DS MECANIQUE DU POINT 1-1

+TD
CP1-ENSAS
ANCIENS DS
Mécanique du point
GRIF
- center

Universtté Cadi Ayyad
Ecole
Nationale
des
Sciences
Appliquées
ENSA
SAFI
AU: 2019-2020
1t Année CP
Mécanique1
Saf
Travaux Dirigés: Série1
Exercice 1
Dans le repère cartésien R(0, , ëy, ëz), on considère les trois vecteurs suivants: V,(1,1,1),
V,(1,2,-3) et V (5,-4, 1).
1) Vérifier que ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
2) Calculer les produits vectoriels: AV, 7 AV,et +, AVa.
Exercice 1.2
Dans le repère cartésien R(0, E, y, e) on vous donne les trois vecteurs suivants: Vi(1,1,0),
V2(1,0,1) et Vs (1,1,1).
1) Calculer les angles 8, = (7,):0, = (,,7,) et 9, = (V.7.)
2) Calculer les produits mixtes: .(7,ÁV): V,. (V AV) et V3.(7AV). Conclure.
3) Caleuler le double produit vectoriel a (7, A7,).
Exercice 13
paralléiépipde dont les arrétes sont décrites par = , +2ëy, =4y, i =  +
32, à partir de l'origine. Trouver le volume de ce parallélépipède.
Exercice 1.4
Soit les trois vuuteurs ä(l,2,2,b(2,2/2,2), a(0, /2, V2).
1) Calculerla|.|5||et||. En déduire les expressions des vecteurs unitaires , ., et , portés
respectivement par les directions ,b et.
2) On considère les angles 6,,6, et 6, compris entre 0 et t. Calculer:
cos, = cos(,,,), cos 0, = cos(,,ë,), cos 0, = cos(,,,)
3) Calculer les composantes des vecteurs , =, ^,7, =, rë, et +, =, n
4) En déduire sin ,, sin 6, et sin G,. Vérifier ces résultats à l'aide de la question 2)
Exercice 15
Soit un vecteur V() de module V et un référentiel R.
1) Peut-on dire que la dérivée de V() est égale à la dérivée du module de V()?
2) Montrer que si (1) a un module constant, le vecteur dérivé ui est orthogonal.
dt
3) Montrer que, d'une manière générale : ) =va
dt
dt
TD: Mécanigue 1- Série1
Page 1/2
Pr. Mounir KRIRAA

Université Cadi Ayyad
Ecole
Nationale
des
Sciences
Applaiquées
ENSA
SAFI
AU: 2019-2020
1e Année CP
Mécanique 1
a
Exercice 1.6
Dans un repère R(O,+,j,k) orthonormé direct, on considère un vecteur U=04 que
at un angle a avec l'axe et un angle avec l'axe (O,j) Figure ci-dessous).
Exprimer:
I-le vecteur U en fonction de a, le module U et les vecteurs unitaires i et J.
2-le
vecteur
U
en
fonction
de
8,
le
module U
et les
vecteurs
unitaires
i et
j.
3-
Même
questions
de
1
et
2
si
en
faisant
une
rotation
au
sens
positive
suivant I'axe
(0,k)
de
4- Même
questions
de
1 et
2
si
en
faisant
une
rotation
au
sens
négative
suivant l'axe
(0,k)
de
X
Exercice 17
Considérons un
repère
orthonormé
direct
R(o,
i, j,k).
En
tout
point
M(x,y,z)
de
l'espace,
on
définit
une
quantité
physique
telle
que
f,y,2)=r*
avec
r=OMet
OM xi+ y +
zk
1)
Calculer le
gradient
du
champ
scalaire
f,
gradf,
et la
différentielle totale
de
f,
df.
2)
Montrer
qu'en
tout
point M,
df=
gradf
dOM
élémentaire)
3) Considérons le champ
(d
OM
est
le
vecteur
déplacement
scalaire
f,
donné
en
tout
point
de
l'espace
par
S(M) =3rsin' (Ø) cos(@)sin(2p)
Exprimer
grad f dans
la
base
sphérique
(,,ëp.)
4) Soit une fonction vectorielle f(x, y, z) définie dans la base R(o,i,j,k)par :
Sy,2)=x'yzi +xy'zj +zk Calculer
divf
et
rot f
Exercice 18
Résoudre les
équations
différentielles
suivantes
1)
-ý-2y
=
0,
où
y
est
une
fonction
du
temps
2) -i = t(1 - t), avec les conditions initiales: àt = 0, y = 2 et ý =1
3)
2j-y
= e',
où
y
est
une
fonction du
temps.
4) On considère l'équation différentielle du second ordre suivante:
X
wXcos6
(1)
w:
est
une
constante
positive
et
6: un
paramètre
constant
4.1) Trouver la solution de l'équation différentielle (1) sans second membre.
4.2) Montrer que cette solution peut se mettre sous la forme:
X(t) = B1 chwt + B2shwt
4.3) Chercher la solution générale de l'équation (1), en utilisant les conditions
initiales suivantes à t = 0, X = 0 et X = 0
où B et B2 sont des constantes
TD: Mécanique 1- Série1
Page 2/2
P. Mounir KRIRAA

rsité Cadi Ayud
le
Nationale
des
Sciences
Apphquées
ENSA
AFI
AU: 2019-2020
Année P
Mécanigue
TravaLr Dingés : Série2
Excreice 2
Soit un vecteur V défini dans le système des coordonnées cartésiennes de base (i,j,k) par:
V=Ai+Bj
Trouver l'expression du vecteur V ainsi que les composantes du vecteur dans la base polaire
Exercice 2.2
Soit un vecteur V défini dans la base du système de coordonnées cylindriques (ë,.ëo ë,) par:
=V,ë, +V, , +V2,
Donner l'expression du vecteur V dans la base cartésienne.
Exercice 2.3
Soit le vecteur V défini dans le système de coordonnées sphériques de base (e,,epe) par:
=V,, +V, , +V,,
Ecrire le vecteur V dans la base cartésienne (i,j,k)en déterminant chacune des composantes
du vecteur V.
Exercice 2.4
Soit un vecteur V défini dans la base du système de coordonnées cartésiennes (i,j,k) par:
P= A+ +B+Ck
1. Convertir le vecteur V en coordonnées cylindriques.
2. Ecrire le vecteur V dans la base des coordonnées sphériques.
Exercice 2.5
Dans le repère cartésien R(0,ë,,ë,), un point P se déplace dans le plan (Oxy). Ses
coordonnées cylindriques sont r,6 et 0.
dans la base cartésienne
1)
Déterminer
les dérivées d ).
2) En déduire les expressions de ces dérivées dans la base cylindrique.
3)
Démontrer que,
d'une
façon générale,
la
dérivée de
tout
vecteur
unitaire
n'a
pas de
composante sur lui-meme.
4) Montrer qu'il existe un vecteur @ appelé vecteur rotation tel que:
0Ae,
d R
TD: Mécanique 1- Sériel
Page 1/2
Pr. Mounir KRIR;

Vniversité Cadi Ayad
Ecole fationale des Sciences Appliquées ENSA
AU:2019-2020
1 nnée Cp
Mécanique 1
SAFI
5) Soit le repère cylindrique R,,(P,ë,egse,).
En faisant la projection du vecteur
Déterminer
les
dérivées et
dt
R dans la base cylindrique
puis
dans
la base
dtR
cartésienne.
Exercice 2.6
Soit R(O,,,,ë) le repère cartésien dans lequel une particule M se déplace sur la courbe
définie par les équations horaires suivantes:
x =2e sint
=2e cos t
z =e
Où x, y et z désignent les coordonnées cartésiennes de la particule M à l'instant . On
considère le repère de Frenet R(M,ë,ëy,ë,) où , et ëy sont les vecteurs unitaires sur la
tangente et sur la normale à la trajectoire en M. Le vecteur unitaire , est défini par :
1) Déterminer les composantes du vecteur vitesse (M) et de l'accélération (M) de M à
'instant t. En déduire le module des vecteurs i(M) et a(M).
2) Déterminer le rayon de courbure R de la trajectoire décrite par le point M, défini par
l'expression suivante: =
3) L'équation du mouvement de la projection m de la particule M dans le plan z = 0, en
coordonnées polaires. Donner les expressions des paramètres r(4) et 60).
TD: Mécanique 1-Série1
Page 2/2 Pr. Mounir
KRIRAA