Université Cheikh Anta DIOP Ecole Supérieure Polytechnique Département Génie Civil COURS D’HYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE DIC2 M. Mamadou BOP Contacts: 77 578 19 13/ 76 832 19 17 [email protected] [email protected] Année Universitaire 2017-2018 Université de Thiès UFR-SET COURS D’HYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE L2SEE M. Mamadou BOP Contacts: 77 578 19 13/ 76 832 19 17 [email protected] [email protected] Année Universitaire 2017-2018 OBJECTIFS DE COURS ■ Connaître et maîtriser les lois fondamentales de conservation en hydraulique Conservation de masse (équation de continuité), de quantité de mouvement et d’énergie ■ Etre capable de résoudre les problèmes typiques en HSL au régime permanent et uniforme Calcul de section, débit, vitesse, pente, rugosité, tirant d’eau,… ■ Maitriser les concepts régissant l’énergie des écoulements Energie hydraulique et spécifique ■ Connaître le régime permanent non uniforme Caractérisation des écoulements variés, notion de section de contrôle ■ Connaître l’influence de quelques singularités sur l’écoulement Changement de pente, de radier, de section, écoulement en courbe REFERENCES ■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique à Surface Libre. Ouagadougou : 2iE, 2009. ■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972. ■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics ‐ Part I : Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011. ■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur. Strasbourg : ENGEES, 2013. ■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses Polytechniques Romandes, 1998. ■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969. ■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996. ■ Mar, Amadou Lamine. 2004. Cours d'Hydraulique ‐ T2: Ecoulements à Surface Libre. s.l. : Groupe des Ecoles EIER‐ETSHER, 2004. Vol. 1. ■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014. ■ Te Chow, Ven. 1959. Open Channel Hydraulics. s.l. : McGraw‐Hill, 1959. Chapitre I : HYDRODYNAMIQUE DES ECOULEMENTS À SURFACE LIBRE I. GENERALITES 1) Définition des écoulements à surface libre ■ Ecoulements semblables aux écoulements en charge (lois de conservations identiques) ■ Particularité : existence d’une surface libre : surface de contact entre l’écoulement et l’air libre, à pression atmosphérique Débit d’écoulement défini par la pente Mais pas par le gradient de pression (comme dans le cas des écoulements en charge) 2) Domaines d’application Hydraulique routier cours d’eau: rivières, fleuves, etc.; canaux de navigation, d’irrigation, etc.; systèmes d’évacuation: réseaux d’assainissement pluvial Production d’énergie canaux de navigation, d’irrigation, etc.; 3) Classification des écoulements à surface libre Paramètres (Hydrauliques): débit Q (ou vitesse U) et hauteur (ou tirant) d’eau y Hypothèses : Ecoulement 1D (unidimensionnel (exple: suivant x ) et conservatif 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑡 Variables : temps t et position x 𝑖𝑒 ൜ 𝑄 = 𝑓 𝑥, 𝑡 𝑜𝑢 𝑈 = 𝑓(𝑥, 𝑡) a) Classification des écoulements suivant le temps 𝑑𝑦 𝑑𝑄 Q (ou y) constant dans le temps à une section de = 0 (𝑜𝑢 = 0) Permanent : 𝑑𝑡 𝑑𝑡 référence Donc U (Q) et y ne dépendent pas du temps : U = f (x) Ou y = f (x) 𝑑𝑦 𝑑𝑄 Non Permanent : ≠ 0 (𝑜𝑢 ≠ 0) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Q (ou y) Variant dans le temps à une section de référence Dans la pratique, l’écoulement dans les canaux est rarement permanent. Un écoulement est considéré comme permanent lorsque les variations temporelles sont lentes b) Classification des écoulements suivant la position (l’espace) 𝑑𝑦 =0 Uniforme (et conservatif) : 𝑑𝑥 Q = Cste et Y = Cste 𝑑𝑄 𝑑𝑈 =0( = 0) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Varié 𝑑𝑦 𝑄 = 𝐶𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑡 ≠0 𝑑𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑓(𝑥) Selon la variation de y en fonction de x, on peut avoir deux types d’écoulements: Ecoulements Graduellement Variés (EGV) Le mouvement est graduellement varié lorsque la profondeur ainsi que les autres paramètres varient lentement d’une section à une autre. Ecoulements Brutalement (Brusquement) Variés (EBV) Le mouvement est rapidement varié lorsque les paramètres caractérisant l’écoulement changent brusquement, parfois avec discontinuité. Cela se manifeste au voisinage d’une singularité: seuil, rétrécissement, ressaut brusque hydraulique, chute 3) Forme géométrique Un canal constitue un élément du réseau de transport d’eau à surface libre. L’étude de ces écoulements fait intervenir les élément géométriques de ce canal On peut rencontrer plusieurs formes de canal a) Paramètres géométriques et hydrauliques d’un canal naturel Soit le canal (naturel) de la figure suivante: *On appelle section transversale d’un canal, une section plane, normale à la direction générale de l’écoulement B: la largeur au miroir, ou largeur mouillée (largeur la 𝒅𝒔 surface libre) ; 𝑩= 𝒅𝒚 B Sm : Surface mouillée (aire occupée par l’eau dans la section transversale) ; Sm y pm Pm: Périmètre mouillée (longueur du contact transversal eau – paroi). y : le tirant d’eau est la distance entre la surface libre et le fond du canal Le rayon hydraulique est donné par le rapport de la surface mouillée au périmètre mouillé: 𝑹𝑯 = La profondeur hydraulique est donné par le rapport de la surface mouillée à la largeur au miroir: La pente du canal (pente du fond) Jf est donnée par : 𝑱𝒇 = − 𝒅𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝑺𝒎 𝑷𝒎 𝑺𝒎 𝒚𝒎 = 𝑩 b) Paramètres géométriques et hydrauliques d’un canal artificiel Pour le cas d’un canal (artificiel) de la figure suivante: ■ Largeur au radier : b ■ Fruit de berges : m ■ Largeur en miroir (en gueule) : 𝐿(𝑦) ■ Section mouillée : 𝑆(𝑦) ■ Périmètre mouillé : 𝑃(𝑦) ■ Rayon hydraulique : 𝑅ℎ(𝑦) = 𝑆(𝑦) 𝑃(𝑦) ■ Diamètre hydraulique: 𝐷ℎ(𝑦) = 4𝑅ℎ(𝑦) ■ Profondeur hydraulique :𝑦𝑚 = 𝑦𝑚(𝑦) ■ Pente de fond :𝐽𝑓 = tan 𝜂 ≈ 𝜂 ∆ 𝐽𝑓 = = 𝑡𝑎𝑛𝜂 𝑑 c) Exemple: Caractéristiques géométriques de trois types de canaux II - EQUATION DE CONTINUITE Principe de conservation de masse ■ Equation de continuité : équation fondamentale de la mécanique des fluides « la variation de la masse fluide contenue dans un volume donné pendant un certain temps est égal à la somme des masses fluides qui y entrent, diminuée de celles qui en sortent » Soit un volume de contrôle défini comme suit: La variation de volume pendant le temps 𝑑𝑡 est : 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑉𝑒 − 𝑉𝑠 = 𝑄𝑑𝑡 − 𝑄 + 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = − 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕ℎ dxdt Entraîne la variation de la surface libre dans la même durée : 𝐵 𝜕𝑡 𝜕𝑄 𝜕ℎ 𝜕𝑄 𝜕ℎ 𝜕𝑄 𝜕ℎ En égalisant les expressions: − 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝐵 dxdt ⟹ ( + 𝐵 )𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0 ⟹ ( + 𝐵 ) = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑄 𝜕ℎ et en faisant l’hypothèse d’un régime permanent (ie = 0): ⟹ = 0 ⟹ 𝑄 = Cste 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝑄 = US III- VITESSE D’ECOULEMENT 1)Dimensionnalité et directionnalité de l’écoulement L’eau étant un fluide, son écoulement peut s’effectuer dans toutes les directions, ainsi on a: Ecoulement tridirectionnel : U(x,y,z) Dans un canal limité suivant une direction y, on peut considérer que : Ecoulement bidirectionnel : U(x,z) En considérant une vitesse uniforme en une section de l’écoulement: Ecoulement Unidirectionnel U(x) Les calculs en hydraulique supposent le plus souvent un écoulement unidirectionnel et unidimensionnel! 2) Répartition de vitesse dans la section d’écoulement La vitesse n’est pas constante dans la section du fait des forces de frottement (rugosité) La vitesse est maximale à approximativement 25% en dessous de la surface libre. Les vitesses locales ne sont jamais distribuées uniformément dans la section. Cette répartition est représentée par des courbes isodromes (égales vitesses) dont les formes dépendent du type de canal: Ven Te Chow (1914‐1981) a étudié l’influence de la rugosité des parois du canal sur le profil vertical de vitesse (1959) 3) Vitesse moyenne en section de canal 𝑄 𝑈= ■ La vitesse moyenne en canal : 𝑆 ■ Cependant, la distribution de vitesse n’est pas uniforme dans la section. Equation en 2D Equation en 1D ℎ 1 𝑈 = ඵ 𝑉 𝑑𝑠 𝑆 𝑆 ■ Quelques relations empiriques existent : 1 𝑈 = න 𝑉 𝑑ℎ ℎ 0 ■ U = 0,82 Vmax (Prony) ■ U≈ V0,4 (cf. Graf, 1996) Gaspard de Prony (1755‐1839) 4) Vitesses limites La conception des canaux à ciel ouvert est parfois régie par des contraintes de vitesse La vitesse d’écoulement doit assurer des fonctions particulières : Auto-curage (ou auto-entretien) Préservation de la stabilité structurale (érosion) du canal En conséquence, la vitesse moyenne d’écoulement U ne doit être ni trop faible, ni trop élevée a) Vitesse minimale Afin d’éviter les dépôts des matériaux en suspension, on choisit une vitesse moyenne supérieure à une vitesse minimale donnée par la formule de Kennedy (1963) : e= 0,4 : limon et sable fin 𝟎,𝟔𝟒 𝑼𝒎𝒊𝒏 = 𝒆 𝒚 e dépendant des parois:ቐ e= 0,55 : sable fin e= 0,9 : sable grossier et gravier Alternativement, on peut adopter une forme de canal pour les faibles débits b) Vitesse maximale Elle est définie pour préserver la stabilité du canal contre l’érosion par affouillements Elle est définie sur la base de deux approches : Sur la base du matériau formant le lit du chenal l’approche par la contrainte tractrice Soit la contrainte tractrice 𝜏 = 𝜌 𝑔𝑅ℎ 𝐼. On définit alors: 𝜏𝑀 = 𝐾𝑀 𝜏 au fond ′ ′ 𝜏𝑀 = 𝐾𝑀 𝜏 sur les parois On adoptera des conditions d’écoulement telles que les contraintes maximales τM et τ′M soient inférieures à une contrainte critique τoc de déstructuration du matériau du canal c) Valeurs indicatives Vitesses minimales : on admet 0,25 m/s pour les limons fins et 0,5 m/s pour les sables Vitesses maximales définies suivant la nature des parois Diagramme de Hjulström (1935) Diagramme définissant l’état d’un grain, en fonction de sa taille et de la vitesse de l’écoulement. Si le matériau en place formant le canal a une granulométrie connue, Umax et Umin peuvent être choisis sur la base du diagramme de Hjulström Henning Filip Hjulström (1902‐1982) IV. REGIMES D’ECOULEMENT Une première classification est basée sur la comparaison de la valeur relative des forces agissant sur ces écoulements (la gravité, l’inertie et la viscosité) 1/ Effet des forces de viscosité (Nombre Reynolds) Il traduit l’importance des forces d’inertie par rapport à la force de viscosité et est exprimée à travers le nombre de Reynolds: Osborne Reynolds (1842 – 1912) 𝑭𝑰 𝑹𝒆 = 𝜼 𝑭 𝝆 𝑼𝟐 𝑳𝟐 = 𝜼𝑼𝑳 𝝆 𝑼𝑳 𝑼𝑹𝒉 = = 𝜼 𝝂 Permet de classifier l’écoulement en trois régimes: Re < 500: l’écoulement est dit laminaire l’influence des forces visqueuses sur l’écoulement est prépondérante Re > 1000: L’écoulement est dit turbulent (pour la plus part des canaux artificiels ou naturels) les forces d’inertie sont prédominantes par rapport aux forces visqueuses 500 < Re < 1000: l’écoulement est dit transitoire 2/ Effet des forces de gravité(Nombre de Froude) traduit l’importance des forces d’inertie par rapport à la force de gravité William Froude (1810 – 1879) Nombre adimensionnel exprimant le rapport entre la vitesse moyenne U et la vitesse de propagation C des petites ondes gravitaires (1861) 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑′ 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 𝐹𝑟 = 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡é 𝑈 = 𝑐 = 𝑈 𝑔 𝐷ℎ 𝑔: 𝑎𝑐𝑐é𝑙é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑢𝑟 ቐ𝐷ℎ : 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 ℎ𝑦𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐: 𝑐é𝑙é𝑟𝑖𝑡é ■ Permet de distinguer trois régimes d’écoulement : Si Fr > 1 : le régime d’écoulement est dit torrentiel une perturbation à l’amant se propage à l’aval rapidement et peut provoquer des chocs, des instabilités Les conditions en aval n’influent pas ces écoulements Si Fr < 1 : l’écoulement est dit fluvial Toutes les perturbations en aval influencent alors l’écoulement en amont. Si Fr = 1 : l’écoulement est dit critique comme c’est le cas lors du passage d’un régime torrentiel à fluvial ou l’inverse Les perturbations sont alors pratiquement stationnaires V. PRESSION 1) Répartition de pression En tout point d’un fluide, la pression absolue est : 𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ En un point M dans un écoulement, la pression effective est : 𝑃𝑀 = 𝜌𝑔ℎ𝑀 En admettant que la pente de fond est faible (𝜂 <≈ 10 %, cos 𝜂 ≈ 1), il devient que ℎ𝑀 ≈ 𝑦𝑀 , d’où: 𝑃𝑀 = 𝜌𝑔ℎ𝑀 = 𝜌𝑔𝑦𝑀 𝑐𝑜𝑠𝜂 ≈ 𝜌𝑔𝑦𝑀 2) Répartition de pression : cas des courants courbes Dans le cas d’un écoulement se produisant sur un fond courbe, une accélération centrifuge de masse U2/r est introduite, induisant une force d’inertie supplémentaire : la distribution de pression n’est plus hydrostatique ■ L’accélération ∓ 𝑈 2 Τ𝑟 est positive sur fond concave (+) et négative sur fond convexe (-). 𝑃𝑓 1 𝑈2 L’expression de la pression sur le fond 𝑃𝑓 est : =𝑦 ± 𝑦 𝜌𝑔 𝑔 𝑟 Sur fond convexe, Sur fond concave la pression sur le Fond est abaissée la pression sur le fond est augmentée. 𝑃𝑓 1 𝑈2 = ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + ℎ 𝜌𝑔 𝑔 𝑟 Cela accentue l’érosion du fond de la convexité 𝑃𝑓 1 𝑈2 = ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − ℎ 𝜌𝑔 𝑔 𝑟 et peut devenir inférieure à Patm, entrainement un décollement du fond. VI. ENERGIE HYDRAULIQUE La charge hydraulique en un point M : 𝑃𝑀 𝑉𝑀2 𝐻𝑀 = +𝑧+ 𝜌𝑔 2𝑔 1 𝑃𝑀 𝑉𝑀2 La charge moyenne dans la section devient alors : 𝐻 = ඵ +𝑧+ 𝑑𝑄 𝑄 𝜌𝑔 2𝑔 𝑃 𝑈2 = +𝑧+𝛼 𝜌𝑔 2𝑔 Avec : 1 𝛼 = 3 𝑉 3 dS 𝑈 𝑆 𝛼 est le coefficient de Coriolis, de valeur comprise entre 1,03 et 1,36 suivant la rugosité des parois (Chow, 1959). On retient généralement la valeur de 1. VII. REVÊTEMENT 1/ Définition et propriétés C’est l’endui qu’on met sur la paroi et le fond des canaux, ■ Les fonctions assurées par le revêtement : Réduction des pertes en eau par infiltration Maximisation du débit, par réduction de la rugosité des parois Minimisation de l’effet de l’érosion ■ Quelques exemples de matériaux de couverture : Béton, asphalte, ciment, Bois, Matériau pulvérulent, graviers, rochers, etc… CHAPITRE II : ECOULEMENT UNIFORME I-Définition et hypothèses 1) Hypothèses générales L'écoulement est permanent 𝜕 =0 𝜕𝑡 Le débit est constant le long du cours d’eau 𝜕𝑄 =0 𝜕𝑥 2) Définitions de base La profondeur d’eau est constante 𝜕𝑦 =0 𝜕𝑥 Le périmètre mouillé, la section mouillée etc. sont constants La vitesse moyenne est constante D’où le canal est prismatique 𝜕𝑃 𝜕𝑆 = =0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝑄 =0 𝜕𝑥 𝑆 L’écoulement uniforme se rencontre dans les canaux naturels et assez rarement dans les canaux artificiels Sauf dans des canaux prismatique très long et loin des extrémités amont et aval Canal prismatique la pente du fond, la section et la rugosité restent constantes Un écoulement est dit uniforme lorsque les filets de courants sont rectilignes et parallèles, avec un profil de vitesse constant suivant le profil en long, Ainsi on parle d’Ecoulement parallèle Représentation d’un écoulement parallèle A surface libre En charge Perte de charge Charge = Énergie totale Énergie cinétique Niveau piézométrique Énergie de pression Énergie potentielle 𝑱𝒇 = 𝑱𝒘 = 𝑰 II-Mise en équation 1) Application de la 2nde loi de Newton : Quelles sont les forces qui s’exercent sur ce volume de contrôle? Le poids propre Les forces de frottement Les forces de pression y Rappel des hypothèses de l’EU ∆x 𝑱𝒇 = 𝑱𝒘 = 𝑰 = 𝒔𝒊𝒏∅ ∆x : écoulement uniforme (surface libre // surface du fond // la ligne de charge) 𝑎Ԧ = 0 : canal prismatique ( Q= cste) Equilibre des forces 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎 𝒂 = 𝟎 poids propre × 𝜸 𝑺 ∆𝒙 𝑱𝒇 𝜸 𝑺 ∆𝒙 forces de frottement 𝒌 𝑼𝟐 𝑷 ∆𝒙 × ∆x ∆x forces de pression 𝒌 𝑼𝟐 𝑷 ∆𝒙 = 𝜸 𝑺 ∆𝒙 𝑱𝒇 𝑺 𝑹𝑯 = 𝑷 𝑼= 𝜸 𝑺 𝑱 𝒌 𝑷 𝒇 𝑼= 𝜸 𝑹𝑯 𝑱𝒇 𝒌 ∆x 2) Equation de Chézy (1768) ■ Postulat de Chézy : 𝝉𝟎 = 𝑲 𝑼𝟐 ■ Il vient alors que : 𝑼= 𝝆𝒈 𝑹𝑯 𝑰 = 𝒄 𝑹𝑯 𝑰 𝑲 Antoine de Chézy (1718 – 1798) ■ C [m1/2.s-1] est la constante de Chézy et dépend : De la forme de la section De la rugosité Des conditions d’écoulement a) Formulations empiriques de la constante de Chézy 𝟏𝟎𝟎 𝑹𝒉 ■ Kutter (1869) : 𝑪 = 𝑲𝑲+ 𝑹𝒉 ■ Bazin (1897) : 𝟖𝟕 𝑹𝒉 𝑪= 𝑲𝑩+ 𝑹𝒉 Parois très unies (ciment lissé) Parois unies (planches, briques, pierres de taille) KB 0,06 0,16 Parois en maçonnerie Parois en terre bien régulières Parois en terre ordinaires 0,46 0,85 1,30 Parois en terre et fond de galets ou herbes 1,75 Nature de la paroi ■ Powell (1950), logarithmique et implicite en C : Henri Bazin (1829 – 1927) 𝑪 𝒆 𝑪 = −𝟐 𝐥𝐨𝐠 + 𝟒 𝑹 𝒉 𝑹𝒉 ■ Formulation de Gauckler-Manning-Strickler de la constante de Chézy Gauckler (1867) relie le coefficient de Chézy à 𝑅ℎ𝑙 Puis, Manning (1889) et Strickler (1891) proposent une approche similaire : 𝟏ൗ 𝟏 𝟏ൗ𝟔 𝑪= 𝑹𝑯 = 𝑲𝑺 𝑹𝑯 𝟔 𝒏 Albert Strickler (1887‐1963) D’où la formule très usitée de Manning-Strickler : 𝟐ൗ 𝑼 = 𝑲𝑺 𝑹𝑯 𝟑 𝟐ൗ 𝑱 = 𝑲𝑺 𝑹𝑯 𝟑 𝑰 K = 100 : parois en ciment lissé, K= 80 : parois revêtues de béton ordinaire, K = 50 : parois en gravier fin, Robert Manning (1816‐1897) K = 30 : parois de rugosité exceptionnelle (canaux à l’air libre dont le fond comporte des pierres et des herbes, galeries brutes de perforation). 3) Notion de rugosité Dans la formule de Manning-Strickler: n, c'est le coefficient de Manning, K, c'est le coefficient de Strickler. Ce fameux coefficient n est la rugosité, elle est essentielle car régit la vitesse et donc le débit Cette valeur de n est abondamment tabulée et Ici nous avons un petit morceau de ces tables Cette valeur de n est fonction de la nature des parois et aussi est fonction de l'état des parois Section Complexe ou composée (hétérogènes) Cette situation se rencontre lors d’un débordement ou de l’inondation du lit majeur d’un cours d’eau. Pour déterminer le débit à travers une telle section, nous pouvons décomposée celle-ci en sous section On suppose que chacune d’elles fait passer son propre débit déterminé par la formule de Manning. 1 𝑈 = 𝑆 𝑅2Τ3 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 Ainsi, le débit total est 𝟏 𝟐Τ𝟑 ∆𝒛 𝑸 = 𝑸𝒄 + 𝑸𝟎 = 𝑺 𝑹 𝒏𝒄 𝒄 𝒄 𝑳𝒄 𝟏Τ 𝟐 𝟏 𝟐Τ𝟑 ∆𝒛 + 𝑺 𝑹 𝒏𝟎 𝟎 𝟎 𝑳𝟎 𝟏Τ 𝟐 Dans le cas d’une section caractérisé par des rugosité hétérogènes sur son périmètre mouillé la vitesse moyenne est supposée identique dans toutes les sous sections, ainsi : U = U1 = U2 = … = Ui (hypothèse d'Einstein) U = UAMB = UMNCB = UNDC Τ Τ Τ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝑹 𝟐 Τ𝟑 𝟏 Τ𝟐 𝑹𝟐𝑨𝑴𝑩 𝑹 𝑹 Τ Τ Τ 𝑱𝒇 = 𝑱𝟏𝒇 𝟐 = 𝑴𝑵𝑪𝑩 𝑱𝒇𝟏 𝟐 = 𝑵𝑫𝑪 𝑱𝟏𝒇 𝟐 𝒏 𝒏𝑨𝑩 𝒏𝑩𝑪 𝒏𝒄𝑫 𝑺 𝑺𝑨𝑴𝑩 𝑺𝑴𝑵𝑪𝑩 𝑺𝑵𝑫𝑪 = = = 𝑷 𝒏𝟑Τ𝟐 𝒏𝟑Τ𝟐 𝑷𝑨𝑩 𝒏𝟑Τ𝟐 𝑷𝑩𝑪 𝒏𝟑Τ𝟐 𝑷𝑪𝑫 𝑨𝑩 𝑩𝑪 𝑪𝑫 𝑺 𝑺𝑨𝑴𝑩 + 𝑺𝑴𝑵𝑪𝑩 + 𝑺𝑵𝑫𝑪 = 𝑷 𝒏𝟑Τ𝟐 𝒏𝟑Τ𝟐 𝑷𝑨𝑩 + 𝒏𝟑Τ𝟐 𝑷𝑩𝑪 + 𝒏𝟑Τ𝟐 𝑷𝑪𝑫 𝑨𝑩 𝑩𝑪 𝑪𝑫 La section totale est évidemment la somme des sous sections : S = S1 + S2 + … + Si 𝑺 = 𝑺𝑨𝑴𝑩 + 𝑺𝑴𝑵𝑪𝑩 + 𝑺𝑵𝑫𝑪 𝒏= 𝟐Τ𝟑 𝟑Τ𝟐 𝟑 Τ𝟐 𝟑 Τ𝟐 𝒏𝑨𝑩 𝑷𝑨𝑩 + 𝒏𝑩𝑪 𝑷𝑩𝑪 + 𝒏𝑪𝑫 𝑷𝑪𝑫 𝑷 𝒏= 𝟐 Τ𝟑 𝟑 Τ𝟐 σ𝒊 𝒏𝒊 𝑷𝒊 𝑷 III- Calcul pratique de l’écoulement uniforme 1)Calcul du débit Soit le canal dont la section est la suivante : D’après la formule de Manning, on a: 𝑈= 1 𝑅𝐻 2Τ3 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 Le débit 𝑄=𝑆𝑈 1 = 𝑆 𝑅𝐻 2Τ3 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 1 𝑆 =𝑆 𝑛 𝑃 𝑅𝐻 = 2Τ3 1 𝑆 5Τ3 1Τ2 = 𝐽𝑓 Τ 2 3 𝑛𝑃 𝐽𝑓 1Τ2 1 1Τ2 𝑄 = 𝐽𝑓 𝑓(𝑦) 𝑛 𝑆 𝑃 Exemple: Calcul du débit en section trapézoïdale 1 𝑆 5Τ3 1Τ2 𝑄= 𝐽𝑓 Τ 2 3 𝑛𝑃 𝑆 = 𝑦(𝑙 + 𝑝𝑦) 𝑄 = 𝑓(𝑦𝑛) 𝑃 = 𝑙 + 2 𝑦 1 + 𝑝2 1 (𝑦(𝑙 + 𝑝𝑦) )5Τ3 𝑄= 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 (𝑙 + 2 𝑦 1 + 𝑝2 )2Τ3 2)Profondeur normale La profondeur de l’eau correspondant à un débit donné Q, en écoulement uniforme (J = Jn) est appelée Profondeur ou Tirant Normal. Elle peut être déterminée en utilisant la formule de Manning-Strickler Avec En remplaçant RH dans l’équation du débit on obtient: 𝑄 𝑆 5Τ3 (𝑦𝑛) = 2Τ3 Τ 1 2 𝑀𝐽𝑓 𝑃 (𝑦𝑛) Cette équation peut être résolue graphiquement, ou analytiquement de façon explicite ou itérative selon la complexité des relations Sn(yn) et Pn(yn), correspondant respectivement à la surface et le périmètre de la section mouillée à la profondeur normale yn. Exemple: Calcul de la profondeur normale pour un canal quelconque Manning 𝑈 = 1 𝑅𝐻 2Τ3 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 Débit Q= S U 𝑅𝐻 = 𝑆 𝑃 1 = 𝑆 𝑅𝐻 2Τ3 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 1 𝑆 2Τ3 1Τ2 =𝑆 ( ) 𝐽𝑓 𝑛 𝑃 1 𝑆 5Τ3 1Τ2 = 𝐽𝑓 Τ 2 3 𝑛 𝑃 Q= 1 𝐽𝑓 1Τ2 𝑓(𝑦) 𝑛 𝑦𝑛 Cas d’une section trapézoïdale 1 𝑆 5Τ3 1Τ2 𝑄= 𝐽𝑓 Τ 2 3 𝑛 𝑃 𝑆 = 𝑦(𝑙 + 𝑝𝑦) 𝑃 = 𝑙 + 2 𝑦 1 + 𝑝2 1 𝒚 𝑦 5Τ3 (𝑙 + 𝑝 𝒚) 𝑦)5Τ3 𝑄= 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 (𝑙 + 2 𝒚 𝑦 1 + 𝑝2 )2Τ3 𝒚 𝑦 5Τ3 = 𝑄𝑛 𝐽𝑓 1Τ2 𝑙+2𝒚 𝑦 1 + 𝑝2 2Τ3 𝑙 + 𝑝𝒚 𝑝𝑦 5Τ3 Il est possible de résoudre cette équation par itérations 1 𝒚5Τ3 (𝑙 + 𝑝 𝒚)5Τ3 𝑄= 𝐽𝑓 1Τ2 𝑛 (𝑙 + 2 𝒚 1 + 𝑝2 )2Τ3 𝒚5Τ3 = 𝑄𝑛 𝑙 + 2 𝒚 1 + 𝑝2 𝐽𝑓 1Τ2 𝑙 + 𝑝𝒚 5Τ3 2Τ3 itération Yu (ou yn)(m) Introduit Yu (ou yn)(m) calculé 1 2 4,397 2 4,397 4,157 3 4,157 4,182 4 4,182 4,179 5 4,179 4,179 Exo1: Déterminer les formules de calcul litérales de hn dans un canal trapézoidal de largeur de base b et de contre pentes s1 et s2 , en supposant: a) que le canal est large b > > hn et b) que le canal est étroit b < < hn. Exo2:On considère un canal de section droite rectangulaire de largeur L=2m et de pente égale à 5.10-4. Le coefficient de strickler du canal est égal à 60 unités SI. 1. Quel est le débit Q pour un écoulement uniforme dans ce canal et pour une hauteur d'eau h=0,5m ? IV-Dimensionnement des canaux à surface Libre ■ Objectif : écouler un débit Q à travers une section dont les dimensions et le tirant d’eau y sont à définir. ■ Hypothèse : écoulement uniforme. 1) SECTION « ECONOMIQUE » La construction d’un canal pour un débit Q coutera moins cher pour la plus faible section appelée section économique : Coût min ≡ Section min ≡ Débit max. 𝑺𝟓Τ 𝟑 Pour une pente et une rugosité constantes, l’équation du débit permet d’écrire : 𝑸 = 𝒄𝒔𝒕𝒆 𝑷𝟐Τ𝟑 Cette expression montre que le débit sera maximal si le rayon hydraulique est maximal (RH = RHmax); donc le périmètre mouillé est minimal (P = Pmin) et donc pour un revêtement minimal. La section ainsi définie doit être, pour un débit Q et une pente donné: a) Choix de forme ■ La section semi-circulaire est la plus économe, mais demande une plus grande profondeur. Elle est surtout employée pour les aqueducs en demi-buse (non enterrés) en irrigation. ■ La section rectangulaire doit être excavée dans un sol stable , car elle présente le risque éboulement des parois si la profondeur est grande. ■ La section trapézoïdale est la plus utilisée. Les cavaliers sont confectionnés avec les déblais et les banquettes sont aménagées lorsque la profondeur est grande. Fruit des berges Le fruit de berges doit être inférieur à l’angle de talus naturel lorsque le canal est confectionné avec le matériau en place. On notera que plus le matériau est lâche, plus le fruit de berges est élevé. b) Section Hydrauliquement Favorable (SHF) ■ SHF : section minimisant P et S, de sorte à maximiser Q sur une pente Jf donnée ou section minimisant Jf pour un débit Q donné. Elle est dite « économique », mais ne constitue pas toujours la meilleure solution lorsqu’il existe des contraintes: De type terrain horizontal De type profondeur limite De type vitesse limite d’écoulement La section circulaire (cas I) est déjà économique par essence. Mais la section trapézoïdale (cas II) nécessite des relations particulières entre ses dimensions pour être « hydrauliquement favorable ». NB: La SHF ne tient pas compte de la revanche Cas I : section circulaire 𝐷2 ■ Pour la section circulaire 𝑆 = 𝑓 𝜃 = 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 8 𝑒𝑡 𝑃 = 𝑓 𝜃 𝜃 =𝐷 2 Par Conséquent : 𝑈 = 𝑓 𝜃 𝑒𝑡 𝑄 = 𝑓(𝜃) La fonction 𝑆(𝜃) est croissante avec points d’inflexion, tandis que la fonction 𝑃(𝜃) est croissante et linéaire De ce fait, Qmax et Umax ne sont pas atteints à la même profondeur y ■ Il apparait donc deux situations optimales pour la section circulaire hydrauliquement favorable ■ SHF pour la vitesse U ■ SHF pour le débit Q SHF circulaire – vitesse maximale 2ൗ 𝑈 = 𝐾𝑠 𝑅ℎ (3 ) 𝜃 En utilisant l’équation de Manning-Strickler : 𝐼 ■ La vitesse est maximale pour : 𝒅𝑺 𝒅𝑷 ⟹ = 𝑑𝑈 = 𝑑(𝑅ℎ ) = 0 Condition de vitesse maximale : 𝑺 𝑷 𝒚𝒏 ≈ 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟖𝟎𝟑 𝑫 𝑼𝒎𝒂𝒙 ≈ 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟒𝑲𝒔 𝑫𝟐Τ𝟑 𝑰 𝜃 ≈ 4,493 𝑟𝑎𝑑 ≈ 257,453 ° 2Τ 3 SHF circulaire – débit maximum 2ൗ 𝑄 = 𝐾𝑠 𝑆(𝜃) 𝑅ℎ (3 ) 𝜃 En utilisant l’équation de Manning et Strickler : ■ Le débit est maximal pour : Condition de débit maximal : 2Τ 3 𝑑𝑄 = 𝑑(𝑆𝑅ℎ ) = 0 𝜃 ≈ 5,278 𝑟𝑎𝑑 ≈ 302,413 ° 𝒚𝒏 ≈ 𝟎, 𝟗𝟑𝟖𝟏𝟖𝟏 𝑫 𝐽𝑓 𝒅𝑺 𝟐 𝒅𝑷 ⟹ = 𝑺 𝟓 𝑷 𝑸𝒎𝒂𝒙 ≈ 𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟑𝑲𝒔 𝑫𝟖Τ𝟑 𝑰 SHF circulaire : abaque Valeur pratique pour le dimensionnement des sections circulaires En général on évite de réaliser les SHF en section circulaire Du fait des taux de remplissage atteints : à Qmax 𝜃 ≅ 302 ° 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒 ≈ 94 % Et à Umax 𝜃 ≅ 258 ° 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒 ≈ 81,5 % Dans ces conditions, la conduite peut se mettre en charge. On retiendra plutôt un taux de remplissage de 75% (ө = 240 °). La perte de débit sera de 15% par rapport à Qmax. Cas II : Section trapézoïdale La section S et le périmètre P dépendent des variables b et y. Minimiser S et P implique dS=0 et dP=0 ቊ 𝑆 𝑏, 𝑦 = 𝑦 𝑏 + 𝑚𝑦 𝑃 𝑏, 𝑦 = 𝑏 + 2𝑦 1 + 𝑚2 𝑑𝑠 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑𝑏 + 𝑏 + 2𝑚𝑦 𝑑𝑦 = 0 ⟹ ቐ 𝑑𝑃 = 0 ⟹ 𝑑𝑏 + 2 1 + 𝑚2 𝑑𝑦 = 0 ■ La solution non triviale (0,0) existe si le déterminant est nul 𝑦 2 D’où la solution 𝑆= 𝜆𝑦 𝑃 =2𝜆𝑦 𝑅ℎ = 2 𝑦 2Τ3 𝑈 = 𝐾𝑠 2Τ3 2 𝒚= 𝐼 Avec : 𝜆 = 2 1 + 𝑚2 − 𝑚 𝜆 𝑦 8Τ3 ⟹ 𝑄 = 𝐾𝑠 2Τ3 2 𝟑 Τ𝟖 Τ𝟑 𝟐 𝟐 𝑸 𝝀𝑲𝒔 𝑰 ⟹ 𝒃 = 𝒚 (𝝀 − 𝒎) 𝐼 Une section trapézoïdale et hydrauliquement favorable a ses trois côtés tangents à un demicercle inscrit de centre O et de rayon y 𝝀+𝒎 On montre que, pour la SHF : 𝟏 + 𝒎𝟐 = 𝟐 𝒃+𝟐𝒎𝒚= 𝒚 𝝀+𝒎 𝑦 𝐾𝑀 = = 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 2 𝑀𝑁 𝑦 1+𝑚 𝑂𝐹 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑂𝑀 Or OF = y 𝑦= 𝑏+2𝑚𝑦 2 1 + 𝑚2 ⟹ 1 + 𝑚2 = 1 + 𝑚2 ⟹ 𝑂𝐹 = 𝑂𝑀 sin 𝛼 𝑏+2𝑚𝑦 2 ⟹ 1+𝑚 = 2𝑦 𝑏+2𝑚𝑦 2𝑦 𝜆+ 𝑚 𝑜𝑟 1 + 𝑚2 = 2 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 1 = 𝑂𝑀 1 1 + 𝑚2 = 𝑏+2𝑚𝑦 2 1 + 𝑚2 𝒚 (𝝀 − 𝒎) + 2 𝑚 𝑦 2 1+𝑚 = 2𝑦 2𝑦(𝜆 + 𝑚) 𝑏+2𝑚𝑦 𝜆+ 𝑚 ⟹𝑏+2𝑚𝑦 = ⟹ = 2 2𝑦 2 d𝑜𝑛𝑐: 1 + 𝑚2 = 𝜆+ 𝑚 2 ⟹ 𝑏 + 2 𝑚 𝑦 = 𝑦(𝜆 + 𝑚) Section trapézoïdale- fruit de berges optimal Il est obtenu en retenant la solution non triviale (y = 0) qui annule la dérivée du périmètre P, pour m variant : 𝑑𝑃 =0 𝑑𝑚 𝑜𝑛 𝑎: 𝑃 = 2 𝜆 𝑦 or : 𝜆 = 2 1 + 𝑚2 − 𝑚 ⟹𝒎= 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒅𝑷 = 𝒅(2 𝜆 𝑦 ) 𝒅𝒎 𝒅𝒎 𝒅(2 1 + 𝑚2 − 𝑚 ) 𝒅𝑷 𝒅( 𝜆 ) =𝟐𝒚 =𝟐𝒚 ⟹ =𝟐𝒚 𝒅𝒎 𝒅𝒎 𝒅𝒎 2𝑚 1 + 𝑚2 −1 =𝟎 ⟹ 𝜶 = 𝟔𝟎 ° Le fruit de berges optimal pour une SHF trapézoïdale est celle qui fait de la section un semihexagone, soit 𝜶 = 𝟔𝟎 ° Attention! Le fruit de berges optimal n’est pas toujours la meilleure option Car il peut avoir des contraintes sur: la vitesse (vitesse maximale), la largeur au radier (b donné) ou la pente Section trapézoïdale- avec vitesse limite Contrainte : Il existe une vitesse maximale Umax Le couple solution (y, b) doit vérifier l’équation : On définit le discriminant 𝑆= 𝑄 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑅𝐻 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 3Τ2 𝐾𝑠 𝐽𝑓 𝑆 𝑃= 𝑅𝐻 𝜆𝑦 2 + 𝑃 𝑦 + 𝑆 = 0 ∆= 𝑃2 − 4 𝜆 𝑆 ∆< 0: pas de solution. Diminuer Umax et reprendre ∆ = 0: solution unique la SHF: ∆ > 0: retenir une solution pratique entre les deux suivantes: 𝑃 − ∆ 𝑦1 = ⇒ 𝑏1 = 𝑃 + 2𝑦1 1 + 𝑚2 2𝜆 𝑃+ ∆ 𝑦2 = ⇒ 𝑏2 = 𝑃 + 2𝑦2 1 + 𝑚2 2𝜆 y = P/2 𝝀 Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec vitesse maximale La pente d’écoulement optimale est à définir, ainsi que la section, mais pour une vitesse maximale déjà fixée. Si I est optimale, la section est alors hydrauliquement favorable pour écouler le débit Q de manière efficace D’où l’écriture : 𝑦= 𝑄 = 𝑈 𝑆 = 𝑈 (𝜆𝑦 2 ) Avec : 𝜆 = 2 1 + 𝑚2 − 𝑚 Or : 𝑏 = 𝑦 (𝜆 − 𝑚) De l’équation de Manning-Strickler, il vient que : 𝑄 𝜆𝑈 𝑈 8Τ3 𝜆2Τ3 24Τ3 𝐼= 𝐾𝑆2 𝑄2Τ3 Calcul d’une pente limite pour une section trapézoïdale avec b ou y fixé La pente d’écoulement optimale est à définir, mais l’une des dimensions b ou y est fixée, ainsi que la vitesse Umax. Il vient alors que : 𝑚 𝑦2 + 𝑏 𝑦 − 𝑄 =0 𝑈 −𝑏+ La solution est de la forme : 𝑦= 𝑄 2 𝑏 +4𝑚 𝑈 𝑠𝑖 𝑚 ≠ 0 2𝑚 𝑄 𝑦= 𝑏𝑈 𝑠𝑖 𝑚 = 0 De l’équation de Manning-Strickler, nous déduisons : 𝐼= 𝑈2 𝐾𝑆2 1 + 𝑚2 𝑏 + 2𝑦 𝑦( 𝑏 + 𝑚 𝑦 ) 4Τ3 c) Algorithme de calcul simplifié ■ Objectif : écouler un débit Q à travers une section dont les dimensions et le tirant d’eau y sont à définir. ■ Hypothèse : écoulement uniforme. Algorithme simplifié : Choisir une forme de canal (trapézoïdal, circulaire,…) Choisir un revêtement pour la définition de la rugosité Soit fixer b (trapézoïdal) ou D (circulaire) et déterminer yn par itération, Ou, fixer yn et déterminer b ou D par itération ■ Infinité de solutions possibles. 3) SYNTHESE DU CALCUL DE SECTION Principes de calcul L’esprit du dimensionnement de section est de remplir les conditions suivantes : 1. Minimiser l’emprise de l’ouvrage 2. Minimiser la profondeur de fouille 3. Minimiser la section de l’ouvrage 4. Réaliser une vitesse d’écoulement ni trop faible, ni trop élevée ■ En général, on essaiera le plus souvent de : Satisfaire les conditions 3 et 4 en premier, Revoir les dimensions afin de satisfaire les conditions 1 et 2 (si besoin est) Chapitre III : Ecoulements Graduellement variés 1) Introduction Dans le cadre général, un écoulement est dit non uniforme lorsque les caractéristiques géométriques et hydrauliques de celui-ci sont variables le long de l’écoulement. On peut aussi dire qu’un écoulement est non uniforme lorsque l’une au-moins des conditions de l ’écoulement uniforme n’est pas respectée Dans la réalité, nous allons souvent nous trouver avec des conditions qui sont différentes Exemples: Pour une variation faible et progressive, l’écoulement est dit graduellement varié. 2) CARACTERISATION DES EGV Propriétés ■ Les EGV se caractérisent par une variation « lente » et « continue » de la ligne d’eau, soit en exhaussement ou en rabaissement. Hypothèses Dans l’étude des EGV, on admet les hypothèses suivantes : La pente du fond diffère de celle de la surface libre et de celle de la charge hydraulique (Jf ≠ I ≠ Jw), mais cette différence est suffisamment faible La distribution de pression reste hydrostatique Le coefficient de Coriolis α reste constant Les pertes de charge de l'écoulement non-uniforme sont les mêmes que celles de l'écoulement uniforme dans les mêmes conditions ■ La loi de débit par Manning-Strickler s’écrit désormais : 2Τ3 𝑄 = 𝐾𝑆 𝑆(𝑦)𝑅ℎ(𝑦) 𝐽 𝐝𝐇 𝐔𝟐 𝐈=− = Τ 𝐝𝐱 𝐊𝟐𝐒 𝐑𝟒 𝟑 𝐡(𝐲) 3) ENERGIE DES ECOULEMENTS Charge moyenne et charge spécifique Soit un canal de faible pente du fond (les profondeur d’eau sont alors supposées comme verticale) PdR et soit une section S repéré par sa cote z par rapport à un plan de référence. La charge totale H dans une section donnée du canal est définit par rapport au plan horizontal de référence PdR par: 𝑈2 𝑄2 𝐻 =𝑧+𝑦+ 𝛼 =𝑧+𝑦+ 𝛼 2𝑔 2 𝑔𝑆 2 En se référant au fond du canal (plan de référence PdR’), le terme z est fixée par l’implantation du canal, la charge spécifique (HS) est alors définie par : 𝑼𝟐 𝑯𝑺 = 𝑯 − 𝒛 = 𝒚 + 𝜶 𝟐𝒈 𝑸𝟐 =𝒚+ 𝜶 𝟐 𝒈𝑺𝟐 PdR Elle comporte deux termes: un représentant l’énergie potentielle et un autre représentant l’énergie cinétique. Cette quantité traduit l’énergie disponible au dessus du canal, d’où son nom d’énergie Spécifique. Elle peut s’exprimer en fonction du tirant d’eau y et du débit Q par: 𝐻𝑆 = 𝑓 𝑄, 𝑦 𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑓 𝐻𝑆 , 𝑄, 𝑦 = 0 𝑸𝟐 𝑯𝑺 = 𝒚 + 𝟐 𝒈𝑺𝟐 pour 𝜶 = 𝟏 4) ENERGIE SPECIFIQUE a) Variation de HS suivant x Etudions la variation de HS suivant le profil en long du canal: 𝑑𝐻𝑆 𝑑 = 𝐻 −𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐻 𝑑𝑧 = − = −𝐼 − −𝐽𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 En écoulement uniforme, I=J ⟹ 𝐻𝑆 = 𝐶𝑠𝑡𝑒 En écoulement non uniforme, I≠J Si , I ˃ J, U augmente, y diminue Si , I ˂ J, U diminue , y augmente = −𝐼 + 𝐽 𝒅𝑯𝑺 =𝑱−𝑰 𝒅𝒙 b) Variation de HS suivant y pour un débit Q donné On a: 𝑸𝟐 𝑯𝑺 (𝒚) = 𝒚 + 𝟐 𝒈𝑺𝟐 (𝒚) Pour un débit Q fixé : Si y→0, S(y)→0 donc HS →∞ Si y →∞, S(y)→ ∞ donc HS → y → ∞ Aussi, si y→∞, HS⁄y → 1, donc HS →y (asymptote) On établit l’expression : 𝑑𝐻𝑆 𝑑 𝑸𝟐 = 𝑦+ 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝟐 𝒈𝑺𝟐 (𝒚) 𝑑 𝑸𝟐 =1+ 𝑑𝑦 𝟐 𝒈𝑺𝟐 (𝒚) 𝑑 𝑸𝟐 𝑸𝟐 𝑜𝑟 ∶ = − 𝟐 𝑑𝑆 𝟐 𝒈𝑺 (𝒚) 𝒈𝑺𝟑 (𝒚) 𝑑𝑆 𝒔𝒐𝒊𝒕 ∶ = B(y) : largeur au miroir 𝑑𝑦 𝑑 𝑸𝟐 𝑑𝑆 =1+ ∗ 𝟐 𝑑𝑆 𝟐 𝒈𝑺 (𝒚) 𝑑𝑦 𝑑𝐻𝑆 𝑸𝟐 𝑩(𝒚) ⟹ =1− 𝑑𝑦 𝒈𝑺𝟑 (𝒚) 𝑆(𝑦) Or: = 𝐷𝐻 : 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑜𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 ℎ𝑦𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑦) 𝑑𝐻𝑆 𝑸𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝑭 ⟹ =1− 𝒓 𝑑𝑦 𝒈𝑺𝟐 𝑫𝑯 𝑑𝐻𝑆 HS présente un minimum quand: ⟹ 𝑭𝟐𝒓 = 𝟏 =0 C’est le régime critique 𝑑𝑦 Ce qui entraine que la valeur de DH (DHC) correspondant à une charge spécifique minimale est appelée profondeur hydraulique critique D’après l’équation encerclée : : l’écoulement est torrentiel Le terme correspondant à l’énergie cinétique l’emporte L’écoulement permanent se fait avec une faible profondeur et une forte vitesse : l’écoulement est fluvial Le terme correspondant à l’énergie potentielle l’emporte L’écoulement permanent se fait avec une grande profondeur et une faible vitesse : l’écoulement est critique * Représentation graphique La courbe représentative de HS = f(y,Q) à Q=cste admet deux asymptotes: - Une verticale, lorsque y tend vers 0 - Une autre égale à la première bissectrice lorsque y tend vers l’infini Pour une énergie spécifique supérieure à l’énergie spécifique minimale, on retrouve les deux c) Variation du débit à charge spécifique constant On a: Quand y = 0 Quand y = HS Q est maximal , Soit On en déduit le débit est maximal par : Et la vitesse maximale correspondante par : * Représentation graphique Pour un débit inférieur au débit maximal, on retrouve les deux régimes d’écoulements A partir de ce qui précède, nous définissons la profondeur critique comme la profondeur orrespondant à : - À une énergie spécifique minimale pour un débit donné - À un débit maximale pour une énergie spécifique donnée Le tirant d’eau et la profondeur hydraulique correspondants au débit maximal sont respectivement appels tirant d’eau critique et profondeur hydraulique critique II) Régime critique 1) Définitions Un écoulement est dit critique si l’énergie spécifique est minimale: c’est-à-dire: 2) Profondeur critique Fr = 1 On appelle profondeur critique, la profondeur yc correspondant au sommets de courbes y (HS) et y (Q). La vitesse critique correspond à la vitesse de propagation d’une petite onde dans une eau au repos de profondeur yc Régimes d’écoulements * Lorsque y < yc (tirant d’eau critique) on dira que le régime est supercritique ou supra critique y < yc donc U > Uc on a alors : Fr > 1 * Lorsque y > yc (tirant d’eau critique) on dira que le régime est sub critique ou infra critique y > yc donc U < Uc on a alors : Fr < 1 En régime critique, l’énergie spécifique est minimale donc sa différentielle est nulle Au voisinage du niveau critique, les variations d’énergie cinétique compensent les variations de profondeur: cet état est instable En effet on peut remarquer sur la courbe des énergies qu’une faible variation de l’énergie spécifique provoque une forte variation de profondeur Il s’en suit qu’au voisinage du régime critique, on observe une ondulation du niveau du fluide 3) Calcul des profondeurs critiques a) Cas d’un canal rectangulaire Dans un canal rectangulaire On a: S = B y et y = ym avec D’où l’on tire d’après les relations précédentes: Avec: Cette dernière expression montre que dans le cas d’un canal rectangulaire, le lieu des points critiques sur les courbes d’énergie est la droite de pente 3/2 passant par l’origine. Démonstration Soit HS la charge spécifique ou énergie spécifique Posons : débit par unité de largeur Par élimination de q, il devient : De même en supposant que b=1, q = y U = yc Uc b) Cas des canaux libres non rectangulaires Dans ce cas on a : Avec b’ = largeur de la surface libre Sc = surface critique On peut réarranger la formule précédente en divisant par Ce qui donne (en se rappelant que Q = Uc Sc) : Soit encore : 𝑆𝑐 Où ′ 𝑏 représente la hauteur (profondeur moyenne ym) 83 Démonstration Pour un débit constant et comme l’aire S= S’y) La variation élémentaire de la surface est donnée par : dS = b’ dy En substituant dans l’équation précédente, elle devient : Soit encore : Cette équation est celle qui doit être satisfaite dans le cas des écoulements critiques dans les canaux libres. 𝑆 Le problème qui se pose est que le dernier terme à droite 𝑐′ est une fonction de y et seule une 𝑏 méthode dite ( trial & error) permet de déterminer yc En divisant Q2 par Sc2, en terme de vitesse moyenne U= Uc On obtient : Soit encore : Soit encore : L’énergie spécifique minimale devient alors : Pour un canal rectangulaire on a évidemment Sc= b yc et l’on retrouve (avec yc= ym) Les résultats classiques Exercice: Déterminer les formules de calculs littérales de yc dans un canal trapézoïdal symétrique , de largeur de base b et de contre pentes s , en supposant: a)que le canal est large b > yc b) que le canal est étroit b< yc, Exercice: Soit le canal trapézoïdal de la figure suivante où s’écoule un débit de 400 m3/s Calculer par itération le tirant d’eau critique yc si la pente du fond Jf est de 0,0016 et la rugosité des parois n est de 0,025 m-1/3s 4) Pente critique La pente critique, notée Jc est la pente du régime critique et uniforme pour un débit donné 𝑄𝑐2 𝑆𝑐3 ⟹ = On a un régime critique si: 𝑔 𝐵𝑐 Or d’après la formule de Chézy: 𝑈 2 𝑆𝑐2 𝑆𝑐3 ⟹ = 𝑔 𝐵𝑐 Avec Jc = pente critique du radier, pente pour laquelle la hauteur normale est égale à la hauteur critique, soit yn (Jc) = yc Pour un canal rectangulaire très large: Soit : Exercice : Un canal rectangulaire transporte 6 m3/s. Déterminez la profondeur et la vitesse critique pour une largeur de canal b de 3 mètres (cas a) ou de 4 mètres (cas b). Dans le cas (b) , qu’elle est la pente qui va provoquer un écoulement critique si on prend comme coefficient de rugosité de Manning n = 0.020 ? Le Tableau suivant résume les différents régimes d’écoulements 𝟐𝑩 Régimes d’écoulements y 𝑸 𝟐 𝑭𝒓 = 𝒈𝑺𝟑 Fluvial <1 > 𝑦𝐶 U 𝑱𝒇Τ𝑱𝒄 < 𝑈𝐶 <1 Critique =1 = 𝑦𝐶 = 𝑈𝐶 =1 Torrentiel >1 < 𝑦𝐶 > 𝑈𝐶 >1 NB: Si le radier fait un angle θ avec l’horizontale non négligeable, le tirant critique dépend de la pente du radier Jf et l’équation de Fr2 devient: Soit: Ainsi, dans un cours d’eau où la pente Jf n’est pas négligeable, la formule avec: 𝑄𝑐2 𝑆𝑐3 ⟹ = 𝑔 𝐵𝑐 reste valable pour le calcul de yc en substituant le débit Q à Q *. Les tirants critiques ainsi calculés seront légèrement plus grands que ceux obtenus en supposant le canal horizontal 5) Classification des écoulements graduellement variés Dans un écoulement graduellement varié, la pente du fond est différente de la pente hydraulique et de la pente de la surface libre et l’écoulement n’est plus uniforme (Jf ≠I≠Jw). La position relative de la profondeur critique yc et de la profondeur normale yn et celle du pente du fond Jf par rapport à la pente critique Jc permettent de classifier les types de régime des écoulements graduellement variés Tableau : Classification des écoulements graduellement variés suivant la pente du fond du canal III. Etude des courbes de Remous or On sait que On sait aussi que : Alors En factorisant par Jf on obtient : En supposant que la pente hydraulique (perte de charge par unité de longueur) en une section est égale à celle d’un mouvement uniforme de même débit et de même vitesse. On a : Cette équation différentielle est complétée par les conditions aux limites suivantes : CL1: si y tend vers yn, le numérateur s’annule et dy/dx=0. l’écoulement est uniforme (Jf=Jn) la ligne d’eau est alors tangente asymptotiquement à la ligne de profondeur normale CL2: si y tend vers yc, le dénominateur s’annule et dy/dx = ∞. l’écoulement est critique (Jf = JC) la ligne d’eau est alors orthogonale à la surface du fond. CL3: Si la profondeur d’eau croit de plus en plus: y → ∞, les courbes tendent asymptotiquement vers une ligne horizontale: dy/dx → Jf 1) Etude qualitative des courbes de Remous L’étude de la variation de la profondeur hydraulique dans les différentes zones et pour les différents types de pentes (vues précédemment) va permettre de représenter qualitativement les types de courbes de remous. Cette représentation des différents formes de courbes de remous est faite suivant la position relative de y par rapport à yn et yc. Elle est faite sur la base de l’équation de la courbe de remous établie précédemment. a. Pente faible (Mild channel): courbes de types M Yn Yc Profil de type M (Mild channel) : Jf > 0 ; Jf < Jc et yn > yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx Variation de y <1 + <1 + + croit Nom M1 a. Pente faible (Mild channel): courbes de types M Yn Yc Profil de type M (Mild channel) : Jf > 0 ; Jf < Jc et yn > yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx Variation de y Nom <1 + <1 + + croit M1 >1 - <1 + - Décroit M2 a. Pente faible (Mild channel): courbes de types M Yn Yc Profil de type M (Mild channel) : Jf > 0 ; Jf < Jc et yn > yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx Variation de y Nom <1 + <1 + + croit M1 >1 - <1 + - Décroit M2 >1 - >1 - + croit M3 b. Pente forte (Steep channel): courbes de types S Yc Yn Profil de type S (Steep channel) : Jf > 0 ; Jf >Jc et yn < yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx Variation de y <1 + <1 + + croit Nom S1 b. Pente forte (Steep channel): courbes de types S Yc Yn Profil de type S(Steep channel) : Jf > 0 ; Jf > Jc et yn<yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx <1 <1 + + <1 >1 + - + - Variation de y Nom croit Décroit S1 S2 b. Pente forte (Steep channel): courbes de types S Yc Yn Profil de type S (Steep channel) : Jf > 0 ; Jf > Jc et yn < yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx Variation de y Nom <1 + <1 + + croit S1 <1 + >1 - - Décroit S2 >1 - >1 - + croit S3 c. Pente forte (Critical channel): courbes de types C Yn = Yc Profil de type C (Critical channel) : Jf > 0 ; Jf =Jc et yn=yc yn / y <1 Signe Num. + yc /y Signe Dén. Signe dy/dx <1 + + Variation de y croit Nom C1 Dans un canal critique, la profondeur normale est confondue avec la profondeur critique et la courbe C2 disparaît c. Pente forte (Critical channel): courbes de types C Yn = Yc Profil de type C (Critical channel) : Jf > 0 ; Jf=Jc et yn=yc yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe Variation de dy/dx y Nom <1 + <1 + + croit C1 >1 - >1 - + croit C3 d. Pente horizontale (Horizontal channel): courbes de types H Profil de type H (Horizontal channel) : Jf =0 ; Jf =Jc et yn =∞ yn / y * Signe Num. - yc /y <1 Signe Dén. + Signe dy/dx - Variation de y Décroit Nom H2 Puisque la profondeur normale dans un canal horizontal est infinie, la courbe H1 n’existe pas. d. Pente horizontale (Horizontal channel): courbes de types H Profil de type H (Horizontal channel) : Jf =0 ; Jf=Jc et yn=∞ yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. * + - <1 + - * >1 Signe Variation de dy/dx y + + croit croit Nom H2 H3 e. Contre-Pente (Adverse channel): courbes de types A Profil de type A (Adverse channel) : Jf < 0 ; et yn< 0 yn / y <1 Signe Num. - yc /y Signe Dén. Signe dy/dx <1 + - Variation de y Décroit Nom A2 La profondeur normale n’existe pas pour un canal à contre pente et la courbe A1 disparaît Dans un changement brusque de pente e. Contre-Pente (Adverse channel): courbes de types A Profil de type A (Adverse channel) : Jf <0 et yn<0 yn / y Signe Num. yc /y Signe Dén. Signe dy/dx Variation de y Nom <1 - <1 + - + Décroit A2 + croit A3 <1 >1 Si l’ouverture d’une vanne est inférieure à yc Cette analyse de la forme de la surface libre n’est que qualitative puisqu’elle permet de décrire l’allure générale de la surface libre Suivant ce qui précède, certaines propriétés communes se dégagent: a) dans les zones 1 et 3, la courbe de remous est toujours d’exhaussement et la vitesse en décélération. a Dans la zone 2, il y a abaissement et accélération. b) Aucun axe ne coupe le niveau uniforme et la surface libre est toujours asymptotique à ce niveau. c) Pour les faibles pentes (M), le régime uniforme est localisé à l’amont d’une singularité , tandis que pour les fortes pentes (S), ce régime se trouve à l’aval. d) Théoriquement, les axes coupent le niveau critique à angle droit (sauf pour le profil type C). Dans la pratique ce passage est instable (apparition d’ondulations). 2) Calcul des écoulements graduellement variés L’étude de l’équation de l’écoulement graduellement varié a permis de préciser l’aspect général des différents formes de la surface d’eau. Pour Procéder aux calculs et à la construction exacte des formes de la surface libre , il est nécessaire d’intégrer cette équation. Trois méthodes de calculs peuvent être distingué: a) Méthode directe ou Explicite b) Méthode standard ou itérative c) Méthode d’Intégration Directe Quel que soit la méthode de calcul adoptée, pour connaitre la forme de la surface libre, il est nécessaire de connaitre l’un de ses points (point de contrôle). La figure ci-dessous montre les grandeurs caractéristiques de l’écoulement en deux sections situées en xi et xi+1 a) Méthodes Directe ou Explicite Les calculs des courbes de remous peuvent se faire numériquement par une méthode directe ou explicite basée sur l’énergie spécifique Hs. Hi= Hi+1 +ΔH i, i+1 (2) Avec H = z + H s : charge totale dans une section donnée L’équation (2) devient : Z i + H si = z i+1 + H si+1 + J f Δ x i, i+1 (3) Soit xi+1 = xi + ( H si – H si+1) / (J n – J m) Avec: H s = y cosѳ + U2 /2g J n = -dz / dx J m = (J fi + J fi+1 ) /2 L’équation (3) donne la position X i+1 pour une profondeur y i+1 donnée. La solution est explicite b) Méthodes Standard ou Itérative Cette méthode est basée sur l’énergie totale H, on donne la profondeur yi +1 dans une section donnée xi +1 . Les calculs sont itératifs : Hi = Hi+1 + ΔH i,i+1 𝑸𝟐 𝑯𝒊 = 𝒛𝒊 + 𝒚𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐 𝒈 𝑺𝟐𝒊 Calculée en fonction de yi , l’équation résultante devient: 𝑸𝟐 𝟏 𝑯𝒊 = 𝒛𝒊+𝟏 + 𝒚𝒊+𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐 + 𝟐 ∆𝒙𝒊,𝒊+𝟏 (𝑱𝒊 + 𝟐 𝒈 𝑺𝒊+𝟏 𝑸𝟐 𝟒ൗ ) 𝟑 𝑴𝟐𝒊+𝟏 𝑺𝟐𝒊+𝟏 𝑹𝒊+𝟏 Ecoulement fluvial: courbes M1, M2, S1, C1, H2 et A2 L’équation est résolue pour y i+1 dans le terme dominant statique (z i+1 + y i+1 cosѳ) 𝟏 𝒚𝒊+𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑸𝟐 𝟏 𝑯𝒊 − 𝒛𝒊+𝟏 − 𝟐 − 𝟐 ∆𝒙𝒊,𝒊+𝟏 (𝑱𝒊 + 𝟐 𝒈 𝑺𝒊+𝟏 𝑸𝟐 𝟒ൗ 𝟑 𝟐 𝟐 𝑴𝒊+𝟏 𝑺𝒊+𝟏 𝑹𝒊+𝟏 Ecoulement torrentiel: courbes M3, S2, S3, C2, H1 et A1 L’équation doit être résolue pour le y i+1 du terme prédominant dynamique, soit de Q2 / (2gS2i+1) ,dans la plus part des cas NB: Dans tous les cas les calculs se feront de l’aval vers l’amont pour un écoulement fluvial et de l’amont vers l’aval pour un écoulement torrentiel et l’axe des x est compté positif dans la direction des calculs c) Méthodes d’Intégration Directe L’équation différentielle des courbes de remous peut être simplifiée, pour des cas très particuliers (canal rectangulaire très large avec formule de Chézy ou de Manning par exemple) pour la ramenée à des formes admettant une solution analytique. Parmi ces méthodes on peut citer, la Méthode de Bresse, de Bakhmatef ou de Ven Te Chow. Avec les progrès relativement récents des méthodes numériques et le développement impressionnant des outils informatiques, ces méthodes sont bien dépassées. On peut facilement démontrer que l’équation dynamique des écoulements permanents graduellement variés peut s’écrire sous la forme dy / dx = (I-Jf ) / (1- Fr2) = f (y) Avec f(h) une fonction du tirant d’eau h, dont la complexité dépend des fonctions Jf (y) et Fr (y); mais dont la résolution est relativement très simple par des méthodes numériques devenues classiques (explicite, implicite ou mixte). Chapitre IV : Ecoulements brusquement variés Introduction Les écoulements brusquement variés sont des écoulements permanents dans le temps et dont les caractéristiques varient très rapidement dans l’espace. Compte tenu des caractéristiques de ces écoulements on utilise pour les étudier: Deux sections suffisamment éloignées pour que la répartition des pressions puisse y être Considérée comme hydrostatique et que celle des vitesse soit uniforme. Entre deux sections on utilise : soit le théorème d’Euler lorsque la dissipation d’énergie est importante soit le théorème de Bernoulli lorsque la dissipation d’énergie est négligeable 1-Définition I- Le Ressaut hydraulique Le ressaut hydraulique, plus brièvement appelé ressaut se produit si un écoulement passe (brusquement ) du régime torrentiel (amont ou supercritique), Fr1 > 1, au régime fluvial (aval ou subcritique) Fr1< 1. Ce changement de régime conduit à une brusque surélévation du niveau de d’eau (y2 – y1), sur une très courte distance et provoque une dissipation importante de l’énergie mécanique (figure1); Figure1: Schéma d’un ressaut hydraulique les profondeurs y2 et y1, sont appelées profondeurs conjuguées; encadrent le ressaut qui a une hauteur h donnée par la différence des profondeurs conjuguées: ( y2– y1). Illustration 2- Typologie de ressaut Selon la valeur du nombre de Froude, on peut classer les ressauts en cinq types: Ondulé On a un ressaut ondulé pour des valeurs du nombre de Froude comprises entre 1 et 1,7 (1<Fr1< 1,7). 1 < Fr1 < 1,7 seules quelques légères rides sont observées à la surface libre Faible Le ressaut faible obtenu pour des valeurs du nombre de Froude comprises entre 1,7 et 2,5 Des petites tourbillons ou rouleaux prennent naissance. Oscillant Le ressaut oscillant apparait pour des valeurs du nombre de Froude comprises entre 2,5 et 4,5 Des turbulences fortes se produisent non seulement en surface, mais aussi au fond et cela de manière irrégulière. Ces turbulences peuvent se propager loin en aval. Etabli Le ressaut établi ou stationnaire est obtenu pour des valeurs du nombre de Froude entre 4,5 et 9 Il est bien localisé et efficace pour la dissipation d’énergie. Fort Le ressaut fort (qui ne se rencontre pas en rivière) si les valeurs du nombre de Froude sont supérieurs à 9 De véritables paquets d’eau sont projetés par intermittence. 3- Notion d'impulsion Soit la quantité notée M(y) et appelée impulsion. On pose : 𝑸𝟐 𝑴 𝒚 =𝝆 + 𝝆 𝒈 𝑺 𝒚𝑮 𝑺 Appliquons le théorème des quantités de mouvement entre les sections y1 et y2 du ressaut: 𝑸𝟐 𝑸𝟐 𝝆 + 𝝆 𝒈𝑺𝟏 𝒚𝑮𝟏 = 𝝆 + 𝝆 𝒈𝑺𝟐 𝒚𝑮𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑴(𝒚𝟏 ) = 𝑴(𝒚𝟐 ) Il y a conservation de l’impulsion au ressaut L’analyse de la fonction M(y) montre que: 𝑠𝑖 𝑦 → 0; 𝑆 𝑦 → 0 𝑒𝑡 𝑀 𝑦 → ∞ 𝑠𝑖 𝑦 → ∞ ; 𝑆 𝑦 → ∞ 𝑒𝑡 𝑀 𝑦 → ∞ La fonction M(y) étant positive et continue sur 0; ∞ , donc elle admet nécessairement un minimum 𝒅𝑴 𝒚 𝑸𝟐 𝒅𝑺 𝒅(𝑺𝒚𝑮 ) =−𝝆 𝟐 + 𝝆𝒈 𝒅𝒚 𝑺 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝑴 𝒚 =𝟎 𝒅𝒚 𝑸𝟐 =−𝝆 𝟐 𝑩+ 𝝆𝒈𝑺 𝑺 𝑸𝟐 𝑩 = 𝝆𝒈𝑺 𝟏 − 𝒈 𝑺𝟑 ⟹ 𝑭𝒓 = 𝟏 ( régime critique) ■ Au régime critique, l’impulsion est minimale. Un débit donné Q peut s’écouler sous deux profondeurs y1(torrentiel) et y2 (fluvial) qui sont des profondeurs conjuguées au sens du ressaut Ce principe est utilisé pour la résolution graphique du calcul d’une profondeur conjuguée par le ressaut 4- Calcul des profondeurs conjuguées Considérons deux sections S1 et S2 d’un canal prismatique, situées de part et d’autre du ressaut suffisamment éloignées pour qu’on puisse considérer la pression comme hydrostatique. L’écoulement est supposé permanent et le ressaut occupe une position stationnaire. L’équation de la quantité de mouvement énonce que la quantité de mouvement sortant à travers la surface d’un volume fluide est la somme des forces qui lui sont appliquées. La projection de cette équation suivant l’horizontal conduit à: (1) Où Fp1 et Fp2 sont les forces de pression agissant sur les sections de sortie et d’entrée, W sinα la force de pesanteur et Ff la force de frottement sur les parois. En considérant que les deux sections (1) et (2) sont assez rapprochées, les forces de gravité et de frottement peuvent être négligées. Si de plus, la section du canal est rectangulaire, nous avons: 𝑆1 = 𝑦1 𝐵 𝑆2 = 𝑦2 𝐵 𝑄 𝑞= 𝐵 𝑦1 𝐹𝑝1 = 𝜌𝑔 𝑆1 2 L’équation de la quantité de mouvement devient: 𝑦2 𝐹𝑝2 = 𝜌𝑔 𝑆2 2 𝒚𝟐𝟏 𝒒𝟐 𝒚𝟐𝟐 𝒒𝟐 + = + 𝟐 𝒈𝒚𝟏 𝟐 𝒈𝒚𝟐 (2) Avec q: le débit par unité de largeur du ressaut et qui s’écrit par continuité : q = U1y1 = U2 y2 Cette équation traduit la conservation de l’impulsion spécifique du ressaut, c’est-à-dire MS1 = MS2 A chaque vertical de la courbe TS = f(h), pour un débit Q donné correspondent deux profondeurs conjuguées y1 et y2 (figure ci-dessous). En utilisant l’équation de continuité et après division par (y2 – y1) l’équation (2) s’écrit : 𝟐 𝑼 𝟐 𝒚𝟐𝟏 + 𝒚𝟐 𝒚𝟏 − 𝟐 𝒚𝟐 =𝟎 (3) 𝒈 Cette équation possède deux racines , une seule est positive et convient Cette racine s’écrit sous forme adimensionnelle: 𝒚𝟐 𝟏 = 𝒚𝟏 𝟐 ou 𝒚𝟏 𝟏 = 𝒚𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟖 𝑭𝟐𝒓𝟏 − 𝟏 (4) 𝟏 + 𝟖 𝑭𝟐𝒓𝟐 − 𝟏 Avec Fr1 et Fr2 désignent les nombres de Froude au niveau des sections (1) et (2): 𝟐 𝑼 𝟐 𝑭𝟐𝒓𝟐 = 𝒈𝒚𝟐 Et 𝑼𝟐𝟏 𝟐 𝑭𝒓𝟏 = 𝒈𝒚 𝟏 La relation (4) est connue sous le nom de l’équation de Bélanger. Elle est symétrique par rapport aux profondeurs y1 ou y2 et permet pour un débit q donné, de calculer l’une des profondeurs d’eau y1 ou y2, si l’on connait l’autre, y2 ou y1. L’équation de Bélanger est également vérifiée pour y1 = y2 = yc, si bien que le ressaut s’établit pour y1 plus petit que yc ( écoulement torrentiel) et y2 supérieur à cette valeur (écoulement fluvial) 5- Perte d’énergie (dissipation d’énergie) à travers un ressaut Dans un canal rectangulaire, la perte d’énergie, hRH, à travers la courte distance du ressaut n’est autre que la perte d’énergie spécifique. Nous avons donc (figure 1) : 𝑼𝟐𝟏 𝒉𝑹𝑯 = 𝑯𝒔𝟏 − 𝑯𝒔𝟐 = 𝒚𝟏 − 𝟐𝒈 En tenant compte de l’équation (4) nous obtenons: − 𝑼𝟐𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒈 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟑 𝒉𝑹𝑯 = 𝟒 𝒚𝟏 𝒚𝟐 (5) (6) Un ressaut hydraulique est souvent utilisé dans les constructions hydrauliques comme dissipateur d’énergie. L’énergie cinétique existant en amont du ressaut est considérablement réduite sur une faible distance. 6- Rendement du Ressaut Le rendement du ressaut est défini par le rapport de l’énergie potentielle reçue et l’énergie cinétique perdue, 𝟒 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = donc: 𝜼 = 𝟐 (7) 𝟐Τ 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 𝟐 𝑼𝟏 ൗ𝟐 𝒈 − 𝑼𝟐 𝟐 𝒈 Pour une forte différence de niveau, η est faible ; pour une faible différence η s’approche de l’unité 7- Longueur du Ressaut Dans un canal rectangulaire, la longueur du ressaut LRH est donnée empiriquement par: 𝑳𝑹𝑯 𝟓 < <𝟕 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 Suivant Henderson (1966), la longueur peut être prise égale à: 𝑳𝑹𝑯 = 𝟔, 𝟏𝒚𝟐 (8) (9) Conclusion Générale Le dimensionnement d’une adduction en charge ou à surface libre et de ces ouvrages annexes dépend essentiellement du régime de l’écoulement considéré. L’équation fondamentale dans un écoulement monodimensionnel uniforme et permanent ( en charge ou à surface libre) établit une relation entre les grandeurs géométriques, la rugosité du lit et le débit. Cette relation traduit l’équilibre entre les forces de gravité (ou de pression pour les écoulements en charge) et les forces de frottements. Le coefficient de rugosité caractérise le nature du matériau et la granulométrie du lit et dépend du nombre de Reynolds suivant lequel l’écoulement peut être laminaire ou turbulent. Les écoulements à surfaces libre font intervenir, en plus du nombre de Reynolds, le nombre de Froude traduisant l’importance des forces d’inertie par rapport aux forces de gravité. L’écoulement peut être uniforme, graduellement varié ou brusquement variés, suivant l’importance des variations des grandeurs caractéristiques de l’écoulement. L’écoulement graduellement varié dans un canal à faible pente peut être considéré comme une succession de régime uniforme. Pour un régime brusquement variés qui s’établit principalement au voisinage des singularités naturelles (rétrécissement ou élargissement) ou artificielles (barrages, déversoirs, vannes, pont), le bilan de quantité de mouvement permet de calculer les profondeurs conjuguées mais ne donne aucune précision sur la position du ressaut. Une méthode graphique est exposée pour déterminer sa position. Dans les conduites en charge, la variation brusque du débit conduit à des phénomènes transitoires de coup de Bélier et d’oscillations en masse. Le phénomène transitoire est caractérisé par la propagation d’une onde de gravité dans les écoulements à surface libre.
