CM-ch1-étude du champ magnétique

Cours de Magnétostatique – Ch.1 Enseignant : Dr Salim Ahmed Ali 1
Fig 1 : circuit ouvert
Fig 2 : circuit fermé
UNIVERSITE DES COMORES A.U. 023/024
Faculté des Sciences et Techniques PC2 - Semestre S3
Département de Maths Physique UE : 9
Cours de Magnétostatique
Chap.1 : Etude du champ magnétique dans le vide
I. Introduction
Le magnétisme a été découvert il y a 2500 ans en Magnésia (Grèce). Des
chercheurs ayant observé que des pierres, appelées magnétites (photos ci-
contre), constituées d’oxyde de fer (Fe3O4), attiraient le fer, le nickel, le cobalt
ou leurs alliages, les appelèrent des aimants.
Cette propriété sera très vite utilisée pour la réalisation de boussole. En effet,
une aiguille aimantée s’oriente quand elle est placée au voisinage d’un aimant,
c’est-à-dire au voisinage d’un champ magnétique.
 Animation ! https://www.youtube.com/watch?v=n7EWhEYOa0o
 Expérience d’Œrsted (1820) : Les effets d’un aimant sur une boussole sont les mêmes
lorsqu’on remplace l’aimant par un fil conducteur parcouru par un courant.
 Conclusion : au voisinage des charges en mouvement, les propriétés de l’espace sont
modifiées : existence d’un champ magnétique.
La magnétostatique est la partie de l’électromagnétisme qui étudie les charges en mouvement
(régime stationnaire) et les effets qu’elles produisent sur leur environnement.
II. Equations de Maxwell de la magnétostatique dans le vide
 rappel électrostatique :
0
divE
Forme différentielle du théorème de Gauss
0rotE 
Les lignes de champ électrique ne sont jamais fermées
12
12 12
3
0 12
1
4qq
Fr
r
Loi de Coulomb
 postulat et analogie magnétostatique-électrostatique
0
rotB J
(1)

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Fig 6
Fig 7
J
: Vecteur densité de courant volumique ; source du champ
B
.
0
: Perméabilité du vide. Il décrit la capacité du vide à « laisser passer » le champ
magnétique :
2
00 1c
avec
7 -1
04 10 Hm
(H pour Henry).
c : vitesse de la lumière dans le vide
En effet, si
0rotB 
, les lignes de champ magnétique sont toujours fermées
0divB 
.0B dS 
(2)
Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est conservatif. On peut par exemple
vérifier aisément que :
Pour
3
r
B Kv r
33
. . 0
rr
divB Kv K v
rr
; car (
//vr
)
III. Champ magnétique créé par une charge en mouvement
La solution du système d’équation (1) et (2) s’écrit :
03
4r
B M qv r
avec
r OM
L’unité du champ magnétique dans le système international est le Tesla (T). Une autre unité du
système CGS (Centimètre, Gramme, Seconde) est souvent utilisée, le Gauss (G) ; avec
l’équivalence 1 Gauss = 10-4 Tesla.
 Analogie :
IV. Loi de Biot et Savart :
On veut déterminer le champ magnétique créé par un fil conducteur parcouru par courant
continu.
 Considérons une portion d’un conducteur filiforme de
longueur
d
 parcouru par un courant de densité de courant
j
 n : nombre de charge par unité de volume (/m3)
nSd
: nbre total de porteur de charge dans cette portion
Le champ magnétique créé au point M par une seule charge en mouvement s’écrit :
03
4r
b M qv r
Le champ magnétique total créé par cette portion au point M se déduit par :
0
10
EB
q qv

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Fig 8
Fig 9
03
4r
dB M nSd qv r
03
4r
dB M Sd nqv r
03
4r
dB M S jd r
 En effet,
i
jd jd jd e
I jdS I jS  
03
4r
dB M Id r
 Loi de Biot et Savart.
B dB
V. Applications
 Rappel : un effet à caractère vectoriel (
E
) est contenu dans un plan de symétrie et est
perpendiculaire à un plan d’antisymétrie, alors qu’un
effet à caractère pseudo vectoriel (
B
) est contenu dans
un plan d’antisymétrie et est perpendiculaire à un plan
de symétrie.
1) Champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un
courant I.
 Système de coordonnées cylindriques,
( , , )
Mz
 D’après le principe de Curie,
( , , ) ( )
B z B
 Le plan
,OM Oz
est un plan de symétrie passant par M.
RQ : les PS ou PA sont des plans qui doivent laisser le système physique invariant.
B Be
 Le sens est donné par la règle de la main droite, ou tire-bouchon ou … etc.
 Calcul :
00
32
44
r
rI
dB M Id d e
rr
02
02
sin
4
cos
4
Id
dB M e
r
Id
dB M r
2
2
cos
    r tg d d d
2
2
00
cos
42
II
B d e
2) Champ magnétique créé par une spire circulaire
sur son axe
 Système de coordonnées cylindriques
 PC 
( , , ) ( ) B z B z
 Infinité de plans d’antisymétrie passant par M.
L’intersection de ces plans donne la direction du champ : 
z
B Be
 Le sens est donné par la règle de la main droite

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Fig 10
 Calcul :
00
32
44
r I d
dB M Id u
rr
cos
z
dB dB e
et
cos sin
02
sin
4
Id
dB M r
sin
R
r
233
00
0
sin sin
42
zz
II
B d e e
RR
3
2
2
0
22
2z
IR
Be
zR
1
2
22
sin
RR
rzR
Cas particulier :
0
2z
I
B O e
R
2
ou
0z
3) Champ magnétique créé par un solénoïde portant n spires par unité de longueur en un point
( 0, , )
Mz
de son axe
Pour une seule spire :
3
0sin
2
I
BR
d’après ce qui précède, figure 9.
Pour
nd
spires :
3
0sin nd
2
I
dB R
2
sin
RR
z d d
tg
2
1
0sin d
2
nI
B
012
cos cos
2
nI
B
Cas particulier du solénoïde infini : (longueur > 10 R)
10
et
2
0
B nI
VI. Quelques exemples de lignes de champ magnétique
Une ligne de champ magnétique est une courbe orientée, qui, en chacun de ses points, est
tangente au vecteur champ magnétique. Ceci se traduit mathématiquement par l’équation :
0Bd
(en tout point M de la courbe).

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 Propriétés des lignes de champ magnétique
o Les lignes de champ magnétique sont toujours fermées. Il n’existe pas de monopôles
magnétiques comme en électrostatique.
o Dans un champ magnétique uniforme, les lignes de champ sont parallèles (aimant
en U, intérieur d’un solénoïde, intérieur des bobines d’Helmholtz…)
 (regarder l’animation !)
https://www.youtube.com/watch?v=ExX28eKS0FE
VII. Le Potentiel vecteur
A
En électrostatique,
0rotE 
V
, appelé potentiel électrique, tel que
E gradV
En magnétostatique,
0divB 
une fonction vectorielle
A
telle que :
B rotA
En effet,
. . 0divB B A      
 Par analogie
A
est appelé potentiel vecteur.
 Expression du potentiel vecteur
Résolution d’un système d’équation :
00
0divB div rotA
rotB J rot rotA J
On a :
0
rot rotA grad divA A J
Lignes de champ B
d’un aimant en forme
de U
Lignes de champ d’un
barreau aimanté,
matérialisées par de la
limaille fer.
Lignes de champ
B
d’un
fil parcouru par un
courant continu
Lignes de champ B
d’un aimant en forme
de U
Lignes de champ B
d’un solénoïde