01 complements algebre chapitre

Chapitre 1. Compléments d’algèbre
Plan du chapitre
1Compléments sur les groupes ............................................................................page 2
1.1 Intersection de sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.2 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .page 2
1.2.2 Groupes monogènes, groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
1.3 Sous-groupes du groupe (Z,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4
1.4 Le groupe (Z/nZ,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5
1.4.1 Définition et propriétés du groupe (Z/nZ,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5
1.4.2 Application aux groupes monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 6
1.5 Ordre d’un élément dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 7
1.6 Le théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8
2Compléments sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 10
2.1 Produit fini d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10
2.2 Idéal d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10
2.2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10
2.2.2 Idéal principal. Anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11
2.2.3 Divisibilité dans un anneau commutatif intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12
2.3 Idéaux de l’anneau (Z,+,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 12
2.3.1 (Z,+,×)est un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12
2.3.2 PGCD et PPCM de deux entiers relatifs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12
2.4 Idéaux de l’anneau (K[X],+,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 13
2.4.1 (K[X],+,×)est un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13
2.4.2 PGCD et PPCM de deux polynômes non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14
2.4.3 Irréductibles de l’anneau (K[X],+,×). Décomposition en produit de facteurs irréductibles . . . . . . . . . . page 14
3Compléments d’arithmétique : l’anneau (Z/nZ,+,×).................................................page 16
3.1 Définition de l’anneau (Z/nZ,+,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 16
3.2 Inversibles de l’anneau (Z/nZ,+,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 17
3.3 Intégrité de l’anneau (Z/nZ,+,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 18
3.4 Le théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 20
3.5 L’indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 21
4Algèbres ..................................................................................................page 23
4.1 Définition d’une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23
4.2 Sous-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 24
4.3 Morphisme d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 24
© Jean-Louis Rouget, 2022. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

1 Compléments sur les groupes
1.1 Intersection de sous-groupes
On a vu en math sup que, si (G, ∗)est un groupe, une intersection de deux sous-groupes de Gest un sous-groupe de G.
Plus généralement :
Théorème 1. Soit (G, ∗)un groupe. Soient Iun ensemble non vide d’indices puis (Hi)i∈Iune famille de sous-groupes
de (G, ∗)indexée par I.
Alors, \
i∈I
Hiest un sous-groupe de (G, ∗).
Démonstration .Dans cette démonstration, on note el’élément neutre du groupe (G, ∗)et x′le symétrique d’un élément x
de Gpour ∗.
Soient (Hi)i∈Iune famille de sous-groupe du groupe (G, ∗), indexée par Iun ensemble non vide d’indices puis H=\
i∈I
Hi.
• On sait que pour tout i∈I,e∈Hiet donc e∈H.
• Soit (x, y)∈H2. Pour tout i∈I,x∗y′∈Hiet donc x∗y′∈H.
On a montré que Hest un sous-groupe du groupe (G, ∗).
❏
1.2 Sous-groupe engendré par une partie
1.2.1 Définition
Soit (G, ∗)un groupe. Soit Aune partie quelconque de G. On va établir le fait qu’il existe un plus petit sous-groupe de G
(au sens de l’inclusion) qui contient la partie A.
Il existe au moins un sous-groupe de (G, ∗)contenant Aà savoir Glui-même. Soit alors Hl’intersection de tous les
sous-groupes du groupe (G, ∗)contenant la partie A.Hest un sous-groupe du groupe (G, ∗)en tant qu’intersection de
sous-groupe du groupe (G, ∗)et Hcontient Aen tant qu’intersection de parties de Gcontenant A. Ainsi, Hest un
sous-groupe du groupe (G, ∗)contenant A.
D’autre part, par construction, Hest contenu dans tout sous-groupe du groupe (G, ∗)contenant A. Finalement, Hest le
plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe du groupe (G, ∗)contenant A. Ceci démontre l’existence d’un tel sous-groupe.
Enfin, si Het H′sont deux plus petits sous-groupes du groupe (G, ∗)contenant A, alors H⊂H′et H′⊂Hpuis H′=H.
Ceci démontre l’unicité d’un plus petit sous-groupe du groupe (G, ∗)contenant A.
Définition 1. Soit (G, ∗)un groupe. Soit Aune partie quelconque de G. Il existe un plus petit sous-groupe de G
qui contient la partie Aet un seul. Ce sous-groupe s’appelle le sous-groupe engendré par la partie Aet se note
gr(A).
Commentaire. Nous avons défini le sous-groupe engendré par une partie à partir d’une « approche extérieure » : nous
sommes partis de Gqui était un sous-groupe du groupe (G, ∗)contenant Apuis nous avons diminué la taille de ce sous-
groupe au maximum. Cette approche nous a donné rapidement l’existence et l’unicité de gr(A)mais pas le contenu de
gr(A). C’est ce dont nous allons dorénavant nous préoccuper.
Un premier résultat immédiat est (en notant el’élément neutre du groupe (G, ∗)) :
Théorème 2. Soit (G, ∗)un groupe d’élément neutre e. gr(∅) = {e}.
Ainsi, dans (Z,+), gr(∅) = {0}, dans (C∗,×), gr(∅) = {1}, dans (GL(E),◦), gr(∅) = {IdE}et dans (GLn(K),×), gr(∅) =
{In}.
Théorème 3. Soit (G, ∗)un groupe. Soit Aune partie non vide de G. Alors
gr(A) = {x1∗...∗xn, n ∈N∗, x1∈Aou x′
1∈A, . . . , xn∈Aou x′ n∈A}
où x′
idésigne le symétrique de xipour ∗dans G.
➾Commentaire . Dire que x′
i∈Aéquivaut à dire que xiest le symétrique d’un élément de A. Donc, gr(A)est constitué de
tous les produits finis d’éléments de Aet de symétriques d’éléments de A.
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En notation additive, cela donne : soit (G, +) un groupe et soit Aune partie non vide de G.
gr(A) = {±x1±...±xn, n ∈N∗, x1∈A, . . . , xn∈A}.
En notation multiplicative, cela donne : soit (G, ×)un groupe et soit Aune partie non vide de G.
gr(A) = x±1
1×...×x±1
n, n ∈N∗, x1∈A, . . . , xn∈A.
Avec la loi ◦, cela donne : soit (G, ◦)un groupe de bijections et soit Aune partie non vide de G.
gr(A) = f±1
1◦...◦f±1
n, n ∈N∗, f1∈A, . . . , fn∈A.
Démonstration .(du théorème 3) Soit Aune partie non vide de G.
Posons H={x1∗. . . ∗xn, n ∈N∗, x1∈Aou x′
1∈A, . . . , xn∈Aou x′
n∈A}.
• Vérifions que Hest un sous-groupe de (G, ∗)contenant A.
-An’est pas vide. Donc, il existe un élément adans A.Hcontient alors l’élément a∗a′=e.
- un produit de deux produits finis d’éléments de Aet de symétriques d’éléments de Aest encore un produit fini
d’éléments de Aet de symétriques d’éléments de A. Donc, Hest stable pour ∗.
- le symétrique d’un produit fini d’éléments de Aet de symétriques d’éléments de Aest encore un produit fini d’éléments
de Aet de symétriques d’éléments de A. Donc, Hest stable pour le passage au symétrique.
Finalement, Hest un sous-groupe du groupe (G, ∗). D’autre part, Hcontient les produits de un élément de Aou encore Hcontient
A. Finalement, Hest un sous-groupe du groupe (G, ∗)contenant A.
• D’autre part, un sous-groupe de Gcontenant Acontient nécessairement les produits finis d’éléments de Aet de symétriques
d’éléments de A. Un tel sous-groupe contient donc H.
On a montré que H=gr(A).
❏
Exemple 1. Soit n∈Z. Dans (Z,+), gr({n}) = {±n±n . . . ±n}={kn, k ∈Z}=nZ. En particulier, gr({1}) = Zet
gr({0}) = {0}.
Exemple 2. En général, si (G, ∗)est un groupe d’élément neutre e, alors gr({e}) = {e}.
Exemple 3. On a vu en maths sup que toute permutation de J1, nKpeut s’écrire comme une composée de transpositions.
Donc, le groupe symétrique (Sn,◦)est engendré par les transpositions.
1.2.2 Groupes monogènes. Groupes cycliques
Définition 2. Soit (G, ∗)un groupe. (G, ∗)est monogène si et seulement si il existe un élément ade Gtel que
G=gr({a}).
Notation. Pour alléger la notation ci-dessus, on écrira dorénavant gr(a)au lieu de gr({a}).
Un groupe monogène est donc un groupe engendré par l’un de ces éléments. Un élément ade Gtel que G=gr(a)est
un générateur de G. Un tel générateur n’est pas unique et un élément quelconque de Gn’est pas nécessairement un
générateur de Gcomme on va le voir plus loin dans quelques exemples.
Décrivons le sous-groupe mogogène engendré par un élément a.
En notation additive : soit (G, +) un groupe. Soit a∈G.
gr(a) = {na, n ∈Z}.
En notation multiplicative : soit (G, ×)un groupe. Soit a∈G.
gr(a) = {an, n ∈Z}.
Avec la loi ◦: soit (G, ◦)un groupe de bijections. Soit f∈G.
gr(f) = {fn, n ∈Z}.
Définition 3. Un groupe est dit cyclique si et seulement si ce groupe est monogène et fini.
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Exemple 1. On a vu que dans (Z,+),Z=gr(1). Donc, le groupe (Z,+) est un groupe monogène, non cyclique car Zest
infini. On note que l’on a aussi Z=gr(−1)et que tout autre entier que 1et −1n’est pas un générateur du groupe (Z,+).
Exemple 2. L’ensemble des racines 4-èmes de l’unité dans Cest U4={1, i, −1, −i}.U4est un sous-groupe fini du groupe
(C∗,×). gr(i) = {in, n ∈Z}={in, 0 6n63}=U4. Donc, le groupe (U4,×)est un groupe cyclique.
Plus généralement, pour n>1,Un=ωk, k ∈Z=ωk, 0 6k6n−1où ω=e2iπ
net où les ωk,06k6n−1,
sont deux à deux distincts. Donc,
le groupe (Un,×)est cyclique de cardinal n(on dit aussi d’ordre n).
Théorème 4. Tout groupe monogène est commutatif.
Démonstration .Démontrons le résultat en notation multiplicative. Soit (G, ×)un groupe monogène. Soit a∈Gtel que
G=gr(a). Alors, G={an, n ∈Z}.
Soit (n, m)∈Z2.an×am=an+m=am+n=am×an. Ceci montre que le groupe (G, ×)est un groupe commutatif. ❏
Considérons (S3,◦), le groupe symétrique de J1, 3K. On sait que S3={Id, τ1,2, τ1,3, τ2,3, c1, c2}où c1= (2 3 1)et
c2= (3 1 2). On a τ1,2 ◦τ1,3 =c2et τ1,3 ◦τ1,2 =c1. Donc, τ1,2 ◦τ1,3 6=τ1,3 ◦τ1,2. Le groupe (S3,◦)n’est
donc pas commutatif. On en déduit en particulier que ce groupe n’est pas monogène. De fait, gr(Id) = {Id}6=S3,
gr (τi,j) = {Id, τi,j}6=S3et gr (ci) = {Id, c1, c2}6=S3. On peut cependant montrer que S3=gr (τ1,2, c1).❏
Sinon, on a immédiatement
Théorème 5. Soit (G, ∗)un groupe. Soit Hun sous-groupe du groupe (G, ∗).
∀x∈G, (x∈H⇔gr(x)⊂H).
1.3 Sous-groupes du groupe (Z,+)
Théorème 6. Les sous-groupes du groupe (Z,+) sont les nZ,n∈Z.
Démonstration .• Soit n∈Z.nZ=gr(n)est un sous-groupe du groupe (Z,+).
• Réciproquement, soit Hun sous-groupe du groupe (Z,+). Si H={0}, alors H=0Z.
Sinon, H6={0}et donc Hcontient un certain élément xnon nul. Les deux éléments xet −xsont dans H(car Hest un sous-groupe)
et l’un de ces deux éléments est strictement positif.
L’ensemble H∩N∗est alors une partie non vide de N(et même de N∗). On en déduit que H∩N∗admet un plus petit élément que
l’on note n. Par définition, nest un entier naturel non nul élément de H.
Puisque Hest un sous-groupe de (Z,+) et que n∈H, on en déduit que gr(n)⊂Hou encore nZ⊂H.
Inversement, soit x∈H. La division euclidienne de xpar n(on rappelle que n6=0) s’écrit x=nq +roù q∈Zet r∈J0, n −1K.
r=x−nq avec x∈Het nq ∈nZ⊂H. Puisque Hest un sous-groupe de (Z,+), on en déduit que r∈H.
Ainsi, r∈H∩J0, n −1Ket donc r=0par définition de n. Mais alors, x=nq ∈nZ. Ceci montre que H⊂nZet finalement que
H=nZ.❏
On peut apporter quelques précisions au théorème 6.
Théorème 7.
1) ∀(n, m)∈Z2,nZ=mZ⇔m=±n.
2) ∀(n, m)∈N2,nZ=mZ⇔m=n.
3) Pour tout sous-groupe Hdu groupe (Z,+), il existe un entier naturel net un seul tel que H=nZ.
Démonstration .Soit (n, m)∈Z2. Supposons que nZ=mZ. Alors, m∈mZ=nZet donc mest un multiple de n. De même,
nest un multiple de m. On sait que ceci impose m=±n.
Réciproquement, si m=n, alors nZ=mZet si m= −n, alors mZ={−kn, k ∈Z}={k′n, k′∈Z}=nZ.
Enfin, 2) est une conséquence immédiate de 1) et 3) est une conséquence de 2) et du théorème 6.
❏
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1.4 Le groupe (Z/nZ,+)
1.4.1 Définition et propriétés du groupe (Z/nZ,+)
Soit n∈N∗. On sait que la relation de congruence modulo n, définie sur Z2par :
∀(a, b)∈Z2,(a≡b[n]⇔b−a∈nZ⇔∃q∈Z/ b =a+nq),
et une relation d’équivalence à nclasses deux à deux distinctes. Redémontrons-le. Soit n∈N.
• Soit a∈Z.a=a+0×aavec 0∈Zet donc a≡a[n]. La congruence modulo nest réflexive.
• Soit (a, b)∈Z2tel a≡b[n]. Il existe q∈Ztel que b=a+nq. Mais alors a=b−nq ou encore a=b+nq′avec
q′= −q∈Zet donc b≡a[n]. La congruence modulo nest symétrique.
• Soit (a, b, c)∈Z3tel a≡b[n]et b≡c[n]. Il existe (q, q′)∈Z2tel que b=a+nq et c=b+nq′.
Mais alors c=b+nq′=a+nq +nq′=a+n(q+q′) = a+nq′′ avec q′′ =q+q′∈Zet donc a≡c[n].
La congruence modulo nest transitive.
Ceci montre que la relation d’équivalence modulo nest une relation d’équivalence sur Z.
Vérifions que cette relation a exactement nclasses deux à deux distinctes. On note b ala classe d’un élément ade Z(on
rappelle que b aest constituée des éléments bde Zqui sont congrus à amodulo n).
Soit a∈Z. La division euclidienne de apar n(on rappelle que n6=0) s’écrit a=nq +roù q∈Zet r∈J0, n −1K. Mais
alors, a≡r[n]puis b a=b roù cette fois-ci 06r6n−1. Ceci montre que la congruence modulo npossède au plus n
classes d’équivalence, à savoir b 0,b 1, ..., \ n−1. Vérifions maintenant que ces classes sont deux à deux distinctes.
Soit (a, b)∈J0, n −1K2tel que b a=b b. Puisque b a=b b, on a a≡b[n]. Mais alors, b−a∈nZ∩J−(n−1),(n−1)K={0}
et donc a=b. Par contraposition, pour tout (a, b)∈J0, n −1K2,(a6=b⇒b a6=b b).
Ceci montre que l’ensemble des classes d’équivalence modulo nest un ensemble constitué d’exactement néléments. On
peut énoncer :
Définition 4. Soit n∈N∗. L’ensemble des classes d’équivalence de la relation de congruence modulo nse note Z/nZ.
Il est constitué d’exactement néléments à savoir b 0,b 1, ..., \ n−1.
Ainsi, Z/5Z=b
0, b 1, b 2, b 3, b 4où, pour tout a∈J0, 4K,b a={a+5q, q ∈Z}et donc par exemple,
b
3={. . . , −12, −7, −2, 3, 8, 13, . . .}.
On rappelle encore que chaque élément d’une classe peut être choisi comme représentant de cette classe et donc par
exemple, dans Z/5Z,b 3=b 8=c −2et aussi Z/5Z=c
−2, c −1, b 0, b 1, b 2.
On revient au cas général Z/nZ,n∈N∗. On définit dans Z/nZune addition par :
∀(a, b)∈(Z/nZ)2,\ a+b=b a+b b(∗).
Théorème 8. Pour tout n∈N∗,(Z/nZ,+) est un groupe commutatif, fini de cardinal n.
Démonstration .Soit n∈N∗.
• Vérifions d’abord que l’on a bien défini une loi de composition interne sur Z/nZ. Il s’agit de vérifier que la définition adoptée de
b
a+b bne dépend pas du choix des représentants respectifs aet bde ces classes.
Soit donc (a, a ′, b, b′)∈Z4tel que b a=b a′et b b=b b′. Montrons alors que \ a+b=\ a′+b′. Puisque b a=b a′, on a a≡a′[n]et de
même b≡b′[n]. Mais alors, par compatibilité de la congruence avec l’addition, a+b≡a′+b′[n]puis \ a+b=\ a′+b′.
Ainsi, (∗)définit bien une loi de composition interne sur Z/nZ.
• Montrons maintenant que (Z/nZ,+) est un groupe commutatif. Il ne s’agit pas de vérifier que Z/nZest un sous-groupe d’un
groupe déjà connu. (Z/nZ,+) est un nouveau groupe de référence.
- Soit (a, b)∈Z2.b a+b b=\ a+b=\ b+a=b b+b a. Donc, +est commutative.
- Soit (a, b, c)∈Z3.b
a+b b+b c=\ a+b+b c=\ (a+b) + c=\ a+ (b+c) = b a+[ b+c=b a+b b+b c. Donc, +est associative.
On peut donc écrire dorénavant b a+b b+b c.
- Soit a∈Zb a+b 0=[ a+0=b a. Donc, +possède un élément neutre, à savoir b 0.
- Soit a∈Zb a+c −a=\ a+ (−a) = b 0. Donc, tout élément b ade Z/nZadmet un opposé pour +, à savoir c −a
(dit autrement c −a= − b a).
On a montré que, pour tout n∈N∗,(Z/nZ,+) est un groupe commutatif.
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