Cours réalisé par : BOURENNANI.K.
Département de Mathématique.
Spécialité : Ingénieur en Informatique.
Module Probabilités et Statistiques.
Analyse Combinatoire.
Le but de l’analyse combinatoire est de déterminer le nombre de
possibilités dans une expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire est l’ensemble des possibilités qu’on peut avoir
qu’on appelle Univers ou Espace fondamentale. On le noteΩ.
On doit connaitre les notions suivantes :
- L’effectif : On retient deux
paramètres(𝑛: 𝑙′ 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑡 𝑝: 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑔𝑒𝑠 ).
- L’ordre.
- La remise.
1) Les Applications :
Dans un ensemble de 𝑛 éléments. On tire avec remise 𝑝 éléments qui
sont ordonnée. Alors, 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) = 𝑛𝑝
Exemple 1: Un code se compose de 4 chiffres, combien de code peut-on
former ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 10 𝑒𝑡 𝑝 = 4
- L’ordre : 12 ≠ 21 ordonnées
- La remise : c’est avec remise car le même chiffre peut se
reproduire 4 fois
C’est une application, donc : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 104 = 10000
On peut former 10000 différents codes.
Exemple 2 : On lance un dé équilibré deux fois de suite. Quel est le
nombre des dispositions possibles ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 6 𝑒𝑡 𝑝 = 2
- L’ordre : ordonnée
- Avec remise.
C’est une application, donc : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 62 = 36
On obtient 36 dispositions possibles.
2) Les Arrangements :
Dans un ensemble de 𝑛 éléments, on tire sans remise 𝑝 éléments qui
𝑝
𝑛!
sont ordonnées. Alors, 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝐴𝑛 = (𝑛−𝑝)!
Règles de calcule :
𝑛! = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) ∗ … .∗ 1
5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120
Par convention : 1! = 1 𝑒𝑡 0! = 1
𝐴38 =
8!
8!
= = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
(8 − 3)! 5!
Exemple 3 : Combien de codes de 4 chiffres distincts peut-on former ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 10 𝑒𝑡 𝑝 = 4
- L’ordre : ordonnée
- Sans remise
4
C’est un Arrangement, donc : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝐴10
= 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 = 5040
On peut former 5040 différents mots de passe.
Exemple 4 : Parmi 100 étudiants, on veut former un comité comprenant
un président, un secrétaire et un trésorier. Combien de comité peut-on
former ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 100 𝑒𝑡 𝑝 = 3
- L’ordre : Ordonnée
- Sans remise
3
C’est un arrangement, donc : 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) = 𝐴100
3) Les Permutations : (Qui est un cas particulier des Arrangements)
Dans un ensemble de 𝑛 éléments qui sont ordonnées. On tire sans
remise tous les éléments. Alors, 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) = 𝑃𝑛 = 𝑛!
Exemple 5 : Un étudiant dispose de 3 livres, un de Math, un de Micro et
un d’Eco. Il veut les placé en rangé.
Combien y’a-t-il de disposition ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 𝑝 = 3
- Ordonnée
- Sans remise
C’est une permutation, donc : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝑃3 = 3! = 6
On peut ranger les livres de 6 dispositions différentes.
Remarque :
Si, 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑖
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠, 𝑃𝑛 =
𝑛!
𝑛1 !∗𝑛2 !∗…..∗𝑛𝑖 !
qui s’appelle
permutation avec répétition.
Exemple 6 : A l’aide des chiffres {6, 6, 1, 2, 2, 2} . Combien de nombre
peut-on former ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 𝑝 = 6
- Ordonnée
- Sans remise
On a une permutation avec répétition car le chiffre 6 se répète deux
fois, le chiffre 1 une fois et le chiffre 2 est refait trois fois, donc :
𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) =
6!
2!∗1!∗3!
= 60 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é𝑠
4) Les Combinaisons :
Dans un ensemble de 𝑛 éléments, on tire sans remise 𝑝 éléments qui
𝑝
𝑝
sont non-ordonnée. Alors, 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝐶𝑛 =
𝐴𝑛
𝑝!
=
𝑛!
𝑝!(𝑛−𝑝)!
Exemple 7 : Combien de comité de 4 personnes peut-on former avec 20
étudiants ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 20 𝑒𝑡 𝑝 = 4
- Non-ordonnée
- Sans remise
4
C’est une permutation : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝐶20
=
20!
4!(20−4)!
= 4845
On peut former 4845 comités.
Exemple 8 : Dans un ensemble de 10 hommes et 20 femmes.
On veut former un groupe de 5 personnes.
1) Combien de groupes peut-on former ?
2) Combien de groupes peut-on former si, il doit y’avoir des
personnes du même sexe ?
Solution :
- L’effectif : 𝑛 = 30 𝑒𝑡 𝑝 = 5
- Non-ordonnée
- Sans remise
1) C’est une Combinaison,
5
𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝐶30
=
30!
5!(30−5)!
= 142506 Possibilités
5
5
2) On doit avoir 5 hommes ou 5 femmes. Donc : 𝐶10
+ 𝐶20
5
5
𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 𝐶10
+ 𝐶20
=15756 possibilités.
