TD Maths 1ère S2: Equations, Inéquations, Polynômes

M. GASSAMA
IA Dakar  Année scolaire 2022 −2023
TD N◦1Equations-Inéquations-Systèmes
ME ATHENA SEDAR  1èreS2
✍ Exercice 1
Soit l’équation (E)de paramètre m∈Rdonnée par : (1 −m)x2+ 2(m−5)x+ 16 −m=O.
1Déterminer l’ensemble des valeurs de mpour lesquelles (E)admet deux racines de signes contraires.
2On suppose que (E)admet deux solutions x′et x”
aTrouver une relation indépendante de mliant x′et x”.
bPour quelles valeurs de ma-t-on : x′2+x′2= 1 ;x′+x” = 5x′x”.
cPour quelles valeurs de m,x′et x”vérifient la relation : x′< x”<2
3Déterminer l’ensemble des valeurs pour lesquelles ∀x∈R,(1 −m)x2+ 2(m−5)x+ 16 −m < O.
✍ Exercice 2
Résoudre dans R, les inéquations suivantes :
1√16x+ 9 = 8x−3
2√4−x2=x−1
32x+ 1 = √x2+ 5x+ 3
4√x2+ 3x−4 + √x−1=0
5√2x2−13x−27 = √14x+ 1
6√2x2−7x+ 4 = √x2+ 3x−5
7√x−9−√x−24 = √x
8√x−3 + √x−8 = 5
9x2−6x−√x2−6x−3=5
10 q2x+√6x2+ 1 = x+ 1
11 q√x+ 16 −√x= 2
12 √x2+1+√x2−8=1
✍ Exercice 3
Résoudre dans R, les inéquations suivantes :
1√3x2−1<2x−1
2√5x2+x−9<2x+ 1
3√3x2+ 2x−1<√2x2+x+ 1
4√x+ 1 > x −3
5√−x2−3x+ 4 ≤√3x+ 4
6√−5x2+ 3x+ 2 ≥5x−1
7√x+4+√x−1>√4x+ 5
8√2x+ 7 −√x−1>2
✍ Exercice 4
Résoudre dans R2, les systèmes d’équations suivantes :
a)
x+y= 3
x2+y2= 5 b)
√x+3
y=−1
2√x−1
y= 5 c)
x3+y3= 189
x+y= 9
d)
mx +y= 2m
x+my =m+ 1 e)
3
y−1−1 x+ 2 =3 4
5
y−1−3 x+ 2 =29 12
f)
2|x| − 2|y|= 8
6|x| − 5|y|= 5
✍
Exercice 5
Résoudre dans R3, les systèmes d’équations suivantes
a)
x+y+z= 1
2x+ 2y+ 6z= 3
2x−9y+ 12z= 0
b)
x+ 3y−2z= 0
−x+y−z= 0
2x+y−3z= 5
c)
x+ 2y+ 3z=−2
2x+ 3y+z= 1
3x+y+ 2z= 1
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d)
x+y+z= 1
2x+ 2y+ 6z= 3
2x−9y+ 12z= 0
e)
1
x−1+1 y−2−2 z+ 1 =−4
1
x−1+2 y−2−1 z+ 1 =−3
−1
x−1+3 y−2+1 z+ 1 =−2=0
f)
9x+my −z= 4
4mx −2y+ (m−1)z=m
5x+ (2m−1)y−3z= 3(m+ 2)
✍ Exercice 6 Programmation linéaire
Une usine fabrique deux types de sandales S1et S2à l’aide de deux machines m1et m2. Chaque chaussure
en fabrication doit passer successivement sur les machines par un ordre différent. La sandale S1fait 30
minutes sur m1et 20 minutes sur m2. La sandale S2fait 40 minutes sur m1et 100 minutes sur m2.
La machine m1est disponible 6000 minutes par mois et la machine m2est disponible 4000 minutes par
mois. Le bénéfice réalisé sur S1est 400F, celui réalisé sur S2est 200F.
1En désignant par xle nombre de S1,yle nombre de S2n traduis les données du problème par quatre
inéquations. Ces inéquations sont appelées contraintes du problème.
2Calculer le bénéfice total mensuel B(x, y).
3Combien doit-on fabriquer mensuellement de sandales S1et S2pour avoir un bénéfice maximal ?
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IA Dakar  Année scolaire 2022 −2023
TD DE PUNITION (EQUATIONS PARAMETRIQUES)
ME ATHENA SEDAR  1èreS2
✍ Exercice 1
On considère l’équation (E):mx2−2(m+ 1)x+m−3=0avec m∈R.
1Résoudre suivant les valeurs de ml’équation (E).
2Trouver les valeurs de mpour lesquelles (E)admet :
adeux solutions de signes contraires.
bdeux solutions positives.
3Dans le cas où (E)admet deux solutions x1et x2, trouver une relation indépendante de mliant x1
et x2.
✍ Exercice 2
On considère le trinôme P(x) = (2m−1)x2−2mx + 1 avec m∈R.
1Discuter suivants les valeurs de mle nombre de racine de P(x).
2Trouver les valeurs de mpour lesquelles P(x)admet :
adeux racines négatives.
bdeux racines inverses.
3Dans le cas où P(x)admet deux solutions x1et x2, trouver une relation indépendante de mliant
x1et x2.
✍ Exercice 3 Existence et signe des solutions
Dans chacun des cas suivants, discuter suivant les valeurs de ml’existence et le signe des solutions ;
1mx2−2(m−2)x−m−10 =
2(2m+ 1)x2−(3m+ 1)x+ 3m+ 1 = 0
3(2m−3)x2+ (m−1)x+ 4(m−1) = 0
4(2m−1)x2−(4m−2)x−4=0
✍ Exercice 4
On considère l’équation du second degré (Em):(m−1)x2−2(m+ 1)x+m−4 = 0
1Résoudre dans Ren discutant suivant les valeurs de mles solutions de (Em).
2Etudier suivant les valeurs de m, l’existence et le signe des solutions x1et x2de (Em).
3Pour quelles valeurs de m,(Em)admet deux solutions de signes contraires ?
4Pour quelles valeurs de m,(Em)admet deux solutions positives ?
5Déterminer mpour que deux soit une solution de (Em). Trouver l’autre solution de (Em).
✍ Exercice 5
Soit l’équation (E):x2−(2m+ 3)x+m2+ 5 = 0 .
1Peut-on trouver mpour que l’équation ait deux solutions :
aopposées.
bInverses.
cdont l’une est le double de l’autre.
2Déterminer mtel que : x2
1+x2 2= 53.
3Déterminer mtel que : |x1−x2|= 13
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✍ Exercice 6
Soit l’équation : (m−2)x2−2(m+ 2)x+ 2m−2) = 0.
1Discuter suivant les valeurs de m, les solutions de l’équation.
2Dans le cas où l’équation admet deux solutions distinctes x1et x2, déterminer mtel que :
ax2
1+x2 2= 35 et |x1−x2|= 5
bx1<2< x2et −1< x1< x2.
3Trouver une relation indépendante de mentre x1et x2.
4Déterminer mpour que l’équation admette :
adeux solutions de signes contraires.
bdeux solutions négatives.
cdeux solutions positives.
ddeux solutions dont inverse.
✍ Exercice 7
Soit (E) : (m−4)x2−2mx +m−2 = 0 avec mun réel.
1Résoudre suivant les valeurs de ml’équation (E).
2Discuter suivant les valeurs de ml’existence et le signe des solutions de (E).
3On suppose maintenant que (E)admet deux solutions distinctes αet β.
aEtablir une relation indépendante de mentre αet β.
bCalculer les valeurs de met αlors que β= 0.
4Pour quelles valeurs de ma-t-on :
aα
β+β α= 2.
bα2+β2≥ −2αβ
✍ Exercice 8
On considère les deux équations suivantes : 
x2−(3m+ 1)x+ 4 = 0 (E1)
x2−(m−3)x−8 = 0 (E2)
1 a Montrer que si ces deux équations admettent une solution commune x0alors x0=6
m+2 .
bEn déduire les valeurs de mpour que les équations (E1)et (E2)aient une solutions commune.
2On considère l’équation : x2−(m−3)x−8=0
aCalculer mpour que l’une des solutions de (E2)soit 2√2.
bCalculer mpour que l’une des solutions de (E2)soit x1avec x1∈R.
✍ Exercice 9
Soit l’équation (E)suivante : x2+ (2m+ 1)x+1
4(3m−1)(2m−1) = 0.
1Etudier suivant les valeurs de ml’existence des solutions x′et x′′ de cette équation.
2Le réel 3
2peut-il être racine de cette équation ?
3Calculer en fonction de m:A=1
2x′−3+1 2x′′ −3.
4Déterminer l’ensemble des valeurs de mtelles que : −mx2+ 2x−3<0,∀m∈R.
✍ Exercice 10
On considère le trinôme du second degré en x:fm(x) = mx2−(m−1)(m2+ 1)x+m(m−1)2où mest
un paramètre réel.
1Montrer que lors que m̸= 0, le discriminant de l’équation d’inconnue x,fm(x) = 0 est un carré
parfait. Etudier suivant les valeurs de mle signe des solutions de cette équation.
2Calculer en fonction de mles solutions x′et x′′ de fm(x) = 0.
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ax′est la solution qui est une fraction en m. Vérifier que x′−x′′ =(m−1)(m2−1)
m.
bEn déduire les valeurs de mpour lesquelles on a : x′> x′′.
3Pour qu’elles valeurs de ma-t-on x′′ <−2.
4Montrer que ∀m̸= 0, on a : x′>−2.
5Déduire des questions précédentes, l’ensemble des valeurs de mpour les quelles on a x′<−2< x′′.
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