⃗ı|ďpk`1q{2ˇˇE`Xi1i2Xi2i3¨¨¨Xik´1ikXiki1˘ˇˇnÑ`8
ÝÑ 0.
On classe les cycles de longueur ken trois sous-ensembles :
‚l’ensemble Ak, constitué des cycles où au moins une arête n’apparaît qu’une fois ;
‚l’ensemble Bk, constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent exactement deux fois ;
‚l’ensemble Ck, constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent au moins deux fois et il en existe au moins
une qui apparaît au moins trois fois.
24. Montrer que, si le cycle pi1, i2, . . . , ik, i1qappartient à Ak, alors
E`Xi1i2Xi2i3¨¨¨Xik´1ikXiki1˘“0.
25. Montrer que, pour tout cycle ⃗ı appartenant à Ck,|⃗ı| ď k`1
2.
26. Que peut-on dire de Bksi kest impair ? En déduire que lim
nÑ`8
E˜1
n
n
ÿ
i“1
Λk
i,n¸“0dans ce cas.
On suppose dans la suite que kest pair et que ⃗ı PBkest un cycle passant par k
2`1sommets distincts. Autrement
dit |⃗ı| “ k
2`1.
On parcourt les arêtes de ⃗ı dans l’ordre. À chaque arête de ⃗ı on associe une parenthèse ouvrante si cette arête
apparaît pour la première fois et une parenthèse fermante si elle apparaît pour la deuxième fois. Par exemple, au cycle
p1,3,2,3,1qcorrespond ppqq, au cycle p1,2,1,3,1qcorrespond pqpq.
4

27. Justifier que l’on obtient ainsi un mot bien parenthésé de longueur k.
28. Dénombrer les cycles ⃗ı qui correspondent à un mot bien parenthésé fixé.
29. Déduire de ce qui précède que
lim
nÑ`8
E˜1
n
n
ÿ
i“1
Λk
i,n¸“Ck{2.
III.C -
30. En déduire que, pour tout polynôme PPRrXs,
lim
nÑ`8
E˜1
n
n
ÿ
i“1
PpΛi,nq¸“1
2πż2
´2
Ppxqa4´x2dx.
III.D - Soit Aą2.
31. Montrer que, pour tout pp, qq P N2,
E¨
˚
˚
˝ÿ
1ďiďn
|Λi,n|ěA
|Λi,n|p˛
‹
‹
‚ď1
Ap`2qE˜n
ÿ
i“1|Λi,n|2pp`qq¸.
32. Montrer que
lim
nÑ`8
1
nE¨
˚
˚
˝ÿ
1ďiďn
|Λi,n|ěA
|Λi,n|p˛
‹
‹
‚“0.
33. Soient fune fonction continue et bornée de Rdans Ret Pun polynôme de degré p. Justifier qu’il existe une
constante Ktelle que
@xPRzs´A, Ar,|fpxq ´ Ppxq| ď K|x|p.
34. En déduire que
lim
nÑ`8
1
nE¨
˚
˚
˝ÿ
1ďiďn
|Λi,n|ěA
|f´P|pΛi,nq˛
‹
‹
‚“0.
III.E -
35. Soit fune fonction continue et bornée de Rdans R. Montrer que
lim
nÑ`8
E˜1
n
n
ÿ
i“1
fpΛi,nq¸“1
2πż2
´2
fpxqa4´x2dx.
Partie IV – Loi du demi-cercle, cas général
On revient au cas général. On note 1Ala variable aléatoire indicatrice d’un événement A.
Pour tout pi, jq P pN˚q2et pour tout Cą0, on pose
σij pCq “ bV`Xij 1|Xij |ďC˘.
Si σij pCq ‰ 0, on pose
p
Xij pCq “ 1
σij pCq`Xij 1|Xij |ďC´E`Xij 1|Xij |ďC˘˘.
IV.A -
36. Soit Xune variable aléatoire discrète d’espérance finie. Montrer que
E`X1|X|ďC˘CÑ`8 ÝÝÝÝÝÑ EpXq.
5