ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE À VARIABLES SÉPARÉES AMbaye May 6, 2022 Abstract Ce cours s'adresse aux premières années de Dut et de licence Contents 1 DÉFINITIONS 2 2 L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE À VARIABLES SÉPARÉES 2 1 1 DÉFINITIONS Dénition 1.1 Une équation diérentielle(ordinaire) est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Dénition 1.2 En calcul multivariable , un problème de valeur initiale aussi appelé problème de Cauchy et notée ( ivp ) est une équation diérentielle ordinaire avec une condition initiale qui spécie la valeur de la fonction inconnue en un point donné du domaine. Dénition 1.3 On appelle équation diérentielle à variables séparables une équation qui peut se mettre sous la forme : y0 = f (x) · g(y). Ici on va supposer que f est continue sur l'intervalle I , et g est continue sur l'intervalle J . Remarque 1.1 Modéliser un système en physique ou dans d'autres sciences revient souvent à résoudre un problème de valeur initiale. Dans ce contexte, la valeur initiale diérentielle est une équation qui spécie comment le système évolue avec le temps compte tenu des conditions initiales du problème. 2 L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE À VARIABLES SÉPARÉES Problème de valeur initiale: y 0 = f (x) · g(x), y(x0 ) = y0 Étape 1 Déterminer tous les zéros η ∈ J de g. Si g(y0 ) = 0, alors y(x) = y0 est une solution particulière(constante). Étape 2 Séparation des variables dans l'intervalle J˜ ⊂ J où g(y) 6= 0: Tout ce qui est avec y et dy à gauche;tout ce qui est en x et dx à droite. 1 dy = f (x) dx g(y) 2 Étape 3 Si g(y0 ) 6= 0, alors intégrer Z chaque côté Z y 1 dy = y0 g(y) x f (x) dx x0 C'est une solution du problème de valeur initiale sous sa forme implicite. Quand c'est possible résoudre en y(x). Nota Bene 1.Une solution n'existe que dans une partie de l'intervalle J dans laquelle g(y) 6= 0. 2.Théorème d'existence et d'unicité. Si g(y) est dérivable dans un voisinage de y0 , alors il existe une solution et une seule au problème de la valeur initiale. Exemple Z y 0 dy y+1 y 0 = −x(y + 1) , y0 = 1 Z x = ln |y + 1| − ln|2| − 0 = − 12 x2 x dx ⇒ 1 − x2 2 ⇒ − 1. Solution particulière constante: y = −1. y = 2e Contre-exemple y0 = p 1 − y2 1. Les solutions particulières sont y = 1 et y = −1 2. Pour |y| < 1 et on toujours y0 > 0. Pour |y| > 1 il n'existe aucune solution. 3. La donne comme autres solutions Z séparation des variables Z y 1 p dη = 1 − η2 y0 x dx ⇒ arcsin y − arcsin y0 = x − x0 x0 4. Ces solutions sont étudiées dans un intervalle en x de longueur π car − π π ≤ arcsin y ≤ . On posera y = −1 pour les plus petits x, et y = 1 2 2 pour les plus grands. Résoudre l'équation implicite en y est dangereux car y = sin(x − x0 + arcsin y0 ) π π représente une solution seuelement pour − ≤ x − x0 + arcsin y0 ≤ . 2 2 Comme y 0 ≥ 0 il n'existe aucun arc décroissant dans une solution. 3 5. Le problème de valeur initiale y(x0 ) = −1 et aussi y0 = 1 admet une innité de solutions. Une solution peut parcourir un arc de sinus en x > 0 à partir de la constante −1 jusqu'à la constante 1. 6. p 1 − y 2 n'est pas dérivable pour y = ±1, donc les conditions g(y) = du théorème d'existence et d'unicité ne sont pas satisfaites. 4
