Pôle de Mathématiques
18 Juin 2021
2
Partie probabilité : pièce déséquilibrée (12 points)
Ce problème repose sur une trame commune. Un joueur dispose de deux pièces apparemment semblables :
Département Génie Électrique – 3ème année D.S. de Mathématiques générales
Documents autorisés : les notes manuscrites prises en cours et en TD, les documents du cours (sauf
examens corrigés) ainsi qu’une calculatrice scientifique. Le barème indiqué est provisoire. Durée : 2h
1. la première (pièce N◦ 1) est équilibrée et donc les probabilités de Pile et de Face sont égales à 0.5 ;
2. la seconde (pièce N◦ 2) n’est pas équilibrée et la probabilité d’obtenir Face est égale à p (q = 1 − p
pour Pile).
Ce sujet contient 2 sections à rédiger sur 2 copies distinctes. Ces parties correspondent respectivement
au programme d’EDP (8 points) et de probabilité (12 points) du module de MA2.
Les parties et même la plupart des questions sont indépendantes.
1
Partie EDP : le tambour (8 points )
Partie 1 (3.5 points) :
Le joueur a pris une des deux pièces, l’a lancé n = 10 fois. Nous supposons ici que p est connu et égal
à p = 0.4. Nous notons par la suite A, l’événement ” obtenir 3 fois le coté Face”.
On considère l’équation du tambour définie par
2
pour (x, t) ∈ Ω × R+ ,
∂t u(x, t) = ∆u(x, t),
u(y, t) = 0
pour y ∈ ∂Ω et t ≥ 0
u(x, 0) = f (x), ∂t u(x, 0) = g(x) pour x ∈ Ω
où Ω = {x ∈ R2 : kxk < R} est un disque de rayon R > 0 et où u représente l’élongation de la membrane
du tambour de sa position d’équilibre.
1. Récrire le problème en coordonnées polaires où
ũ(r, θ, t) = u(x, t),
(1.5)
(1.5)
Montrer que F et G vérifient
G00 = kG
et
1
F 00 + F 0 = kF,
r
où k est une constante réelle.
3. En prenant en compte les conditions aux limite sur ũ, montrer que le problème n’admet pas de
solutions bornées non nulles dans le cas où k = 0.
Astuce : on pourra remarquer que (rF 0 )0 = rF 00 + F 0
(1)
On admet que les solutions bornées de l’équation
1
u (s) + u0 (s) + u(s) = 0, s > 0,
s
00
sont de la forme u(s) = CJ0 (s), où C est une constante et J0 est la fonction de Bessel d’ordre 0.
Cette fonction ressemble à un sinus cardinal, en particulier elle admet une suite {αn }n∈N∗ de zéros
(c’est-à-dire J0 (αn ) = 0 pour n ∈ N∗ ) avec
α1 ≈ 2.40, α2 ≈ 5.52, α3 ≈ 8.65, α4 ≈ 11.79, α5 ≈ 14.93, . . .
4. Dans le cas où k < 0, montrer que F est de la forme
F (r) = CJ0 (pr),
(2)
où C ∈ R,
√
où p = −k. En déduire avec les conditions aux limites que les seules valeurs de k qui conduisent à
des solutions non nulles sont de la forme k ∈ {−(αn /R)2 }n∈N∗ .
5. En déduire alors une famille de solutions {ũn (r, t) = Fn (r)Gn (t)}n∈N∗ non nulles et bornées de
l’équation du tambour satisfaisant les conditions aux limites.
P∞
6. En supposant que la solution générale du problème s’écrit sous la forme ũ(r, t) = n=1 cn un (r, t),
expliciter les différentes fréquences de vibration du tambour
7. Pourquoi un tambour de rayon plus petit résonne plus aigu qu’un tambour de rayon plus large ?
(1)
(1)
3. On observe au final l’événement A. Déterminer la probabilité que la pièce N◦ 1 ait été choisie.
avec x = (x1 , x2 ) = (r cos(θ), r sin(θ)).
On n’oubliera pas d’expliciter la condition aux limites.
2. On s’intéresse par la suite uniquement aux solutions qui ne dépendent pas de la variable θ, c’est à
dire ũ(r, θ, t) = ũ(r, t). L’idée est alors de déterminer une famille de solutions de l’équation de la
forme
ũ(r, t) = F (r)G(t).
1. Calculez la probabilité de A si le tirage a eu lieu avec la pièce N◦ 1.
2. En fait la pièce a été choisie au hasard (équiprobabilité des deux pièces). Calculez la probabilité de
A.
(1.5)
Partie 2 (5.5 points) :
On suppose toujours que p = 0.4 et que le joueur procède à n = 10 lancers, mais en choisissant à
chaque lancer la pièce au hasard. Nous notons aussi K la variable aléatoire égale au nombre de Face
obtenue sur les 10 lancers.
4. Dans le cas où le tirage s’effectue uniquement avec la pièce N◦ 1, déterminez l’espérance et la variance
de K. Répondez à la même question si le tirage a lieu uniquement avec la pièce N◦ 2
(2)
5. Soit X le nombre de lancers effectués avec la pièce N◦ 1. Déterminez l’espérance et la variance de X.
(1)
6. Calculez E(K) et V (K) en utilisant les théorèmes de l’espérance et de la variance totale. Pour ce
faire, vous conditionnerez K par X.
(2.5)
Partie 3 (3 points) :
Dans cette partie p est inconnu, et le joueur doit se lancer dans un pari en utilisant la pièce N◦ 2. Le
pari doit être équilibré autant que possible, mais la pièce est déséquilibrée. Comment faire ? Chaque
question décrit une manière de déterminer si le pari est gagnant, et on notera à chaque fois g la
probabilité que le pari soit gagnant et ε = |g − 0.5| . Les résultats seront donnés en fonction de p
et les applications numériques seront faites avec p = 0.4. Par exemple, le cas d’un premier scénario
consistant à utiliser la pièce une fois avec un pari gagnant si on obtient le coté Face conduit à g1 = p
et ε1 = |p − 0.5|.
7. On suppose maintenant que la pièce est lancée deux fois avec un pari gagnant si les deux résultats des
lancers sont identiques. Calculez g et ε. En déduire la meilleur performance de ce deuxième scénario
par rapport au premier.
(1.5)
8. Il est possible de diminuer encore ε en lançant la pièce trois fois. Quelles combinaisons faudrait-il
associer au pari gagnant pour minimiser ε et d’obtenir ainsi ε = 4|p − 0.5|3 ?
(1.5)
Partie 4 : (bonus, 3 points)
Dans cette partie, le joueur lance la pièce N◦ 2 (p = 0.4), et tire au hasard un nombre aléatoire R
suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Si la pièce a donné Face, on pose Y = R ; si la pièce a donné Pile,
on pose Y = 0.5R.
9. Calculez la probabilité P (Y ≤ t) en conditionnant par rapport au résultat du lancer de la pièce N◦ 2
(1)
10. En déduire la fonction de répartition de Y et calculer sa densité, son espérance et son écart-type.
(1)
11. Quelle est la probabilité que l’on ait obtenu Pile si Y < 0.3 ?
(1)
(1)
(0.5)
(0.5)
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