COURS D'ANALYSE Niveau 1

Cours d’analyse 1
Licence 1er semestre
Guy Laffaille
Christian Pauly
janvier 2006

2

Table des mati`eres
1 Les nombres r´eels et complexes 5
1.1 Nombresrationnels................................... 5
1.2 Nombresr´eels...................................... 7
1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Nombrescomplexes................................... 11
1.5 Exercices......................................... 13
2 Logique et langage des ensembles 15
2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Quantificateurs ..................................... 16
2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 R´ecurrence ................................... 17
2.3.2 Contrapos´ee................................... 17
2.3.3 D´emonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Langagedesensembles ................................. 18
2.5 Exercices......................................... 19
3 Suites r´eelles et complexes 21
3.1 Limited’unesuiter´eelle ................................ 21
3.2 Propri´et´esdelalimite ................................. 23
3.3 Suitesadjacentes .................................... 28
3.4 Comparaisondesuites ................................. 29
3.5 Suitescomplexes .................................... 33
3.6 Exercices......................................... 34
4 Fonctions d’une variable r´eelle 39
4.1 Limiteetcontinuit´e................................... 39
4.2 Propri´et´es de la limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Fonctionsd´erivables .................................. 44
4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Exercices......................................... 50
5 D´eveloppements limit´es 55
5.1 Comparaisondefonctions ............................... 55
5.2 FormulesdeTaylor ................................... 55
5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Exercices......................................... 61
3

4TABLE DES MATI ` ERES
6 Fonctions classiques 63
6.1 Fonctionsbijectives................................... 63
6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 D´eveloppementslimit´es................................. 65
6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Corrig´e des exercices 69
Remerciements.
Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten
pour les exercices de TD.
Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d’exercices.
Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l’irrationnalit´e du nombre d’Euler.

Chapitre 1
Les nombres r´eels et complexes
1.1 Nombres rationnels
On d´esigne par Nl’ensemble des entiers naturels
N={0,1,2,3, . . .}.
Comme chaque entier naturel nadmet un successeur n+ 1, on se convainc sans peine que Nest
un ensemble infini. On note N∗l’ensemble N\{0}, c’est-`a-dire l’ensemble des entiers naturels non
nuls.
´
Etant donn´e deux entiers naturels xet yon sait d´efinir les nombres
x+y, x −y, x ·yet x
y,si y6= 0.
On remarque que l’addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dans N.
Par contre le r´esultat d’une soustraction ou d’une division n’est pas toujours un entier naturel.
On cr´ee ainsi de nouveaux nombres
Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . .},
l’ensemble des entiers relatifs — on notera Z∗=Z\ {0}— et
Q=na
b|a∈Zet b∈Z∗o,
l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction a
bavec a·n b·npour tout a∈Z
et b, n ∈Z∗.
On a bien entendu les inclusions suivantes
N⊂Z⊂Q
et les quatre op´erations ´el´ementaires +,−,·et /peuvent s’´etendre `a l’ensemble Qdes nombres
rationnels.
Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s’exprimaient par des nombres
rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n’est pas toujours le cas. En effet on peut construire des
nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangle ABC rectangle en A
5