M135 Exercicescorrigés (1)

Université Moulay Ismaïl
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Filière : Tronc commun MIP
Module : M135
=======================================================
ANALYSE 3 :
Fonctions de plusieurs variables
et calcul des intégrales multiples
Exercices corrigés
=======================================================
Professeur : S. M. DOUIRI
Année universitaire : 2021/2022

S.M. DOUIRI
Université Moulay Ismaïl
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Filière : Tronc commun MIP
Module : M135
=======================================================
ANALYSE 3 :
Fonctions de plusieurs variables
et calcul des intégrales multiples
Exercices corrigés
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Professeur : S. M. DOUIRI
Année universitaire : 2021/2022
1

S.M. DOUIRI
Table des matières
1 Notions Topologiques dans Rn3
2 Fonctions de plusieurs variables réelles 25
3 Calculs des intégrales doubles et triples 56
2
2

S.M. DOUIRI
Chapitre 1
Notions Topologiques dans Rn
Exercice 1.1. Pour deux éléments x= (x1, . . . , xn)et y= (y1, . . . , yn)de Rn, on définit le
produit scalaire de xet ypar
(x|y) =
n
X
i=1
xiyi.
1. Montrer que (x|x)λ2+ 2λ(x|y)+(y|y)≥0pour tout λ∈R.
2. Déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz suivante :
(x|y)2≤(x|x) (y|y)∀x, y ∈Rn.
Solution.1. Pour tout λ∈R,on a
(x|x)λ2+ 2λ(x|y)+(y|y) = n
X
i=1
x2
i!λ2+ 2λ
n
X
i=1
xiyi+
n
X
i=1
y2
i
=
n
X
i=1 λ2x2
i+ 2λ xiyi+y2 i
=
n
X
i=1
(λ xi+yi)2≥0
2. Pour tous éléments xet yfixés dans Rn,le polynôme P(λ)=(x|x)λ2+ 2λ(x|y)+(y|y),
dont le degré est 2, est toujours positif pour tout λ∈R.Alors son discriminant ∆est
négatif, c’est-à-dire, ∆ = 4(x|y)2−4(x|x)(y|y)≤0.D’où le résultat de Cauchy-Schwarz.
Exercice 1.2. 1. Montrer que || ||1,|| ||2et || ||∞sont des normes sur Rn.
2. Plus généralement, pour p∈[1,+∞[et x= (x1, . . . , xn)∈Rnon pose
kxkp= n
X
i=1 |xi|p!1
p
.
Montrer que k kpdéfinit une norme sur Rn.
Indication : Utiliser l’inégalité de Minkowski suivante
(|x1+y1|p+··· +|xn+yn|p)1
p≤(|x1|p+··· +|xn|p)1 p+ (|y1|p+··· +|yn|p)1 p
pour tous réels x1, . . . , xn, y1, . . . , yn.
3
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S.M. DOUIRI
3. Montrer que pour tout p∈[1,+∞[les normes k kpet k k∞sont équivalentes.
4. Déduire que pour tout x∈Rnon a
lim
p→∞ kxkp=kxk∞.
Solution.1. FL’application k k1:x7→ kxk1=n
P
i=1 |xi|est bien définie sur Rnà valeurs
dans R+.Vérifie-t-elle les 3 propriétés d’une norme ?
i)La séparation : Pour tout x= (x1, . . . , xn)∈Rn,
kxk1= 0 ⇔n
P
i=1 |xi|= 0 ⇔ |xi|= 0,∀i∈ {1, . . . , n}
⇔xi= 0,∀i∈ {1, . . . , n} ⇔ x= 0Rn.
ii)L’homogénéité : Pour tous x= (x1, . . . , xn)∈Rnet λ∈Ron a
kλxk1=
n
X
i=1 |λxi|=
n
X
i=1 |λ||xi|=|λ|
n
X
i=1 |xi|=|λ|kxk1.
iii)L’inégalité triangulaire : Pour tous x= (x1, . . . , xn)∈Rnet y= (y1, . . . , yn)∈Rn,
on a
kx+yk1=n
P
i=1 |xi+yi|
≤n
P
i=1(|xi|+|yi|)
≤n
P
i=1 |xi|+Pn
i=1 |yi|
kx+yk1≤ kxk1+kyk1.
Donc, k k1est une norme sur Rn.
FL’application k k2définie sur Rnpar kxk2=n
P
i=1 x2
i1
2est positive. Vérifie-t-elle les 3
propriétés d’une norme ?
i)La séparation : Pour tout x= (x1, . . . , xn)∈Rn,
kxk2= 0 ⇔n
P
i=1 x2
i1
2= 0 ⇔n
P
i=1 x2
i= 0 ⇔x2 i= 0,∀i∈ {1, . . . , n}
⇔xi= 0,∀i∈ {1, . . . , n} ⇔ x= 0Rn.
ii)L’homogénéité : Pour tous x= (x1, . . . , xn)∈Rnet λ∈Ron a
kλxk2=n
P
i=1(λxi)21
2=n
P
i=1 λ2x2
i1
2=λ2n
P
i=1 x2
i1
2
=|λ|n
P
i=1 x2
i1
2=|λ|kxk2.
iii)L’inégalité triangulaire : En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz suivante "à vérifier" :
< x|y >2≤< x|x > < y|y > ∀x= (x1, . . . , xn)∈Rn,∀y= (y1, . . . , yn)∈Rn,
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