Fonction de transfert : cours d'automatique

FONCTION DE TRANSFERT
Cette partie va permettre à l’étudiant de déterminer la fonction de transfert d’un système à partir
de l’équation différentielle qui le régit ou de son schéma fonctionnel.
A la fin du chapitre, l’apprenant sera capable de mettre une fonction de transfert sous diverses
formes, d’identifier les différentes entrées typiques et de déterminer la réponse d’un système à une
entrée typique. Aussi pourra-t-il appliquer l’algèbre des schémas fonctionnels en vue de la réduction de
schémas fonctionnels complexes à leur forme canonique.
1) Définitions
 Fonction de transfert
Soit un système linéaire avec une entrée x(t) et une sortie y(t) régit par l’équation différentielle suivante :
bn 
 + bn-1   + … + b1   + b0y(t) = am   + am-1   + … + am 
+ a1 
 + a0 x(t)
Toutes les conditions initiales étant nulles, appliquons la transformée de Laplace à l’équation
différentielle ci-dessus :
bnPnY(P) + bn-1Pn-1Y(P) + …+ b1PY(P) + b0Y(P) = amPmX(P) + am-1Pm-1X(P) + …+ a1PX(P) + a0X(P)
La fonction F(P) = 
 est appelée fonction de transfert ou
transmittance du système. Elle représente le comportement du système et s’exprime tout simplement
comme le rapport de deux polynômes en p (fraction rationnelle), construits à partir de l’équation
différentielle régissant son évolution.
Dans le domaine symbolique, la relation entre l’entrée et la sortie s’écrit : S(p) = F(p).E(p)
 Le polynôme         est le polynôme caractéristique du système.
 L’équation          est appelée équation caractéristique du
système.
Exemple : Déterminer la transmittance 
 du système régit par l’équation différentielle
suivante :
    .
Laplace  P2S(P) + 6PS(P) + 3S(P) = 12E(P)
 F(P) = 
E(P)
S(P)
F(P)

 Forme canonique de la fonction de transfert
Toute fonction de transfert peut être exprimée sous sa forme canonique. Ainsi on peut la
comparer à d’autres fonctions, on peut identifier des paramètres,…
F(P) = 
n = n’ + α : ordre du système
α : classe du système
K =   : gain statique du système.
 Zéros et pôles
En faisant apparaître les racines du dénominateur et du numérateur de la fonction de transfert,
on a :
F(P) = 
 Les zi sont appelés les zéros de la fonction de transfert
 Les Pi sont appelés les pôles de la fonction de transfert
 Un système qui possède un pôle nul est dit intégrateur
 Un système qui possède un zéro nul est dit dérivateur
L’étude des pôles et des zéros sera utile pour avoir une idée des performances du système.
2) Entrées typiques
 Echelon de position : e(t) = E0  (échelon d’amplitude E0)
 Rampe ou échelon de vitesse: e(t) = t  (rampe de coefficient directeur α)
t
E0
E(P) = 
α
t
E(P) = 
1

 Impulsion : e(t) = (t) (impulsion d’amplitude A)
 Echelon accélération : e(t) = 
 Fonction harmonique : e(t) = a  
3) Réponses aux entrées typiques et fonction de transfert
 Réponse à un échelon unitaire ou réponse indicielle
   S(P) = 
 Réponse à une impulsion unitaire ou réponse impulsionnelle
   S(P) = F(P)
E(P) = A
t
t
α
E(P) = 
E(P) = 
t

4) algèbre des schémas fonctionnels et fonction de transfert
 Fonction de transfert d’un système en boucle ouverte
 Fonction de transfert d’un système bouclé
 A retour unitaire
Le diagramme fonctionnel sous cette représentation est appelée forme canonique du système.
 Système à retour non unitaire
Forme canonique du système
*KG(P) : Fonction de transfert de la chaîne direct
*H(P) : Fonction de transfert de la chaîne de retour
*KG(P)H(P) : Fonction de transfert de la boucle ouverte
*
 : Fonction de transfert de la boucle fermée
*
 : rapport d’erreur
*
 : rapport de retour primaire
KG(P)
S(P)
E(P)
ε(P)
–
+
S(P)
KG(P)
E(P)
ε(P)
–
+
H(P)
R(P)
KG(P)
S(P)
E(P)
F(P) = 
 = KG(P) F(P) =   = KG(P)
F(P) = 
 = 
F(P) = 
 = 

5) Réduction des schémas fonctionnels
 Schémas fonctionnels – Théorèmes de transformation
Schéma de départ
Schéma équivalent
+
+
+
+
+
+
+
+
Jonction en avant du bloc
Déplacement de la jonction en
arrière du bloc