va aleatoires discretes

Variables al´eatoires r´eelles discr`etes
Dans tout ce chapitre, on se place dans un espace probabilis´e not´e (Ω,A, P ).
1 Loi d’une variable discr`ete
1.1 G´en´eralit´es
Maintenant que Ω peut ˆetre de taille infinie, il faut rajouter une condition pour avoir une variable
al´eatoire :
D´ efinition
X: Ω →Rest une variable al´eatoire discr`ete sur (Ω,A) si :
1. X(Ω) = {xi, i ∈I}o`u Iest une partie finie ou infinie de N.
Autrement dit X(Ω) est un ensemble fini ou d´enombrable.
2. pour tout i∈I, (X=xi) est un ´ev´enement : (X=ui)∈ A
−→ Pourquoi cette condition 2. ? Le but est de calculer des probabilit´es. Or une probabilit´e n’est d´efinie
que sur des ´ev´enements. Il faut donc s’assurer que ce que l’on ´etudie soit un ´ev´enement.
−→ Le cas des variables finies ´etudi´ees jusqu’`a maintenant, est un cas particulier des variables discr`etes.
Exemple 1 :
On effectue une infinit´e de lancers d’un d´e ´equilibr´e. On introduit la variable al´eatoire Xqui donne le
nombre de lancers n´ecessaires `a l’obtention du premier 1, si l’on obtient 1, et 0 si l’on n’obtient jamais 1.
Alors, introduite ainsi, on a : X(Ω) = [[1,+∞[[∪{0}=N.
En fait, beaucoup d’´enonc´es d´efiniront Xsans prendre la peine de d´efinir la valeur 0 c’est-`a-dire :
soit Xla variable al´eatoire ´egale au nombre de lancers n´ecessaires `a l’obtention du premier 1.
En effet : ces deux d´efinitions de Xreviennent au mˆeme car on a vu dans le chapitre pr´ec´edent que
presque sˆurement, on effectuera un nombre fini de lancers puisque d’apr`es le th´eor`eme de limite mono-
tone, P(X= 0) = P(”ne jamais obtenir 1” ) = lim
n→+∞P(”ne pas obtenir de 1 en nlancers”)=0.
Donc mˆeme avec la premi`ere d´efinition de X,Xne prend pas la valeur 0 presque sˆurement, et donc on
peut consid´erer que X(Ω) = N∗(ce que l’´enonc´e vous demandera de v´erifier).
Remarque Autant il n’est pas toujours possible de d´efinir Ω, autant il est indispensable de pr´eciser X(Ω)
d`es qu’une variable al´eatoire Xest introduite.
Th´eor`eme
Soit Xune variable al´eatoire discr`ete sur (Ω,A). Alors la famille ([X=k])k∈X(Ω) est un s.c.e. appel´e
syst`eme complet d’´ev´enements associ´e `a X.
Proposition Op´erations sur les variables al´eatoires
Soit X, Y deux variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,A) et soit λ∈R.
Alors X+Y, λX, XY, max(X, Y ),min(X, Y ) sont des variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,A).
−→ rappel : Z=min(X, Y ) est la variable al´eatoire d´efinie pour tout ω∈Ω par Z(ω) = min(X(ω), Y (ω)).
De mˆeme pour le max.
1.2 Loi de probabilit´e
D´ efinition
Soit Xune variable discr`ete sur (Ω,A, P ). On appelle loi de X(ou loi de probabilit´e de X) la donn´ee de
X(Ω) et des valeurs P(X=k) pour tout k∈X(Ω).
Retour exemple 1 : On effectue une infinit´e de lancers.
Xest le nombre de lancers de d´es n´ecessaires `a l’obtention du premier 1. X(Ω) = N∗. Loi de X?
On introduit pour tout k∈N∗les ´ev´enements Uk”obtenir un 1 au kie lancer”.
1

Alors (X= 1) = U1et P(X= 1) = 1/6. Puis pour tout k≥2, (X=k) = U1∩U2∩... ∩Uk−1∩Uket par
ind´ependance des lancers, on obtient P(X=k) = (5/6)k−1×1/6.
On v´erifie alors que
+∞
P
k=1
P(X=k) =
+∞
P
k=1
1
6(5 6)k−1=1 6
+∞
P
k=0
(5
6)k=1 6
1
1−5/6= 1.
Remarque 1 : Cela permettrait de montrer d’une autre fa¸con que P(X= 0) = 0 (alternative au
th´eor`eme de limite monotone) puisque P(X= 0) = 1 −
+∞
P
k=1
P(X=k)=1−1 = 0.
Remarque 2 : la convergence de la s´erie vient de la propri´et´e de σ−additivit´e de P(cf chapitre
pr´ec´edent) : en effet, la famille (X=k)k∈X(Ω) est form´ee d’´ev´enements deux-`a-deux incompatibles, donc
la s´erie P
k≥1
P(X=k) converge.
Propri´et´es importantes d’une loi de probabilit´e :
Soit Xune variable al´eatoire. Alors
1. ∀k∈X(Ω), P(X=k)≥0
2. La s´erie P
k∈X(Ω)
P(X=k) est convergente de somme 1.
Exemple :
Soit Xune variable al´eatoire d´efinie sur (Ω,A) telle que X(Ω) = {2k+ 1, k ∈N}et pour tout k∈N,
P(X= 2k+ 1) = a
3k+1 . D´eterminer aafin que l’on d´efinisse bien une loi de probabilit´e.
Les deux conditions qui doivent ˆetre r´ealis´ees sont :
1. ∀k∈N,a
3k+1 ≥0 donc il faut a≥0 et
2. la s´erie P
k≥0
a
3kdoit ˆetre convergente de somme 1. Or a 3k+1 =a
3×1
3kdonc la s´erie P
k≥0
a
3k+1 converge et sa
somme vaut a
3
+∞
P
k=0
1
3k=a
3
1
1−1/3=a
2. Il faut donc poser a= 2.
1.3 Fonction d’une variable r´eelle discr`ete
Comme dans le chapitre pr´ec´edent, on peut vouloir ´etudier des variables al´eatoires du type X2, ou ...
Proposition
Soit Xune variable discr`ete sur (Ω,A) et fune fonction r´eelle d´efinie sur X(Ω). Alors la variable
Y=f(X), d´efinie par : pour tout ω∈Ω, Y(ω) = f(X(ω)), est une variable al´eatoire discr`ete sur (Ω,A)
et
1. Y(Ω) = {f(k), k ∈X(Ω)}
2. pour tout y∈Y(Ω), P (Y=y) = P
k∈X(Ω)/f(k)=y
P(X=k)
1.4 Ind´ependance de variables discr`etes
D´ efinition
Soit Xet Ydeux variables al´eatoires discr`etes d´efinies sur un mˆeme espace (Ω,A, P ).
On dit que Xet Ysont ind´ependantes si
pour tout (i, j)∈X(Ω) ×Y(Ω), P([X=i]∩[Y=j]) = P(X=i)×P(Y=j).
Plus g´en´eralement :
D´ efinition
Soit nvariables al´eatoires discr`etes X1,X2, ... ,Xn, d´efinies sur un mˆeme espace (Ω,A, P ). On dit qu’elles
sont mutuellement ind´ependantes si pour tout (x1, x2, ..., xn)∈X1(Ω) ×X2(Ω) ×... ×Xn(Ω), on a
P([X1=x1]∩[X2=x2]∩... ∩[Xn=xn]) =
n
Q
k=1
P(Xk=xk).
2

2 Moments d’une variable al´eatoire discr`ete
2.1 Esp´erance
D´ efinition
Soit Xune variable al´eatoire discr`ete sur (Ω,A, P ).
On dit que Xadmet une esp´erance si X(Ω) est fini ou si la s´erie P
k∈X(Ω)
kP (X=k) converge absolument.
On appelle alors esp´erance de Xle r´eel E(X) = P
k∈X(Ω)
kP (X=k) (qui est la somme de la s´erie, lorsque
X(Ω) est infini).
Exemple 1 : X est le nombre de lancers de d´es n´ecessaires pour obtenir le chiffre 1.
On a vu que X(Ω) = N∗et que ∀k∈N∗,P(X=k) = (5/6)k−11/6.
Or pour tout k∈N∗,kP (X=k) = 1
6k(5/6)k−1≥, donc la convergence absolue revient `a la convergence
simple. De plus, on reconnait le terme g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique d´eriv´ee qui converge car |5
6[<1.
Donc Xadmet une esp´erance et E(X) = 1
6
1
(1−5
6)2= 6
Proposition lin´earit´e de l’esp´erance
Soit Xet Ydeux variables discr`etes sur (Ω,A, P ) admettant une esp´erance et a, b ∈R. Alors
1. la variable aX +badmet une esp´erance et E(aX +b) = aE(X) + b.
2. la variable X+Yadmet une esp´erance et E(X+Y) = E(X) + E(Y).
Proposition
Soit X, et Ydeux variables al´eatoires discr`etes d´efinies sur un mˆeme espace (Ω,A, P ).
1. Croissance de l’esp´erance : si Xet Yadmettent une esp´erance et v´erifient X≤Y,
alors E(X)≤E(Y).
2. Existence de l’esp´erance par domination : si Yadmet une esp´erance, et si Xet Y
v´erifient 0 ≤ |X| ≤ Y, alors Xadmet ´egalement une esp´erance et |E(X)| ≤ E(Y).
Proposition Formule de transfert admis
Soit Xune variable discr`ete sur (Ω,A, P ), et fune fonction r´eelle.
La variable al´eatoire f(X) admet une esp´erance si et seulement si X(Ω) est fini ou si
la s´erie P
k∈X(Ω)
f(k)P(X=k) converge absolument, et alors E(f(X)) = P
k∈X(Ω)
f(k)P(X=k) (qui est la
somme de la s´erie, lorsque X(Ω) est infini).
Cas particulier :f(x) = x2.
X2admet une esp´erance si X(Ω) est fini ou si la s´erie P
k∈X(Ω)
k2P(X=k) converge.
Et le cas ´ech´eant, E(X2) = P
k∈X(Ω)
k2P(X=k).
(Dans ce cas particulier, inutile de justifier la convergence absolue, car tous les termes sont positifs !)
2.2 Variance
D´ efinition
Soit Xune var discr`ete sur (Ω,A, P ).Sous-r´eserve d’existence, on appelle
1. moment d’ordre 2 de Xle r´eel E(X2).
2. variance de Xle r´eel V(X) = E[(X−E(X))2] (mesure l’´ecart entre Xet sa moyenne)
3. ´ecart-type de Xle r´eel σ(X) = pV(X)
3

Remarque
Xpeut admettre une esp´erance sans admettre de moment d’ordre 2.
Mais si Xadmet un moment d’ordre 2, alors Xadmet une esp´erance, et donc par contrapos´ee, si X
n’admet pas d’esp´erance alors Xn’admet pas non plus de moment d’ordre 2.
Pour le comprendre, soit Xune variable discr`ete avec X(Ω) = N.
Alors l’esp´erance existe si la s´erie P
k≥0
kP (X=k) converge et E(X2) existe si la s´erie P
k≥0
k2P(X=k). Or,
pour tout k≥0, k2≥kdonc (crit`ere de comparaison), si la s´erie de l’esp´erance diverge, l’autre aussi, et
si la s´erie associ´ee au moment d’ordre 2 converge, celle de l’esp´erance aussi !
Proposition
Xadmet un moment d’ordre 2 ssi Xadmet une variance et dans ce cas, V(X) = E(X2)−(E(X))2.
D´emonstration dans le cas X(Ω) = N, en notant m=E(X).
Variance : s´erie P
k≥0
(k−m)2P(X=k) et Moment d’ordre 2 : s´erie P
k≥0
k2P(X=k).
Or les termes sont tous positifs, et (k−m)2P(X=k)∼
k→+∞k2P(X=k), donc on peut conclure (crit`ere
par ´equivalence) que ces deux s´eries ont mˆeme nature. Puis dans le cas de convergence :
(X−E(X))2=X2−2XE(X) + E(X)2d’o`u par lin´earit´e de l’esp´erance,
V(X) = E[X2−2XE(X) + E(X)2] = E(X2)−2E(X)E(X) + E(X)2=E(X2)−E(X)2
Point m´ethode : pour r´epondre `a la question ”Xadmet-elle une variance ? Si oui la calculer”.
Lorsque Xadmet une esp´erance (sinon la r´eponse est non), ´etudier si Xadmet un moment d’ordre 2, et
le cas ´ech´eant utiliser la formule V(X) = E(X2)−E(X)2pour la calculer.
En g´en´eral, pour montrer que le moment d’ordre 2 existe, on ´etudiera directement la s´erie associ´ee `a
E(X2) mais dans certains cas il sera plus judicieux de montrer que X(X−1) admet une esp´erance (`a
l’aide de la formule de transfert). Puis de conclure `a l’aide de la lin´earit´e puisque en cas de convergence,
E(X2) = E(X(X−1)) + E(X).
Propri´et´es de la variance : g´en´eralisation
1. Si Xadmet une variance, alors V(X)≥0.
2. Si Xadmet une variance nulle (V(X) = 0) alors Xest une variable al´eatoire constante sur Ω
presque sˆurement, et r´eciproquement.
3. Si Xadmet une variance, alors pour tout (a, b)∈R2,aX +badmet une variance
et V(aX +b) = a2V(X).
D´ efinition
On dit que Xest une variable centr´ee r´eduite si E(X) = 0 et V(X) = 1.
Proposition
Soit Xune variable non constante (i.e. V(X)̸= 0). Alors la variable X∗=X−E(X)
σ(X)est une variable
centr´ee r´eduite, appel´ee variable centr´ee r´eduite associ´ee `a X.
3 Lois usuelles discr`etes infinies
3.1 Loi g´eom´etrique
D´ efinition
On effectue une infinit´e d’´epreuves mutuellement ind´ependantes. Chaque ´epreuve a deux issues : le succ`es
de probabilit´e p∈]0,1[ et l’´echec de probabilit´e (1 −p), et on introduit la variable X´egale au rang d’ap-
parition du premier succ`es, c`ad au nombre d’´epreuves n´ecessaires `a l’obtention du premier succ`es.
On dit alors que Xsuit la loi g´eom´etrique de param`etre pet on note : X → G(p).
4

−→ Xest le temps d’attente du premier succ`es dans un processus de Bernoulli sans m´emoire
Th´eor`eme Soit p∈]0,1[. Si une variable al´eatoire Xsuit la loi g´eom´etrique de param`etre palors
X(Ω) = N∗, et ∀n∈N∗,P(X=n) = p(1 −p)n−1
D´emonstration
Le premier succ`es peut arriver d`es la premi`ere ´epreuve, donc X(Ω) = N∗.
Introduisons pour tout i∈N∗, les ´ev´enements Si(resp. Ei) ” la ie´epreuve est un succ`es (resp. ´echec)”.
Alors ∀k∈N∗, (X=k) = E1∩E2∩. . . Ek−1∩Sket par ind´ependance mutuelle des ´epreuves
P(X=k) = P(E1)P(E2)...P (Ek−1)P(Sk) = (1 −p)k−1p.
On v´erifie que
+∞
P
k=1
p(1 −p)k−1=p
+∞
P
j=0
(1 −p)j=p1
1−(1−p)= 1. (ce qui permet aussi de justifier a posteriori,
que presque sˆurement on obtient au moins un succ`es donc que X(Ω) = N∗)
Remarque Soit le mod`ele suivant :
On effectue une succession d’´epreuves mutuellement ind´ependantes, jusqu’`a l’obtention du premier succ`es.
Chaque ´epreuve a deux issues : le succ`es de probabilit´e p∈]0,1[ et l’´echec de probabilit´e (1 −p).
Xest la variable al´eatoire ´egale au rang d’apparition du premier succ`es, c’est-`a-dire au nombre d’´epreuves
effectu´ees. On pourrait d´emontrer de la mˆeme mani`ere (en utilisant la formule des probabilit´es compos´ees
au lieu de la d´efinition de la mutuelle ind´ependance) que dans ce cas, on a aussi X → G(p).
Esp´erance et Variance
Si X → G(p) alors Xadmet une esp´erance et une variance et E(X) = 1
p,V(X) = 1−p
p2.
D´emonstration
Esp´erance : ´etude de la convergence absolue de la s´erie P
k≥1
kp(1 −p)k−1, ce qui revient `a la convergence
puisque la s´erie est `a termes positifs. Or pour k≥1, kp(1 −p)k−1=p[k(1 −p)k−1] ; on reconnaˆıt le terme
g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique d´eriv´ee convergente puisque 0 <p<1, donc 0 <1−p < 1.
Donc la s´erie converge, donc Xadmet une esp´erance et E(X) = p
+∞
P
k=1
k(1 −p)k−1=p
(1−(1−p))2=1
p.
Moment d’ordre 2 : ´etude de la convergence de la s´erie P
k≥1
k2p(1 −p)k−1.
Or pour tout k≥1, k2p(1 −p)k−1=p(1 −p)[k(k−1)(1 −p)k−2] + p[k(1 −p)k−1], combinaison lin´eaire de
termes g´en´eraux de s´eries g´eom´etriques convergentes.
Donc Xadmet un moment d’ordre 2 et E(X2) = p(1 −p)
+∞
P
k=1
k(k−1)(1 −p)k−2+p
+∞
P
k=1
k(1 −p)k−1
=2p(1−p)
(1−(1−p))3+p (1−(1−p))2=2(1−p) p2+1
p(on pourrait raccourcir en r´ealisant que la 2e s´erie est la s´erie de
l’esp´erance !)
Donc Xadmet une variance et V(X) = E(X2)−(E(X))2=2−p
p2−(1 p)2=1−p p2.
OU passer par E(X(X−1)) (m´ethode pr´esent´ee pour la loi de Poisson)
3.2 Loi de Poisson et mod´elisation
Soit θ > 0. On dit qu’une variable al´eatoire Xsuit une loi de Poisson de param`etre θ, not´ee P(θ)
si X(Ω) = Net ∀n∈N,P(X=n) = θn
n!e−θ
Remarque
On d´efinit bien ainsi une loi de probabilit´e car pour tout n∈N,θn
n!e−θ≥0, et
+∞
P
n=0
θn
n!e−θ=e−θeθ= 1.
Esp´erance et Variance
5