ComplexesEXOSCORRIGES

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NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
On donne
3 3
z i
= + et
1 2
z i
′
= − +
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants :
1
z z z
′
= −
;
2
z z z
= ⋅
;
2
3
z z
=
;
3
4
z z
′
= ;
5
z
z
z
=
′
Exercice n°2.
1) Calculer
2 3
,
i i
et
4
i
2) En déduire la valeur de
2006
i et de
2009
i , puis les entiers naturels n tels que
n
i
est imaginaire pur
3) Déterminer les entiers naturels n tels que
( )
1
n
i
+ soit un réel négatif.
Exercice n°3.
Résoudre dans
ℂ
:
1) Les équations
(
)
5 2 1 3
z i i z
+ = + −
et
4
1
z i
i
z
−
=
+
2) Le système d’inconnues complexes
1
z
et
2
z
:
1 2
1 2
3 1 7
2 11
z z i
iz z i
+ = −
+ =
3) Les équations
2 3
z iz
+ =
et
2
0
z z z
+ ⋅ =
4) Les équations
2
2 6 5 0
z z
− + − =
et
(
)
(
)
2 2
2 4 4 0
z z z
+ − + =
Exercice n°4.
Pour tout complexe
z x iy
= +
, avec x et y réels,
1
z
≠ −
, on considère le complexe
z
′
défini par :
1
z i
z
z
−
′=
+
1) On note
z x iy
′ ′ ′
= +
, avec x’ et y’ réels. Exprimer
x
′
et
y
′
en fonction de x et y
2) Déterminer l’ensemble M des points d’affixe z tels que
z
′
soit réel.
Exercice n°5.
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal
(
)
; ;
O u v
, on considère les points A,B,C et D d’affixes respectives :
1 5
A
z i
= − −
,
4 3
B
z i
= −
,
3 3
C
z i
= +
et
2
D
z i
= − +
1) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
2) Déterminer l’affixe du point C’, symétrique du point C par rapport à D
3) Déterminer l’affixe du point A’ vérifiant
DA DB DC
′= +
4) Quelle est la nature du quadrilatère A’BC’D ?
Exercice n°6.
On considère le plynôme
(
)
P z
suivant :
(
)
(
)
(
)
3 2
9 2 6 11 3 4 12
P z z iz i z i= + + − − +
1) Démontrer que l’équation
(
)
0
P z
=
admet une solution réelle
1
z
2) Déterminer un polynôme
(
)
Q z
tel que
(
)
(
)
(
)
1
P z z z Q z
= −
3) Démontrer que l’équation
(
)
0
Q z
=
admet une solution imaginaire pure
2
z
4) Résoudre dans
ℂ
l’équation
(
)
0
P z
=
5) On note
3
z
la 3
ième
solution de l’équation
(
)
0
P z
=
. Démontrer que les points du plan complexe A,B et C d’affixes
respectives
1
z
,
2
z
et
3
z
, sont alignés
Exercice n°7.
Déterminer le module, un argument et une forme exponentielle de chacun des nombres donnés :
1
6 2
z i
= − ,
2
1 1
2 2
z i
= − −
et
3
1 3
2 2
z i
= − + . En déduire module et argument de
1 2
z z
⋅
,
1 3
z z
⋅
et
( )
2
2
z

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Exercice n°8.
Ecrire
1 3
i
+ et
1
i
−
sous la forme trigonométrique et simplifier :
20
1 3
1i
zi
+
=
−
Exercice n°9.
Affirmation VRAI FAUX
Pour tout
z
∈
ℂ
, imaginaire pur
z z z
⇔ = −
Pour tout
z
∈
ℂ
,
z z
= −
Pour
z
∈
ℂ
et
z
′
∈
ℂ
,
z z z z
′ ′
= ⇔ =
Si
(
)
Re 2
z
< −
, alors
2
z
>
Pour tout
z
∈
ℂ
,
2
1 1
iz z
+ = +
Exercice n°10.
Déterminer et représenter dans chaque cas, l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie la relation donnée :
1)
3 3
z z i
− = −
2)
2 3 2 3
i z i
− + = +
3)
4 1
z i
− + =
4)
(
)
( ) ( )
arg arg 2
z z
π
= −
Exercice n°11.
1) Résoudre dans
ℂ
l’équation
2
2 4 0
z z
− + =
. On désigne par
1
z
la solution de partie imaginaire positive et par
2
z
l’autre solution
2) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions
1
z
et
2
z
3) Déterminer le module et un argument de
( )
2
1
z
et
( )
2
2
z
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct
(
)
; ;
O u v
, on considère les points A,B,A’ et B’ d’affixes respectives :
1 3
i
+ ,
1 3
i
− ,
2 2 3
i
− + et
2 2 3
i
− −
4) Déterminer la nature du quadrilatère AA’B’B
5) Démontrer que le triangle AA’B’ est rectangle.
6) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant
1 3 2 3
z i− + = .
Exercice n°12.
Pour tout nombre complexe z, on définit :
( )
(
)
(
)
3 2
2 2 1 4 1 2 8
P z z z z
= + − + − −
1) Calculer P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par (z-2)
2) Résoudre dans
ℂ
l’équation
(
)
0
P z
=
On appelle
1
z
et
2
z
les solutions de l’équation autres que 2,
1
z
ayant une partie imaginaire positive.
Vérifier que
1 2
2 2
z z+ = − . Déterminer le module et un argument de
1
z
et de
2
z
.
3) a) Placer dans le plan, muni d’un repère orthonormal direct
(
)
; ;
O u v
(unité graphique : 2 cm), les points :
A d’affixe 2, B et C d’affixes respectives
1
z
et
2
z
, et I milieu de [AB]
b) Démontrer que le triangle OAB est isocèle.
En déduire une mesure de l’angle
(
)
;
u OI
c) Calculer l’affixe
I
z
de I, puis le module de
I
z
d) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de
3
cos
8
π
et
3
sin
8
π

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Exercice n°13.
On considère le polynôme P défini par
(
)
4 3 2
6 24 18 63
P z z z z z
= − + − +
1) Calculer
(
)
3
P i et
(
)
3
P i−. Déterminer le polynôme Q du second degré à coefficients réels tel que pour tout
z
∈
ℂ
,
on a
(
)
(
)
(
)
2
3
P z z Q z
= +
2) Résoudre dans
ℂ
l’équation
(
)
0
P z
=
3) Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal
(
)
; ;
O u v
(unité graphique : 2 cm) les points A,B,C et D
d’affixes respectives :
3
A
z i
= ;
3
B
z i
= − ;
3 2 3
C
z i
= + et
D C
z z
=
4) On note E le symétrique de D par rapport à O. Placer le point E sur le dessin. Montrer que
3
i
B
C
E B
z z
e
z z
π
−
−
=
−
et
déterminer la nature du triangle BEC
Exercice n°14.
z étant un complexe, on note
( )
S
le système 2
6
arg( ) 2 ,
2
z z
z k k
ππ
= −
= + ∈
Z
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
(
)
vuO ,, .
1) Donner le module et un argument des trois complexes suivants :
3
a i
= +
2 2
b i
= − +
3 3
c i
= +
2) Parmi les complexes a , b et c, lesquels sont solutions du système
( )
S
? ( justifier la réponse ).
3) M étant le point d’affixe z, et A étant le point d’affixe 6, traduire géométriquement les deux contraintes de
( )
S
.
4) Résoudre le système
( )
S
par la méthode de votre choix.
Exercice n°15.
Soit le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct
(
)
1 2
; ;
O e e
On définit dans P une suite de points
(
)
nn
M
∈
ℕ
d'affixes
n
z
définies par :
0
8
z
=
et pour tout entier naturel n ,
1
1 3
4
n n
i
z z
+
+
=
1) Calculer
n
z
en fonction de n .
2) Pour tout entier naturel n , calculer le rapport
1
1
n n
n
z z
z
+
+
−
En déduire la nature du triangle
1
n n
OM M
+
et montrer que :
1 1
n n n
M M kOM
+ +
= , où k est un réel strictement positif à
déterminer .
3) Si
n
r
est le module de
n
z
, donner la limite de
n
r
si n tend vers plus l'infini. Quelle interprétation géométrique peut-on
donner ?
Exercice n°16.
On considère l’application f du plan qui à tout point M, d’affixe z distincte de 2 i , associe le point d’affixe :
2
z i
z
z i
+
′=
−
1) Pour
2
z i
≠
, on pose 2
i
z i re
θ
= + , avec r >0 et
θ
∈
ℝ
. Ecrire
1
z
′
−
à l’aide de r et
θ
2) A est le point d’affixe 2 i
a) Déterminer l’ensemble E
1
des points M pour lesquels
1 3
z′
− =
b) Déterminer l’ensemble E
2
des points M pour lesquels
( ) ( )
arg 1 2
4
z
π
π
′− =
c) Représenter les ensembles E
1
et E
2

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Exercice n°17.
1) Déterminer la forme complexe de la rotation r de centre
(
)
1
Ω −
et d’angle
3
π
Préciser l’image par r du point A d’affixe
3
i
e
π
−
2) Soit t la transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M
1
d’affixe
1
3
z z i
= −
a) Caractériser la transformation t
b) Donner la forme complexe de
t r
Reconnaître cette nouvelle transformation en déterminant ses éléments caractéristiques
Exercice n°18.
On définit la transformation f du plan par sa forme complexe :
(
)
3 4 2 3 4
z i z i
′+ − = + −
1) Quelle est la nature de l’application f ?
2) Déterminer l’image C’ par f du cercle C de centre A(-2+i) et de rayon 1

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NOMBRES COMPLEXES - CORRECTION
Exercice n°1
( )
(
)
1
3 3 1 2 3 3 1 2 4 3 2
z z z i i i i i
′
= − = + − − − = + + + = + +
(
)
2
2
22
2
3 3 3 3 12
z z z z i= ⋅ = = + = + =
(
)
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
2 2
3
3 3 3 2 3 3 3 9 6 3 3 9 6 3 3 6 6 3
z z i i i i i i i
= = + = + × × + = + + = + − = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 2 1 2 3
3
4
3 2
1
1 2 1 3 1 2 3 1 2 2
1 6 3 4 8 1 6 12 8 1 6 12 8 11 2
z z i i i i
i i i i i i i i
=−
′
= = − + = − + × − × + × − × +
= − + − × − + = − + + + × = − + + − = −
(
)
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
2
52 2
3 3 1 2
3 3 3 3 2 3 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 3 6 3
3 6 3 2 3 2 3 3 6 3
1 4 5 5 5
i i
z i i i i
zz i i i i
i
i i i
+ − −
+ − − × − −
= = = =
′− + − + − − − −
− − +
− − − + − +
= = = −
− −
Exercice n°2
1) On calcule successivement
2
1
i
= −
,
3 2
1
i i i i i
= × = − × = −
et
(
)
( )
22
4 2
1 1
i i
= = − =
2) La division euclidienne de 2006 par 4 fournit
2006 4 501 2
= × +
Ainsi,
(
)
( ) ( ) ( )
501 501
2006 4 501 2 4 501 2 4
1 1 1 1
i i i i i
× + ×
= = × = × − = × − = −
La division euclidienne de 2009 par 4 fournit
2009 4 502 1
= × +
Ainsi,
(
)
( )
502 502
2009 4 502 1 4 502 1 4
1
i i i i i i i i
× + ×
= = × = × = × =
Notons q et r le quotient et le reste de la division de n par 4. On a donc 4
n q r
= +
avec
0 3
r
≤ ≤
Si r=0, c’est-à-dire si n=4q,
(
)
( )
4 4
1 1
qq
n q
i i i
×
= = = =
Si r=1, c’est-à-dire si n=4q+1,
(
)
( )
4 1 4 1 4 1
qq
n q q
i i i i i i i i
× + ×
= = × = × = × =
Si r=2, c’est-à-dire si n=4q+2,
(
)
( ) ( )
4 2 4 2 4 2
1 1 1
qq
n q q
i i i i i i
× + ×
= = × = × = × − = −
Si r=3, c’est-à-dire si n=4q+3,
(
)
( ) ( )
4 3 4 3 4 3 1
qq
n q q
i i i i i i i i
× + ×
= = × = × = × − = −
Les entiers naturels n tels que
n
i
est imaginaire pursont donc de la forme n=4q+1 ou n=4q+3
3) Déterminons la forme trigonométrique de
1
i
+
: Le module de 1+i est
2 2
1 1 1 2
i+ = + = .
Un argument
θ
de 1+i vérifie
1 2
cos
2
2
θ = = et
1 2
sin
2
2
θ = = .
( )
2
4
π
θ π
= convient
Ainsi,
4
1 2
i
i e
π
+ = , et pour tout entier naturel,
( )
( )
4 4
1 2 2
n
i in
n
n
i e e
π π
+ = =
( )
1
n
i
+ sera un réel négatif si et seulement ( ) 2 1 2 , 4 ,
4
k n k k n k
π
π π + = + ∈ ⇔ = ∈
ℤ ℤ
Les entiers naturels n tels que
( )
1
n
i
+ soit un réel négatif sont donc de la forme
( )
2 1 4 , k n k +
= ∈
ℤ