Mécanique des Structures : Cours Licence Sciences et Techniques

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Cours de Mécanique des Structures
Polycopié de cours destiné aux étudiants Licence Sciences et
Techniques
Pr. I. El Aouadi

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Bibliographie
➢ Résistance des matériaux, Cours et exercices corrigés. Agati,
Lerouge et Rossetto, Dunod. fet Bellet, Cépadues.
➢ Introduction à la mécanique des milieux continus
déformables. Thual. Cépadues
➢ MÉCANIQUE DES STRUCTURES, Résistance des
matériaux. Arnaud Delaplace, Fabrice Gatuingt et Frédéric
Ragueneau, Dund 2008
➢ Introduction à l’analyse des structures - Marc-André Studer
& François Frey Presses Polytechniques et universitaires
romandes 2012
➢ Calculer une structure, De la théorie à l’exemple – Pierre
Latteur Harmattan-Academia – 6e édition en 2015
➢ Résistance des matériaux, Cours et exercices corrigés. Jean-
Claude Doubrère, 11 éme edition 2010. ÉDITIONS
EYROLLES.
➢ Physique théorique, Tome 7, Théorie de l’élasticité. L. Landu
et E. Lifchitz. Edition MIR, 1990

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Introduction générale
Chapitre 0 : Rappels mathématiques – algèbre tensorielle
Notation d’Einstein
Tenseur
Symbole de Kronecker et de Lévi-Civita
Caractéristiques des tenseurs
Quelques opérations sur les tenseurs
Chapitre 1: Tenseur des déformations
Introduction
Configuration initiale et configuration actuelle
Vecteur déplacement
Tenseur gradient de la déformation
Tenseur de déformation de Green-Lagrange
Hypothèse de petites perturbations & Tenseur de déformation linéarisé
Déformations principales et base principale de 
États de déformation particuliers
Chapitre 2: Tenseur des contraintes
Définition
Théorème de Cauchy
Contrainte normale et contrainte de cisaillement
Équation d’équilibre locale
Directions principales et contraintes principales
Les invariants
États de contrainte particuliers
Chapitre 3: Introduction à l’élasticité linéaire isotrope
Introduction et généralités
Essai de traction uniaxiale
Module de Young
Module d’élasticité transverse
Loi de comportement pour un matériau élastique isotrope: Loi de Hooke généralisée
Élasticité en sollicitations simples
Chapitre 4: Résolution des problèmes d’élasticité
Introduction
Méthodes de résolution des problèmes d’élasticité
Approche en déplacements: méthode de Navier
Approche en contraintes: méthode de Beltrami
Chapitre 6: Introduction à la résistance des matériaux

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Introduction générale
Qu'est-ce que l’élasticité ?
• Elasticité c’est la mécanique des corps solides déformables (par opposition a la
mécanique du point ou des corps indéformables).
• La mécanique étudie la réponse d'un corps solide a des forces ou moments appliqués.
• Forces ou moments (contraintes) qui s'exercent sur un objet (fait d'un matériau donné,
de forme donnée et de volume donné)  translation, rotation, déformation (changement
de forme et de volume).
• La mécanique du point ou du solide indéformable étudie la translation et la rotation
(mouvement), alors que l’élasticité s’intéresse exclusivement à la déformation
• On distingue élasticité linéaire et non-linéaire. Dans ce cours : on s’intéresse a
l’élasticité linéaire.
• Si la mécanique classique générale s’occupe, traditionnellement, des corps rigides, la
mécanique des milieux continus (MMC) s’occupe du comportement des corps continus
déformables. Maintenant, il ne faut que souligner la propriété essentielle de ceux qu’on
appelle milieux continus, la déformabilité : sous l’action de certaines causes (forces
appliquées, variations de température etc.) un milieux continu se déforme, à savoir il
change, en générale, de volume et de forme.
Applications
• Structures de génie civil, bâtiments, ponts, barrages, routes, ouvrages bétons, acier,..
• Industrie mécanique (aéronautique, automobile…)
• Mécanique des fluides, aérodynamique, écoulements en canaux et conduites,
écoulement fluviaux et souterrains, …
• Géophysique, mécanique des sols….
Hypothèses
La théorie de l’élasticité étudie les déplacements, les déformations et les contraintes dans
un solide soumis à des forces extérieures.
Nous adopterons les hypothèses suivantes :
▪ Le matériau est homogène (il a les mêmes propriétés en tout point);
▪ isotrope : les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions autour
d’un point .
▪ Le comportement du matériau est linéaire (les relations entre les contraintes et les
déformations sont linéaires loi énoncée par Hooke) et élastique (le solide reprend sa
forme initiale dès que les forces appliquées sont supprimées).

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Chapitre 0 : Rappels mathématiques – Algèbre tensorielle
1. Notation d’Einstein
La notation d’Einstein est une convention propre au calcul tensoriel. Elle permet d’alléger
considérablement les notations.
On l’appelle aussi «notation indicielle», ou «convention de l’indice muet». Cette Convention
d’écriture s’énonce ainsi:
« Si un indice apparaît deux fois dans le même monôme, on lui fait prendre les valeurs 1,
2, et 3, et on fait la somme de l’ensemble »
Exemple:
Un vecteur peut s’écrire dans une base  sous la forme :
1 1 2 2 3 3i i i
x x e x e x e x e= + + =
On peut écrire selon ces notations :
1 1 2 2 3 3
. . . .
ii
a b a b a b a b= + +
Et par conséquent :
. . .
i i j j k k
a b a b a b==
On appelle ceci un indice muet : la lettre choisi pour l’indice n’a aucune importance, la seule
importance est qu’elle est répétée deux fois dans le même terme.
Remarque :
Dans le cas où on ne voudrait pas faire de somme malgré une répétition d’indice, on a
coutume de souligner l’indice en question, il est alors appelé indice franc.
Exemple :
3
1
. . . . .
i i j j i i j j i i
i
a b a b a b a b a b
=
  = = 
On aura souvent à mixer dans une même équation des indices francs et muets :
3
1 1 2 2 3 3
1
. . . . .
ij j i j j i i i
j
a b a b a b a b a b
=
= = + +