Évaluation sur les complexes - Exercices et corrections

Évaluation sur les complexes
NOM : …………………………………. PRENOM :………………………. SUJET A
Exercice 1 : / 4 pts
Mettre les nombres complexes suivants sous la forme algébrique.
• ! " #$%&'()*($+( &%)
• ! " !
"#$%
• ! " $+*()"
• ! " &#'%
(!('%
Correction :
• ! " #$%&'()*($+( &%)
• ! " ,%&+%(
• ! " !
"#$%
• ! " "($%
!"
• ! " $+*()"
• ! " $+*()-$%*'()
• ! " +*,,(
• ! " &#'%
(!('%
• ! " )&#'%*)(!#'%*
!+
• ! " ($$#$,%
!+
Exercice 2 : / 5 pts
Donner le conjugué des complexes suivants sous forme algébrique.
• ! " !
-('%
• ! " !(.%
"%#+
• ! " ./$
$&/$ $(/$
• ! " #($%( * +)
Correction :
• ! " !
-('%
• !0 " !
-#'%
• !0 " -('%
'!
• !0 " !#.%
+("%
• !0 " (!+#-0%
-.
• ! " ./$
$&/$ $(/$
• !0 " ./$
$*/$ $(/$
• !0 " (
• ! " #($%( * +)
• !0 " &#($+&%()
• !0 " &,#&,1(
Exercice 3 : / 5 pts
Résoudre les équations suivantes dans 2.
• %! &+( *' " ( &+!
• %$!*()& +! " ( * !
• !&%(!0 " &#&(
• 1#!
1($ " %(
Correction :
• %! &+( *' " ( &+!
• #! " &'*%(
• ! " ('
-*" -(
• Soit 32" 4('
-*" -(5
• %$!*()& +! " ( * !
• %( " (
• 32" 6
• !&%(!0 " &#&(
• On pose ! " 7 *(8
• $7 *(8)&%($7 & (8) " &#&(
• 7 *# &%8* ($8 &%7 * ,) " 1
• 97 &%8 " &#
&%7 *8 " &,
• Soit ! " ,*+(
• 32":,*+(;
• 1#!
1($ " %(
• 1)!("%*#!#&%
1($ " 1
• ! " !#&%
(!#"% et ! < +
• ! " !+
!, *(0 !, (
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• 32" 4!+
!, *(0 !, (5
Exercice 4 : / 4 pts
On définit une fonction = de la variable complexe !>
?! @ 2&:+(;A=$!)"+!
!&+(
1) Calculer l’image de 2 par =.
2) Calculer l’image de ,*( par =.
3) On appelle invariant de = tout nombre complexe qui est égal à son image. Montrer
alors que = possède deux invariants.
Correction :
1) On évalue l’image =$+)"$3$
$($% soit =$+)"$ !(% soit =$+)" ,*(
2) On évalue l’image =$,*()"$3)!#%*
!#%($% soit =$,*()"$)!#%* !(% soit =$,*()" +(
3) Puisqu’on cherche un invariant, on doit résoudre A=$!)" !
Soit ici $1
1($% " ! B (1!#1)$#$%* 1($% " 1
On a donc !$&!*+*+()" 1CDEC! < +(
Soit ! " 1 ou ! " +*+(. f possède donc bien deux invariants.
Exercice 5 : / 2 pts
Donner la forme algébrique des quatre nombres complexes définis dans la console python par
les commandes suivantes.
Correction :
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