Géométrie Analytique dans l'Espace - Cours Prépolytechnique

REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO
ENSEIGNMENT SUPERIEUR ET UNIVERSITAIRE
UNIVERSTE DE LIKASI
FACULTE POLYTECHNIQUE
DEPARTEMENT DES SCIENCES DE BASE
Notes de Cours de Géométrie Analytique dans l’Espace
destinées aux étudiants de Prẻpolytechnique
Par KAKUNDE NGOY Philston
Diplôme d’Ingénieur civil Métallurgiste (UNILU/RD Congo)
Chef de Travaux (Département de Métallurgie/Faculté
Polytechnique/UNILI)
Contact :
E-mail : philstonkakund[email protected]
Année Académique 2021-2022
Nom de l’Etudiant :……………………………
X
Y
Z

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Notes de Géométrie Analytique dans l’Espace destinées aux étudiants de
Prépolytechnique.
Par Ingénieur civil Métallurgiste KAKUNDE NGOY Philston Chef de Travaux
AVANT-PROPOS
Ces notes couvrent le programme de Géométrie Analytique de Prépolytechnique et
poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année.
Comme pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un
principe que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, chaque chapitre de ce cours faisant
appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de Prépolytechnique est
signalé de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et
l’approfondissement en Prépolytechnique de certains points abordés en Géométrie
Analytique dans le plan et la Géométrie Analytique dans l’espace.
Nous avons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant
sans ambiguïté destiné aux étudiants de première année à l’Université, présente
quatre chapitres utilisables en Géométrie Analytique dans le plan et cinque
chapitres en Géométrie Analytique dans l’espace.
La première partie porte sur les chapitres qui traitent de l’Algèbre vectoriel, la
droite, le cercle et les lieux géométriques dans le plan et dans l’espance. Ces
notions déjà détaillées dans cet ouvrage sont complétées ici par des exercices à
résoudre avec les étudiants dans l’auditoire et par des Travaux Pratiques à
domiciles nécessitant une maturité, une discipline, une rigueur et un esprit de
recherche qu’on ne peut attendre de la part des étudiants.
Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux
qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons
que ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à
l’adresse reprise sur la page de garde.
KAKUNDE NGOY Philston.

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Notes de Géométrie Analytique dans l’Espace destinées aux étudiants de
Prépolytechnique.
Par Ingénieur civil Métallurgiste KAKUNDE NGOY Philston Chef de Travaux
TABLE DES MATIERES
AVANT-PROPOS ..................................................................................................................................... 1
TABLE DES MATIERES ....................................................................................................................... 2
CHAPITRE I. ELEMENTS D’ALGEBRE VECTORIEL ....................................................................... 7
I.1 GEOMETRIE ORIENTEE ................................................................................................................ 7
I.1.1 Axe .............................................................................................................................................. 7
I.1.2 Segment ................................................................................................................................... 7
I.1.3 Abscisse d’un point ............................................................................................................ 7
I.2 THEOREMES ..................................................................................................................................... 7
I.2.1 Théorème 01 (Théorème de Michel Chasles) ...................................................... 7
I.2.2 Théorème 02 .......................................................................................................................... 8
I.2.3 Théorème 03 ............................................................................................................................... 8
I.3 VECTEURS ....................................................................................................................................... 9
I.3.1 Caractéristiques .......................................................................................................................... 9
I.3.2 Notation ....................................................................................................................................... 9
L’intensité d’un vecteur  ou  est notée par :  ou  .............................................................. 10
I.4 OPERATIONS SUR LES VECTEURS ....................................................................................... 11
I.4.1 Somme et Différence des vecteurs ........................................................................ 12
I.4.2 Multiplication par un scalaire λ ................................................................................ 12
I.4.3 Produit Scalaire :  ....................................................................................................... 13
I.4.4 Produit vectoriel :  Λ (Produit interne) .............................................................. 14
I.4.5 Double Produit Vectoriel ........................................................................................... 15
CHAPITRE II DROITE DANS LE PLAN ..................................................................................... 18
II.1 SYSTEME DE COORDONNEES ............................................................................................ 18
II.1.1 Coordonnées cartésiennes ....................................................................................... 18
............................................................................................................................................................. 18
............................................................................................................................................................. 18
............................................................................................................................................................. 18
............................................................................................................................................................. 18
II.1.2 Coordonnées polaires .................................................................................................. 18
II.1.3. Relation entre les coordonnes cartésiennes et les coordonnées ........... 19

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Prépolytechnique.
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II.2. EQUATION DE LA DROITE ........................................................................................................ 20
II.2.1. Direction.............................................................................................................................. 20
II.2.2 Relations entre les angles directeurs et les paramètres directeurs ...... 20
II.2.3. Equation Cartésienne .................................................................................................. 21
II.2.4. Equation aux coordonnées à l’origine .............................................................. 22
II.2.5. Equation polaire ............................................................................................................. 23
II.2.6. Equation normale où équation de HESSE ......................................................... 23
II.2.7. Normalisation de l’équation d’une droite........................................................ 23
III.3. INTERSECTIONS, VECTEUR PERPENDICULARITE ET PARALLELISME .................. 24
III.3.1. Intersection de deux droites ................................................................................... 24
III.3.2 Parallélisme de deux droites .................................................................................... 25
III.3.3 Perpendicularité de deux droites .......................................................................... 25
CHAPITRE III CERCLE DANS LE PLAN .......................................................................................... 29
III.1 DEFINITION .................................................................................................................................. 29
III .2 CARACTERISTIQUES .............................................................................................................. 29
III.3 EQUATIONS ................................................................................................................................ 29
III.3.1. Equation cartésienne ................................................................................................. 29
III.4 EQUATIONS PARAMETRIQUES D’UN CERCLE ............................................................ 30
III.4.1 Cercle centré à l’origine ............................................................................................ 30
III.4.2. Cercle centré en un point quelconque C(a,b) ................................... 30
III.4.3. Equation polaire d’un cercle ..................................................................................... 31
III.5. CERCLE ET DROITE ........................................................................................................... 32
III.5.1 Problème d’intersection .................................................................................................... 32
III.5.2 Tangente en un point d’un cercle ................................................................................... 33
III.6. DEUX CERCLES..................................................................................................................... 33
III.6.1 Corde de contact ................................................................................................................. 33
III.6.2 Axe radical............................................................................................................................ 34
III.7. Faisceau de cercles .................................................................................................................... 35
III.8. ANGLES DE DEUX CERCLES .......................................................................................... 35
III .9. ANGLE D’UN CERCLE ET D’UNE DROITE ............................................................. 35
III .10. FAISCEAU DE CERCLE ................................................................................................... 36
CHAPITRE IV LIEUX GEOMETRIQUES ................................................................................... 38

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IV.1 DEFINITION............................................................................................................................. 38
IV.2 METHODES DE DETERMINATION DE L’EQUATION D’UN LIEU ................ 39
IV.2.1 Méthode de traduction ....................................................................................................... 39
IV.2.2 Méthode des génératrices ................................................................................................. 39
IV.3 QUELQUES LIEUX GEOMETRIQUES .......................................................................... 40
IV.3.1 Ellipse .................................................................................................................................... 40
IV.3.2 Hyperbole ............................................................................................................................. 42
IV.3.3 Parabole ................................................................................................................................. 44
IV.3.3.1 Définition........................................................................................................................... 44
CHAPITRE I : SYSTEME DE COORDONNEES............................................................................. 47
I.1 DEFINITION ................................................................................................................................. 47
I.1.2 Types des coordonnées ............................................................................................... 47
CHAPITRE II PLAN ................................................................................................................................. 51
II.1. EQUATION CARTESIENNE DU PLAN ............................................................................... 51
II.2 ÉQUATION AUX COORDONNEES A L’ORIGINE ET EQUATION NORMALE ... 51
II.2.1 Facteur de normalisation ............................................................................................ 52
II.2.2. Plans particuliers ............................................................................................................. 52
II.2.2.2. Plans parallèles aux plans de coordonnées................................................ 53
II.3. CONDITIONS DE PARALLELISME DE DEUX PLANS ................................................... 55
II.4. ANGLE DE DEUX PLANS ....................................................................................................... 56
II. 4.1. Distance d’un point à un plan .............................................................................. 56
II.4.2. Distance de deux plans parallèles ....................................................................... 56
II.4.3. Faisceau de plans ......................................................................................................... 56
CHAPITRE III DROITE DANS L’ESPACE ........................................................................................ 58
III.1. ÉQUATION DE LA DROITE ................................................................................................... 58
III.1.1. Equation vectorielle d’une droite ........................................................................ 58
III.1.2. Equation paramétrique d’une droite ................................................................ 58
III.1.3. Equation cartésienne d’une droite ......................................................................... 58
III.1.4. Droite passant par deux points  et  ........ 58
III.2. Angle formé par deux droites d1 et d2 .................................................................. 59
III.3. Angle formé par une droite (d) et d’un plan .................................................... 59
III.4. Distance d’un point à une droite (d). ................................................................... 60