Petit rappel sur les inclusions de Sobolev

Petit rappel sur les inclusions de Sobolev
François Dayrens
5 octobre 2016
Le but de ces quelques pages est de donner un aperçu des injections (continues et compactes) des
espaces de Sobolev. La référence principale est le livre de Brezis [3], mais on peut citer également celui
de Adams et Fournier [1], plus complet et plus général. Enfin, on renvoie au livre d’Evans [4] concernant
les applications aux équations aux dérivées partielles.
1
Définitions
Soit Ω un ouvert de Rd .
Définition 1.1 (Espaces de Sobolev). Pour k ∈ N et p ∈ [1, +∞], on note W k,p (Ω) l’espace des fonctions
u ∈ Lp (Ω) telles que les dérivées ∂ α u au sens des distributions (avec α un multi-indice vérifiant |α| 6 k)
soient des fonctions de Lp (Ω).
On munit W k,p (Ω) de la norme
 
 p1

Z


X



 
|∂ α u|p dx
si p < +∞,


Ω
α
||u||W k,p =
|α|6k





sup ||∂ α u||∞
si p = +∞.


α
|α|6k
L’espace W k,p muni de cette norme est un Banach et W 0,p = Lp . Le cas p = 2 est particulier car W k,2
(souvent noté H k ) est un espace de Hilbert. On s’intéresse aux injections continues et compactes des
W k,p dans eux-mêmes, dans les espaces de Lebesgue Lp et dans les espaces de Hölder C r,θ .
Définition 1.2 (Espaces de Hölder). Pour θ ∈]0, 1[, on dit qu’une fonction u : Ω → R est θ-hölderrienne
si la quantité
|u(x) − u(y)|
|u|θ = sup
|x − y|θ
x,y∈Ω
x6=y
r,θ
est finie. Pour r ∈ N, on note C (Ω) l’espace des fonctions de classe C r sur Ω telles que les dérivées
∂ α u soient θ-hölderriennes pour |α| = r.
On munit C r,θ (Ω) de la norme
||u||C r,θ = ||u||∞ + sup |∂ α u|θ .
α
|α|=r
qui en fait un espace de Banach.
On rappelle la définition des injections continues et compactes.
Définition 1.3. Soient (E, ||.||E ) et (F, ||.||F ) deux espaces de Banach.
— On dit que F s’injecte continûment dans E si F ⊂ E et si l’inclusion est continue, c’est-à-dire
s’il existe C > 0 tel que, pour tout x ∈ F :
||x||E 6 C||x||F .
On note F ,→ E.
1
— On dit que l’injection F ,→ E est compacte si, de plus, de toute suite bornée pour ||.||F , on peut
en extraire une suite convergent dans (E, ||.||E ).
On peut remarquer que la composition d’injection continue est continue, elle devient même compacte dès
lors qu’une des composantes est compactes. Ainsi, à partir des injections suivantes, on peut en déduire
de nombreuses autres. On rappelle aussi une propriété d’interpolation des espaces Lp .
Propriété 1.4 ([3, Remarque 2 du théorème IV.6 (p 57)]). Soit p, q ∈ [1, +∞] avec p < q. Si u ∈
Lp (Ω) ∩ Lq (Ω) alors pour tout r ∈]p, q[, u ∈ Lr (Ω) et on a
||u||Lr 6 ||u||aLp ||u||1−a
Lq ,
où a ∈]0, 1[ est donné par
2
1
r
= a p1 + (1 − a) 1q .
Les injections continues
Dans toute cette section, Ω est soit égal à Rd , soit un demi-espace ouvert de Rd , soit régulier à bord
borné et de classe C 1 . Les deux théorèmes suivants sont les résultats fondamentaux des injections de
Sobolev. Ils sont tous les deux tirés de [3, Corollaires IX.13, IX.14 et IX.15 (pp 168-169)].
Théorème 2.1 (Injections dans les espaces de Lebesgue). Soient k ∈ N∗ et p, q ∈ [1, +∞[. On a
— si p1 − kd > 0, alors W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω), avec p1 > 1q > p1 − kd .
— si p1 − kd < 0, alors W k,p (Ω) ,→ L∞ (Ω).
La partie délicate de la démonstration de ce théorème est en fait le cas k = 1, on récupère les autre k
grâce à la propriété d’interpolation ci-dessus. Grâce à ce théorème, on en déduit le corollaire suivant.
Corollaire 2.2 (Auto-injections). Soient k, ` ∈ N∗ avec k > ` et p ∈ [1, +∞[.
On a W k,p (Ω) ,→ W `,q (Ω) dès lors que q ∈ [1, +∞] vérifie p1 > 1q > p1 − k−`
d .
Démonstration. Soit u ∈ W k,p , on a ainsi ∂ α u ∈ W k−`,p pour tout multi-indice α tel que |α| 6 `. Si
1
k−`
1
1
1
k−`
1
k−`
α
q
p − d > 0, alors par le théorème précédent, ∂ u ∈ L pour p > q > p − d . Si p − d = 0, alors
1
1
1
k−`
1
α
q
α
∞
α
q
∂ u ∈ L pour p > q . Sinon p − d < 0, alors ∂ u ∈ L donc ∂ u ∈ L pour p > 1q grâce à la
propriété d’interpolation.
Dans tous les cas, il existe une constante C > 0 (indépendante de u) telle que
||∂ α u||Lq 6 C||∂ α u||W k−`,p .
Comme ||∂ α u||W k−`,p 6 ||u||W k,p , on récupère
||∂ α u||Lq 6 C||u||W k,p .
Ainsi,
1
||u||W `,q 6 CN q ||u||W k,p ,
où N est le nombre de multi-indices de longueur inférieure ou égale à `. Donc l’injection est bien continue.
Enfin, on a le résultat d’injection dans les espaces de Hölder suivant. Il s’agit d’un raffinement du cas
1
k
p − d < 0.
Théorème 2.3 (Injections dans les espaces de Hölder). Soient k ∈ N∗ et p ∈ [1, +∞[. Si k − dp > 0 n’est
pas entier, alors on note r sa partie entière et θ ∈]0, 1[ sa partie fractionnaire. On a W k,p (Ω) ,→ C r,θ (Ω).
Remarquons que les fonctions de W k,p sont définies à un ensemble de mesure nulle près donc l’injection
précédente est à comprendre dans le sens de "pour tout u ∈ W k,p (Ω), il existe un représentant de u dans
C r,θ vérifiant l’inégalité sur les normes". De plus, les fonctions de C r,θ (Ω) se prolongent de manière C r
à Ω et l’injection C r,θ (Ω) ,→ C r (Ω) est bien continue.
2
3
Injections compactes
Dans cette section, on suppose que Ω est un ouvert borné de classe C 1 . Dans ce cas, il est important
de noter que Lq (Ω) ,→ Lp (Ω) pour tout p, q ∈ [1, +∞] satisfaisant p < q.
On a le résultat suivant issu de [1, Theorem 6.3 (p 168)] (comme Ω est borné et C 1 , ce domaine
satisfait les hypothèses des trois premières "part" du théorème d’Adams et Fournier).
Théorème 3.1 (Injections compactes). Soient Ω un ouvert borné de classe C 1 , k, ` ∈ N∗ avec k > ` et
p, q ∈ [1, +∞[.
k,p
(Ω) ,→ W `,q (Ω) est compacte pour 1q > p1 − k−`
— Si p1 − k−`
d > 0 alors l’injection W
d .
d
— Si k − p > 0 n’est pas entier, on note r sa partie entière et θ ∈]0, 1[ sa partie fractionnaire, on a
alors que W k,p (Ω) ,→ C r,θ (Ω) est compacte.
Remarque 3.2. Les injections (continues et compactes) des théorèmes précédents restent vraies si on
remplace Ω par une variété riemmannienne compacte (lisse et sans bord) de dimension d (voir [2] et [5]).
En particulier, en paramétrant par S1 , on conserve toutes les injections pour les fonctions T -périodiques.
Références
[1] Robert ADAMS, John FOURNIER. Sobolev Spaces. Pure and applied mathematics, series, 2003.
[2] Thierry AUBIN. Some non-linear problems in Riemmannian geometry. Monographs in Mathematics, Springer, 1998.
[3] Haïm BREZIS. Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Dunod, 2005.
[4] Lawrence EVANS. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Volume 19,
2010.
[5] Emmanuel HEBEY. Non-linear analysis on manifolds : Sobolev spaces and inequalities. Lecture
notes, American Mathematical Society, 2000.
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