Devoir Surveillé: Calcul Matriciel, Groupes, Entiers d'Eisenstein

DS N°5 ESSALHIOUI Karam
MATHÉMATIQUES – DEVOIR SURVEILLÉ 5
04/02/2024
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l’évaluation des copies. Tout résul-
tat ou conclusion doit être mis en avant (encadrez, soulignez). (Les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées)
Le devoir est composé de 6 pages, 1 exercices et deux problèmes indépendants qui peuvent
être traités dans l’ordre souhaité par le candidat.
Les calculatrices, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Durée du devoir : 4 heures
Exercice 1 :Calcul matriciel
— Dans tout le problème, Kdésigne le corps Rdes réels ou le corps Cdes complexes.
—n⩾2et Mn(K)la K- algèbre des matrices carrées d’ordres nà coefficients dans K.
— On désigne par B= (Eij )1⩽i,j⩽nla base canonique de Mn( K) et Inla matrice identité.
— On note GLn(K)le groupe des matrices inversibles de Mn(K)et SLn(K)le sous-groupe
des matrices dont le déterminant vaut 1 (on en aura besoin uniquement dans le cas des
matrices d’ordre 2) .
— Soit A= (ai,j )1⩽i,j⩽n∈Mn(K), on note L1,··· , Lnses lignes et C1,··· , Cnses colonnes
— Pour tous i, j ∈1, n tels que i̸=jet λ∈K, la matrice Tij (λ) = In+λEij est dite de
transvection
— Pour tous i∈1, n et λ∈K∗, la matrice Di(λ) = In+ (λ−1)Eii est dite de dilatation
Partie I : Préliminaires
1. Que vaut le produit Eij Ekℓ ?
2. (a) Calculer le produit Tij (λ)A.
(b) On interprétera le résultat obtenu sous forme d’une opération élémentaire sur les lignes
de A
3. (a) Calculer le produit ATij (λ).
(b) On interprétera le résultat obtemu sous forme d’une opération élémentaire sur les co-
lonnes de A
4. (a) Calculer le produit Tij (λ)×Tij (−λ).
(b) En déduire que l’inverse d’une matrice de transvection est aussi une matrice de trans-
vection et donner Tij (λ)−1
5. (a) Calculer le produit Tij (1)Tji(−1)Tij (1)A. En déduire que l’on peut effectuer l’opération
élémentaire Lj←→ −Lià l’aide d’un produit de transvections.
(b) Peut-on permuter deux lignes de Aà l’aide d’un produit de transvections ?
Partie II : Générateurs de GLn(K)
On suppose dans cette partie que A∈GLn(K).
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1. On suppose qu’il existe i⩾2tel que ai1̸= 0. Déterminer un scalaire λtel que T1i(λ)Asoit
de la forme
A′=
1× ··· ×
× × ··· ×
.
.
..
.
.....
.
.
× × ··· ×
2. Dans le cas général, en utilisant le préliminaire, justifier l’existence A1,··· , Ar, matrices de
transvections telles que : Ar···A1Asoit de la forme
A′=
1× ··· ×
× × ··· ×
.
.
..
.
.....
.
.
× × ··· ×
3. Montrer qu’il existent des matrices de transvections, M1,··· , Mpet N1,··· , Nqtelles que
Mp···M1AN1···Nqsoit de la forme
1 0 ··· 0
0× ··· ×
.
.
..
.
.....
.
.
0× ··· ×
4. Montrer qu’il existe αdans Ket des matrices de transvections U1,··· , Uret V1,··· , Vs
telles que
A=Ur···U1Dn(α)V1···Vs
5. En déduire que le groupe linéaire GLn(K)est engendré par les transvections et les dilata-
tions.
6. En déduire que le groupe spécial linéaire SLn(K)est engendré par les transvections.
Préliminaire : Groupes monogènes-Groupes cycliques
On dit qu’un groupe Gest monogène si il existe un élément ade Gtel que Gcoincide avec le
groupe engendré par l’élément a, si de plus Gest fini , on dit qu’il est cyclique l’élément aest dit
un générateur de G.
1. Donner des exemples des groupes monogènes et des groupes cycliques.
2. Un groupe monogène (resp cyclique) admet-il un seul générateur.
3. Montrer que les sous groupes de (Z, +) sont monogènes.
4. Soit nun entier naturel supérieur ou égale à 2 , on note par Unle groupe des racines neme
de l’unité, c’est dire
Un=ne2ikπ
n, k ∈0, n −1o
Soit k∈0, n −1, montrer l’équivalence suivante :
e2ikπ
nest un générateur de Un⇔k∧n= 1
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0.1 Ordre d’un élément d’un groupe
Soient (G, .)un groupe de neutre e,aun élément de Get fal’application définie par :
fa:Z→G
k7−→ ak
1. Montrer que faest un morphisme de groupe et déterminer son image.
2. Montrer qu’il existe un entier ntel que ker fa=nZ.
3. Montrer que si n= 0, alors ⟨a > est isomorphe à Z, dans ce cas on dit que aest d’ordre
infini, dans le cas contraire, on dit que aest d’ordre fini et l’entier nest appelé dans ce cas
l’ordre de anoté O(a).
4. Montrer que si n̸= 0, alors ⟨a >={e, a, . . . , an−1}.
5. On suppose dans cette question que aest d’ordre fini non nul .Montrer les équivalences
suivantes :
(a) n est l’ordre de a.
(b) nest le plus petit entier non nul vérifiant an=e.
(c) nest l’unique entier non nul vérifiant
∀p∈Z, ap=e⇔n/p
6. Déterminer l’ordre des permutations suivantes : σ1=1 2 3
2 1 3 et σ2=1 2 3 4 2 3 4 1 .
7. Déterminer les ordres des matrices suivantes (en tant qu’éléments du groupe (GL2(C),×)) :
M=0i
i0, N =0 2 1 0 et P=1 1 0 1 
8. Soit z=re2iπθ un nombre complexe avec r > 0et θ∈R.Déterminer l’ordre de l’élément z
dans le groupe (C∗,×).
9. Montrer que les seuls morphismes de (Z, +) dans (G, .)sont de la forme faou a∈G
1 Congruence-Idéaux d’un anneaux commutatif
1.1 Congruence
Dans cette partie nest un entier relatif et on rappelle que si (x, y)∈Z
alors x≡y⇔ ∃k∈Z, x −y=kn et que la relation de congruence est une relation d’équivalence
sur Zet que l’ensemble des classes d’équivalences modulo nest noté Z/nZ.
1. Montrer que ∀(k, x)∈Z2, k ·¯x=kx.
2. Montrer que le groupe (Z/nZ,∓)est cyclique de cardinal n.
3. Montrer que l’application : Πn:Z→Z/nZ
x7−→ ¯xest un morphisme d’anneau surjectif appelé
la surjection canonique.Quel est son noyau ?
4. Montrer que tout élément ¯xde Z/nZest d’ordre finie et O(¯x) = n
x∧n.
5. Soit k∈[1, n −1, montrer que ¯ kest un générateur de Z/nZ si, et seulement si, k∧n= 1,
On note φ(n) = {k∈1, n −1, k ∧n= 1}l’application qui à chaque nassocié φest appelée
l’indicatrice d’Euler.
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6. Calculer φ(p)et φ(pα)avec pun entier premier et αun entier naturel non nul.
7. Montrer que tout groupe monogène infini est isomorphe à Zet que tout groupe cyclique
de cardinal nest isomorphe à Z/nZ
8. Montrer les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) Z/nZest un corps.
(b) Z/nZest un anneau intègre.
(c) nest un nombre premier.
1.2 Lemme Chinoix et applications
Soient net mdeux entiers naturels supérieur ou égale à 2 et Πl’application définie par :
Π : Z→Z/nZ×Z/nZ
x7−→ (Πn(x),Πm(x))
1. Montrer que Πest surjective si, et seulement si n∧m= 1.
2. En déduire que si n∧m= 1 alors φ(nm) = φ(n)φ(m).
3. Montrer que si n=Qr
k=1 pαk
kest la décomposition de nen produit de facteurs premiers,
alors
φ(n) = n
r
Y
k=1 1−1
pk
4. Résoudre le système de congruence suivant : x≡3[5]
x≡4[7]
1.3 Idéaux de K[X]
1. Montrer que pour tout idéal non nul Ide K[X], il existe un unique polynôme unitaire P
tel que I={P·Q, Q ∈K[X]}=P.K[X].
Problème 2
Définitions et Notations :
— On désigne par jle nombre complexe : j=e2iπ
3=−1
2+i√3 2.
— Le conjugué d’un nombre complexe xsera noté ¯xct son module |x|.
— Si dest un nombre complexe, on note Z[d]le sous-ensemble de Cdéfini par :
Z[d] = {P(d)/P ∈Z[X]}
— Un anneau commutatif et intègre Aest dit principal lorsque tout ses idéaux sont de la
forme xA, avec x∈A.
— Deux éléments x, y d’un anneau commutatif Asont dits associés s’il existe u∈Ainversible
tel que :x=uy.
— Dans un anneau commutatif et intègre A, un élément xest dit irréductible lorsqu’il est non
inversible et ses seuls diviseurs sont les inversibles et les associés.
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2 Entiers d’Eisenstein
1. Soit B∈Z[X]un polynôme unitaire et A∈Z[X]. Montrer qu’il existe Q, R ∈Z[X]tels
que A=BQ +Ravec deg R < deg Bou R= 0. Indication : On pourra faire une preuve
par récurrence sur le degré de A.
2. Donner la décompostion en facteurs irréductibles dans l’anneau Z[X]du polynôme X3−1.
3. Prouver que :Z[j] = {a+jb/a, b ∈Z}.
4. Vérifier que (Z[j],+,×)est un anneau commutatif et intègre. Norme : On définit l’appli-
cation N:Z[j]−→ N
x7−→ x¯x=|x|2
5. Exprimer N(x)pour x=a+jb ∈Z[j], avec a, b ∈Z. Que vaut N(xy)?
6. Elément inversible : Déterminer l’ensemble Z[j]∗des éléments inversibles de l’anneau Z[j]
et montrer que (Z[j]∗,×)est un groupe cyclique.
7. Anneau principal :
(a) Montrer que pour tout z∈C, il existe x∈Z[j],|z−x| ≤ √3
2. La constante √3 2est-elle
optimale ? On pourra se limiter à un raisonnement géométrique.
(b) En déduire que pour tout x, y ∈Z[j], y ̸= 0, il existe q, r ∈Z[j], x =yq +ravec
N(r)< N(y).
(c) Montrer alors que l’anneau Z[j]est principal.
8. Elément irréductible :
(a) Soit x∈Z[j]tel N(x)soit un nombre premier. prouver que xest irréductible dans Z[j].
(b) Réciproquement si x∈Z[j]irréductible, montrer alors que N(x)est soit un nombre
premier, soit xest associé dans Z[j]a un nombre entier p. Dans ce dernier cas, justifier
que pest premier ct N(x) = p2. On pourra justifier (sommairement) et utiliser "l’unicité
" de la décomposition en facteur irrééductible dans Z[j].
9. Un peu de Cyclotomie. Soit nun entier naturel non nul. On note Φnle n-ième polynôme
cyclotomique. On rappelle que si µ∗
ndésigne l’ensemble des racines primitives n-ièmes de
l’unité dans C, ce polynôme est défini par
Φn(X) = Y
µ∈µ∗
n
(X−µ).
(a) Démontrer que Xn−1 = Qd|nΦd(X).
(b) En déduire que Φn(X)∈Z[X].
(c) Soit pun nombre premier. On note π:Z−→ Fpla surjection canonique. Le morphisme
d’anneaux πs’étend, coefficient par coefficient, en un morphisme d’anneaux de Z[X]
sur Fp[X], noté ˆπ(on ne demande pas de justifier ce point). Si Φpdésigne le p-ième
polynôme cyclotomique, on rappelle que Φp=Pp−1
k=0 Xk.
i. Démontrer que bπ(Xp−1) = X−1Fpp.
ii. Soient Pet Qdeux polynômes unitaires et non constants dans Z[X]tels que Xp−1 =
P Q. Démontrer que P(1) et Q(1) sont des entiers multiples de p.
iii. Retrouver ainsi que Φpest un polynôme irréductible de Q[X].
10. Equation diophantienne : n=a2−ab +b2.
(a) Montrer que pour tout x∈Z[j], N(x)n’est jamais congru à 2 modulo [3].
(b) Montrer que tout nombre premier p≡2[3] reste irréductible dans Z[j]. Dans la suite,
on admet la réciproque de cette propriété : un nombre premier pqui reste irréductible
dans Z[j]vérifie p≡2[3].
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