Méthodes de Démonstration

Méthodes de Démonstration
Les méthodes de démonstration sont essentielles pour établir la
véracité d'une proposition ou d'un théorème en mathématiques.
Voici un aperçu des principales techniques de démonstration,
accompagnées de leurs propriétés et formules importantes.
1. Démonstration Directe
Principe :
Pour prouver une implication p→qp→q, on part de
l'hypothèse pp et on utilise des raisonnements logiques pour arriver
à la conclusion qq.
Exemple :
Prouvons que la somme de deux entiers pairs est paire.
 Soient a=2ma=2m et b=2nb=2n, où mm et nn sont des
entiers.
 a+b=2m+2n=2(m+n)a+b=2m+2n=2(m+n), qui est un
multiple de 2.
 Donc, a+ba+b est pair.
Remarque :
Cette méthode est la plus simple et la plus intuitive, mais elle n'est
pas toujours applicable, surtout lorsque la propriété à démontrer
n'est pas directement accessible.
2. Démonstration par Contraposition
Principe :
Pour prouver une implication p→qp→q, on montre que la
contraposée ¬q→¬p¬q→¬p est vraie.
Exemple :
Prouvons que si n2n2 est impair, alors nn est impair.
 Contraposée : Si nn est pair, alors n2n2 est pair.
 Si nn est pair, alors n=2kn=2k pour un certain entier kk.
 n2=(2k)2=4k2n2=(2k)2=4k2, qui est pair.
 Donc, la contraposée est vraie, ce qui prouve l'implication
initiale.
Remarque :
La démonstration par contraposition est utile lorsque la négation de
la conclusion est plus simple à manipuler que la conclusion elle-
même.
3. Démonstration par l'Absurde

Principe :
Pour prouver une proposition pp, on suppose ¬p¬p et on montre
que cette hypothèse conduit à une contradiction.
Exemple :
Prouvons que 22 est irrationnel.
 Supposons le contraire : 22 est rationnel, donc 2=ab2=ba
avec aa et bb entiers premiers entre eux.
 2=a2b22=b2a2, donc a2=2b2a2=2b2.
 a2a2 est pair, donc aa est pair. Posons a=2ka=2k.
 2b2=4k22b2=4k2, donc b2=2k2b2=2k2, et bb est aussi pair.
 Mais aa et bb ne peuvent pas être tous les deux pairs,
contradiction. Donc, 22 est irrationnel.
Remarque :
Cette méthode est puissante pour traiter des propositions où une
démonstration directe est difficile ou impossible.
4. Démonstration par Disjonction des Cas
Principe :
On prouve qu'une proposition est vraie en considérant tous les cas
possibles séparément et en montrant que la proposition est vraie
dans chacun des cas.
Exemple :
Prouvons que le produit de deux entiers est pair si au moins l'un des
deux est pair.
 Cas 1 : Le premier entier est pair. Alors, le produit est pair.
 Cas 2 : Le second entier est pair. Alors, le produit est pair.
 Dans les deux cas, le produit est pair.
Remarque :
Cette méthode est souvent utilisée lorsqu'une situation peut être
divisée en plusieurs sous-cas distincts.
5. Démonstration par Réduction à un Cas Déjà Connu
Principe :
On réduit un problème complexe à un cas particulier ou à un
théorème déjà prouvé.
Exemple :
Pour prouver un nouveau résultat sur les suites arithmétiques, on
peut utiliser un théorème connu sur les suites géométriques en
transformant la suite arithmétique en une suite géométrique.

Remarque :
Cette approche est efficace lorsqu'il existe des résultats déjà établis
pour des cas particuliers qui peuvent être généralisés.
Formules et Propriétés Essentielles
1. Implication et Contraposée
 p→q≡¬q→¬pp→q≡¬q→¬p
 p→q≡¬p∨qp→q≡¬p∨q
2. Règle du Tiers Exclu
 p∨¬pp∨¬p est toujours vrai.
3. Loi de Non-Contradiction
 p∧¬pp∧¬p est toujours faux.
4. Loi de De Morgan
 ¬(p∧q)≡¬p∨¬q¬(p∧q)≡¬p∨¬q
 ¬(p∨q)≡¬p∧¬q¬(p∨q)≡¬p∧¬q
Conclusion
Maîtriser ces méthodes de démonstration est crucial pour aborder les
problèmes mathématiques de manière rigoureuse. Chaque méthode
a ses avantages et est plus ou moins adaptée selon la nature de la
proposition à démontrer. La pratique régulière de ces techniques
permet de développer une intuition et une rigueur essentielles pour
réussir dans les mathématiques et les disciplines connexes.

Exercice 1 : Démonstration directe
Énoncé : Montrer que si nn est un entier pair, alors n2n2 est
également pair.
Correction :
1. Hypothèse : Supposons que nn est un entier pair. Cela signifie
qu'il existe un entier kk tel que n=2kn=2k.
2. Démonstration :
n2=(2k)2=4k2=2(2k2)n2=(2k)2=4k2=2(2k2)
Ici, 2k22k2 est un entier, donc n2n2 est pair.
Explication : On a utilisé la définition des entiers pairs pour montrer
directement que le carré d'un entier pair est aussi pair.
Exercice 2 : Démonstration par contraposée
Énoncé : Montrer que si n2n2 est impair, alors nn est impair.
Correction :
1. Contraposée : Montrons la contraposée : si nn est pair,
alors n2n2 est pair.
2. Hypothèse : Supposons que nn est pair, donc n=2kn=2k pour
un entier kk.
3. Démonstration :
n2=(2k)2=4k2=2(2k2)n2=(2k)2=4k2=2(2k2)
Ce qui montre que n2n2 est pair.
Explication : En prouvant la contraposée, nous avons établi que
si nn est pair, alors n2n2 ne peut pas être impair, ce qui prouve
l'énoncé initial.
Exercice 3 : Démonstration par l'absurde
Énoncé : Montrer que 22 est irrationnel.
Correction :
1. Supposition : Supposons, par l'absurde, que 22 est rationnel.
Alors, on peut écrire 2=ab2=ba avec aa et bb entiers premiers
entre eux.
2. Équation : En élevant au carré, on obtient :
2=a2b2 ⟹ a2=2b22=b2a2⟹a2=2b2
3. Analyse : Cela signifie que a2a2 est pair, donc aa est pair (car
le carré d’un impair est impair).
4. Écriture de aa : Écrivons a=2ka=2k pour un entier kk. En
substituant, on obtient :

(2k)2=2b2 ⟹ 4k2=2b2 ⟹
b2=2k2(2k)2=2b2⟹4k2=2b2⟹b2=2k2
Donc b2b2 est aussi pair, ce qui signifie que bb est pair.
5. Contradiction : Si aa et bb sont tous deux pairs, ils ne peuvent
pas être premiers entre eux. Cela entraîne une contradiction.
Explication : L'absurde est utilisé ici pour montrer qu'une hypothèse
initiale (que 22 est rationnel) mène à une contradiction, prouvant
ainsi que 22 est irrationnel.
Exercice 4 : Démonstration par disjonction de cas
Énoncé : Montrer que pour tout entier nn, n2n2 est soit pair, soit
impair.
Correction :
1. Cas 1 : nn est pair. Alors n=2kn=2k pour un entier kk.
n2=(2k)2=4k2 (donc n2 est pair)n2=(2k)2=4k2 (donc n2 e
st pair)
2. Cas 2 : nn est impair. Alors n=2k+1n=2k+1 pour un entier kk.
n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1 (donc n2 est impa
ir)n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1 (donc n2 est impai
r)
Explication : En considérant les deux cas distincts, nous avons prouvé
que, quel que soit nn, n2n2 doit être soit pair, soit impair.
Exercice 5 : Démonstration directe
Énoncé : Montrer que si nn est un entier positif, alors n3n3 est
positif.
Correction :
1. Hypothèse : Soit nn un entier positif. Par définition, n>0n>0.
2. Démonstration :
n3=n×n×nn3=n×n×n
Comme n>0n>0, alors n3>0n3>0.
Explication : Le produit de plusieurs nombres positifs est toujours
positif, ce qui prouve que n3n3 est positif.
Exercice 6 : Démonstration par contraposée
Énoncé : Montrer que si nn est un entier pair, alors n2n2 est pair.