Petit rappel sur les inclusions de Sobolev

Petit rappel sur les inclusions de Sobolev
François Dayrens
5 octobre 2016
Le but de ces quelques pages est de donner un aperçu des injections (continues et compactes) des
espaces de Sobolev. La référence principale est le livre de Brezis [3], mais on peut citer également celui
de Adams et Fournier [1], plus complet et plus général. Enfin, on renvoie au livre d’Evans [4] concernant
les applications aux équations aux dérivées partielles.
1 Définitions
Soit Ωun ouvert de Rd.
Définition 1.1 (Espaces de Sobolev).Pour k∈Net p∈[1,+∞], on note Wk,p(Ω) l’espace des fonctions
u∈Lp(Ω) telles que les dérivées ∂αuau sens des distributions (avec αun multi-indice vérifiant |α|6k)
soient des fonctions de Lp(Ω).
On munit Wk,p(Ω) de la norme
||u||Wk,p =
X
α
|α|6k
ZΩ
|∂αu|pdx
1
p
si p < +∞,
sup
α
|α|6k
||∂αu||∞si p= +∞.
L’espace Wk,p muni de cette norme est un Banach et W0,p =Lp. Le cas p= 2 est particulier car Wk,2
(souvent noté Hk) est un espace de Hilbert. On s’intéresse aux injections continues et compactes des
Wk,p dans eux-mêmes, dans les espaces de Lebesgue Lpet dans les espaces de Hölder Cr,θ.
Définition 1.2 (Espaces de Hölder).Pour θ∈]0,1[, on dit qu’une fonction u: Ω →Rest θ-hölderrienne
si la quantité
|u|θ= sup
x,y∈Ω
x6=y
|u(x)−u(y)|
|x−y|θ
est finie. Pour r∈N, on note Cr,θ(Ω) l’espace des fonctions de classe Crsur Ωtelles que les dérivées
∂αusoient θ-hölderriennes pour |α|=r.
On munit Cr,θ(Ω) de la norme
||u||Cr,θ =||u||∞+ sup
α
|α|=r
|∂αu|θ.
qui en fait un espace de Banach.
On rappelle la définition des injections continues et compactes.
Définition 1.3. Soient (E, ||.||E)et (F, ||.||F)deux espaces de Banach.
— On dit que Fs’injecte continûment dans Esi F⊂Eet si l’inclusion est continue, c’est-à-dire
s’il existe C > 0tel que, pour tout x∈F:
||x||E6C||x||F.
On note F →E.
1

— On dit que l’injection F →Eest compacte si, de plus, de toute suite bornée pour ||.||F, on peut
en extraire une suite convergent dans (E, ||.||E).
On peut remarquer que la composition d’injection continue est continue, elle devient même compacte dès
lors qu’une des composantes est compactes. Ainsi, à partir des injections suivantes, on peut en déduire
de nombreuses autres. On rappelle aussi une propriété d’interpolation des espaces Lp.
Propriété 1.4 ([3, Remarque 2 du théorème IV.6 (p 57)]).Soit p, q ∈[1,+∞]avec p<q. Si u∈
Lp(Ω) ∩Lq(Ω) alors pour tout r∈]p, q[,u∈Lr(Ω) et on a
||u||Lr6||u||a
Lp||u||1−a
Lq,
où a∈]0,1[ est donné par 1
r=a1 p+ (1 −a)1 q.
2 Les injections continues
Dans toute cette section, Ωest soit égal à Rd, soit un demi-espace ouvert de Rd, soit régulier à bord
borné et de classe C1. Les deux théorèmes suivants sont les résultats fondamentaux des injections de
Sobolev. Ils sont tous les deux tirés de [3, Corollaires IX.13, IX.14 et IX.15 (pp 168-169)].
Théorème 2.1 (Injections dans les espaces de Lebesgue).Soient k∈N∗et p, q ∈[1,+∞[. On a
— si 1
p−k d>0, alors Wk,p(Ω) →Lq(Ω), avec 1 p>1 q>1 p−k d.
— si 1
p−k d<0, alors Wk,p(Ω) →L∞(Ω).
La partie délicate de la démonstration de ce théorème est en fait le cas k= 1, on récupère les autre k
grâce à la propriété d’interpolation ci-dessus. Grâce à ce théorème, on en déduit le corollaire suivant.
Corollaire 2.2 (Auto-injections).Soient k,  ∈N∗avec k >  et p∈[1,+∞[.
On a Wk,p(Ω) →W`,q (Ω) dès lors que q∈[1,+∞]vérifie 1
p>1 q>1 p−k−` d.
Démonstration. Soit u∈Wk,p, on a ainsi ∂αu∈Wk−`,p pour tout multi-indice αtel que |α|6. Si
1
p−k−` d>0, alors par le théorème précédent, ∂αu∈Lqpour 1 p>1 q>1 p−k−` d. Si 1 p−k−` d= 0, alors
∂αu∈Lqpour 1
p>1 q. Sinon 1 p−k−` d<0, alors ∂αu∈L∞donc ∂αu∈Lqpour 1 p>1 qgrâce à la
propriété d’interpolation.
Dans tous les cas, il existe une constante C > 0(indépendante de u) telle que
||∂αu||Lq6C||∂αu||Wk−`,p .
Comme ||∂αu||Wk−`,p 6||u||Wk,p , on récupère
||∂αu||Lq6C||u||Wk,p .
Ainsi,
||u||W`,q 6CN 1
q||u||Wk,p ,
où Nest le nombre de multi-indices de longueur inférieure ou égale à . Donc l’injection est bien continue.
Enfin, on a le résultat d’injection dans les espaces de Hölder suivant. Il s’agit d’un raffinement du cas
1
p−k d<0.
Théorème 2.3 (Injections dans les espaces de Hölder).Soient k∈N∗et p∈[1,+∞[. Si k−d
p>0n’est
pas entier, alors on note rsa partie entière et θ∈]0,1[ sa partie fractionnaire. On a Wk,p(Ω) →Cr,θ (Ω).
Remarquons que les fonctions de Wk,p sont définies à un ensemble de mesure nulle près donc l’injection
précédente est à comprendre dans le sens de "pour tout u∈Wk,p(Ω), il existe un représentant de udans
Cr,θ vérifiant l’inégalité sur les normes". De plus, les fonctions de Cr,θ (Ω) se prolongent de manière Cr
àΩet l’injection Cr,θ(Ω) →Cr(Ω) est bien continue.
2

3 Injections compactes
Dans cette section, on suppose que Ωest un ouvert borné de classe C1. Dans ce cas, il est important
de noter que Lq(Ω) →Lp(Ω) pour tout p, q ∈[1,+∞]satisfaisant p<q.
On a le résultat suivant issu de [1, Theorem 6.3 (p 168)] (comme Ωest borné et C1, ce domaine
satisfait les hypothèses des trois premières "part" du théorème d’Adams et Fournier).
Théorème 3.1 (Injections compactes).Soient Ωun ouvert borné de classe C1,k,  ∈N∗avec k >  et
p, q ∈[1,+∞[.
— Si 1
p−k−` d>0alors l’injection Wk,p(Ω) →W`,q(Ω) est compacte pour 1 q>1 p−k−` d.
— Si k−d
p>0n’est pas entier, on note rsa partie entière et θ∈]0,1[ sa partie fractionnaire, on a
alors que Wk,p(Ω) →Cr,θ(Ω) est compacte.
Remarque 3.2. Les injections (continues et compactes) des théorèmes précédents restent vraies si on
remplace Ωpar une variété riemmannienne compacte (lisse et sans bord) de dimension d(voir [2] et [5]).
En particulier, en paramétrant par S1, on conserve toutes les injections pour les fonctions T-périodiques.
Références
[1] Robert ADAMS, John FOURNIER. Sobolev Spaces. Pure and applied mathematics, series, 2003.
[2] Thierry AUBIN. Some non-linear problems in Riemmannian geometry. Monographs in Mathema-
tics, Springer, 1998.
[3] Haïm BREZIS. Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Dunod, 2005.
[4] Lawrence EVANS. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Volume 19,
2010.
[5] Emmanuel HEBEY. Non-linear analysis on manifolds : Sobolev spaces and inequalities. Lecture
notes, American Mathematical Society, 2000.
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