TS Mathématiques (1)

MATHÉMATIQUES
Série
S
Mr ANDRIAMANOA Henikiniaina
T: 032 61 242 91
H: 034 04 736 00
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Cours Astuce
“Le succès n’est pas définitif, l’échec n’est pas fatal.C’est le courage de continuer qui compte.” Winston Churchill
Livre : N002087-S
Édition : 2022

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Livre: N002087-S-2022 Édition: 2022 Prof: Mr ANDRIAMANOA Henikiniaina
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Table des matières
1Les Nombres Complexes 5
1.1 Introduction ............................................................ 5
1.2 Les différentes formes d’un nombre complexe non nuls ..................................... 7
1.3 Linéarisation ............................................................ 8
1.4 Utilisation des nombres complexes ................................................ 9
1.5 Nombres complexes et configurations géométriques ....................................... 10
1.6 Nombres complexes et lieu géométrique ............................................. 11
2Barycentre 13
2.1 Fonction vectorielle de LEIBNIZ ................................................. 13
2.1.1 Coordonnéebarycentrique................................................. 14
2.1.2 Ensemble de barycentre de deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Fonction scalaire de LEIBNIZ ................................................... 14
2.2.1 Lieuxgéometriques..................................................... 14
3Les Transformations du Plan 17
3.1 Généralité ............................................................. 17
3.2 Transformations usuelles ..................................................... 17
3.3 Isométrie plane .......................................................... 23
3.4 Similitudes planes ......................................................... 25
3.5 RÉCAPITULATION ........................................................ 27
4Géométrie dans l’espace 29
4.1 Vecteursdel’espace........................................................ 29
4.2 Droitesdel’espace......................................................... 29
4.3 Leplan............................................................... 29
4.4 Relationsentredroitesetplans.................................................. 30
4.5 L’orthogonalité........................................................... 31
4.6 Géométrievectorielle ....................................................... 31
4.7 Repéragedansl’espace ...................................................... 32
4.8 Représentation paramétrique d’une droite et un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.9 Produitscalaire .......................................................... 33
4.10ProduitVectorielle......................................................... 34
5Suites Numériques 37
5.1 Les quatre types des raisonnements. ............................................... 37
5.2 Suitenumérique.......................................................... 38
5.2.1 Sensdevariationd’unesuite ............................................... 38

5.2.2 Suiteminorée-majorée-bornée............................................... 38
5.3 Suites particuliers ......................................................... 39
5.3.1 Suites arithmétiques .................................................... 39
5.4 Suites géométriques ........................................................ 40
6Les Fonctions Numériques d’une Variables réelle 41
6.1 Limite d’une fonction ....................................................... 41
6.2 Continuité ............................................................. 42
6.3 Dérivabilité ............................................................. 43
6.4 Fonction dérivée .......................................................... 44
6.4.1 Opérations sur les fonctions dérivables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Répresentation graphique ..................................................... 45
7Primitives d’une fonction 49
8La Fonction logarithme népérien 51
9La Fonction exponentielle 53
10 Les fonctions sinus ; cosinus et tangentes 57
11 Calcul Intégral 59
12 Équation Différentielle 63
12.1 Équation différentielle 1ere ordre ................................................. 63
12.2 Équation différentielle 2nd ordre ................................................. 64
13 Arithmétique 67
13.1 Division euclidienne ........................................................ 67
13.2 Plus Petit Commun Multiple - Plus Grand Commun Diviseur .................................. 68
13.3 Nombres premiers ......................................................... 69
13.4 Numération ............................................................ 70
13.5 Congruence modulo n,n∈N∗.................................................. 71
13.6 Ensemble Z/nZ,n∈N∗..................................................... 71
14 La Probabilité 73
14.1 ANALYSE COMBINATOIRE ................................................... 73
14.2 PROBABILITÉS .......................................................... 74
14.3 Variable aléatoire ......................................................... 76
14.3.1 Loi de Bernoulli et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14.4Loisàdensité.Loinormale .................................................... 78
15 La Matrice 81
15.1Généralité ............................................................. 81
15.2Opérationsurlesmatrices..................................................... 81
15.3 Inverse d’une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
16 Exercice-corrigé 85
16.1Bibliographie............................................................ 98
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Livre: N002087-S-2022 Édition: 2022 Prof: Mr ANDRIAMANOA Henikiniaina
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Chapitre 1
Les Nombres Complexes
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Livre : S-2022 Édition : V2022 Prof : Mr ANDRIAMANOA Henikiniaina H: 034 04 736 00 zpagefacebook : Cours Astuce
1.1 Introduction
L’équation x+ 3 = 7 a une solution dans N. Par contre, pour
trouver une solution à l’équation x+ 7 = 3, il faut passer dans
le domaine Zdes entiers relatifs. Continuant sur notre chemin, on
invente facilement l’équation 3x+ 1 = 0, pour laquelle Zest in-
suffisant, il faut passer dans Q. Enfin, les grecs savaient déjà que
cet ensemble Qne suffisait pas, puisque l’équation x2= 2 n’y a
pas de solution. On est donc conduit à créer l’ensemble des réels R.
Lorsqu’une équation n’a pas de solution dans un ensemble donné, on
est donc naturellement conduit à créer un ensemble plus gros, qui
contient les ensembles déjà rencontrés, et prolonge les opérations
sur ces ensembles. Le plus gros ensemble que nous avons rencontré
jusqu’à présent est R. Est-ce fini ? Eh bien non, malheureusement,
puisque l’équation x2+ 1 = 0 n’a pas de solution dans R. On est
donc conduit à inventer un ensemble plus gros que R, le contenant,
et permettant de résoudre cette nouvelle équation. C’est ce que nous
allons faire dans la suite de ce cours.
Définition 1.1.
1. Un nombre complexe est un nombre de la forme a+ib, où a
et bsont des nombres réels et i2=−1.
2. L’ensemble Cest appelé l’ensemble des nombres complexes
et définie par :
C={a+ib;a∈R,b∈R,i2=−1} .
Notations et vocabulaire
•Lorsqu’un nombre complexe zest écrit sous la forme a+ib,
où a et b sont des nombres réels, on dit qu’il est écrit sous
forme algébrique ;
•le nombre réel a est appelé partie réelle de zet est noté
a=Re(z);
•le nombre réel b est appelé partie imaginaire de zet est noté
b=Im(z).
•si b= 0, alors z=a:zest un nombre réel.
•Si a= 0, alors z=ib ;zest un nombre imaginaire pur.
Exemple 1.1. Si z=1
2+i√3 2; alors : Re(z) = 1
2et Im(z) = √3 2
Propriété 1.1 (Égalité de deux nombres complexes).
Soient z=x+iy et z0=x0+iy0deux nombres complexes.
z=z0⇐⇒ 
x=x0
y=y0
Cas particulier z= 0 ⇐⇒ x+iy = 0 + i×0 =⇒x= 0, y = 0.
Définition 1.2 (Représentation géometrique- Vocabulaire ).Le plan
(P)est raporté au repère orthonormé direct (O, ~e1, ~e2).
1. A tout nombre complexe a+ib, on associe le point M(a;b)
appelé point-image.
2. A tout point M du plan de coordonné (a, b), on associe le
nombre complexe a+ib est appelé affixe du point M. on écrit
zM=a+ib.
3. A tout nombre complexe a+ib, on associe le vecteur −→ u(a, b)
appelé vecteur-image.
4. A tout vecteur −→ u(a, b), on associe le nombre complexe a+ib
appelé affixe du vecteur −→ u, on écrit z−→
u=a+ib.
5. Si zAet zBsont les affixes respectives de A et B alors l’affixes
du vecteur −→ AB est z−−→
AB =zB−zA.
6. Les droites (O, ~e1)et (O, ~e2)sont respectivement appelées :
l’axe réel et l’axe imaginaire.
Exemple 1.2. 1. Soit M un point du plan d’affixe z=a+ib.
2. Placer dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
direct (O, ~e1, ~e2)les points A, B et C d’affixes respectives
2,1 + 2iet −2i.