TD2 Electrostatique 2021-2022 Enoncé-FIN
électrostatique (Université Ibn Zohr)
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Travaux Dirigés
Électrostatique
2021/2022
―1―
Équipe Pédagogique d’électricité 1
UNIVERSITÉ IBN ZOHR
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
AGADIR
Un fil rectiligne non conducteur de longueur semi-infini est chargé avec une densité
de charge linéique positive et constante (FIG. (1)). On s’intéresse à l’étude du champ
électrostatique
créé par le fil semi infini aux points .
1) On veut à présent trouver le champ
créé par le fil semi-infini au point .
a) Déterminer l’expression du champ élémentaire
créé en par un
élément de longueur du fil semi-infini.
b) Déduire l’expression du champ
.
c) Quel est l’angle que fait le vecteur
avec la direction du fil ? Cet angle
dépend-il de la distance ?
d) En utilisant le principe de superposition, déduire l’expression du champ
en créé par un fil infini confondu avec l’axe et chargé avec une densité
linéique . Tracer ses lignes de champ sur un plan perpendiculaire au fil infini.
2) Déterminer le champ
créé par la distribution linéique au point .
3) Trouver le champ électrostatique
créé en un point repréré par l’angle .
Soit un fil de section négligeable et ayant la forme d’un arc circulaire de
rayon , de centre et d’angle (FIG. (2)). Le fil porte une charge électrique
répartie uniformément entre et .
1) Exprimer la densité de charge porté par en fonction de , et .
2) On prend , le cerceau ainsi obtenu, centré en et de rayon , porte une
charge de densité uniforme et l’axe est confondu avec l’axe du cerceau.
𝑴𝟐
FIG. (1)
𝒙
𝜽𝟎
𝑴𝟏
𝑫
𝑫
𝒙
𝑴𝟎
𝑫
𝒊
𝒋
𝑶
𝑶
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Travaux Dirigés
Électrostatique
2021/2022
―2―
Équipe Pédagogique d’électricité 1
a) Montrer par des considérations de symétrie que le champ électrostatique
au point est nul.
b) Montrer, sans calcul, que le champ
créé par le cerceau en un point de
l’axe est porté cet axe.
c) Établir l’expression de
. Don-
ner l’allure de en fonction de
.
3) On s’intéresse à présent au champ
créé par un disque de rayon
, uniformément chargé et de densité
surfacique en un point de l’axe .
Afin d’utiliser le résultat de la question
2) on admettra que est obtenu en
superposant un grand nombre de cer-
ceaux concentriques, de centre et dont
les rayons varient de à (FIG. (2)).
a) En considérant le principe de conser-
vation de charge électrique et en
écrivant que la charge portée par le
fil est maintenant portée par le
fil de même rayon mais d’épaisseur
, établir que . Quel est le
signe de ? Justifier.
b) Calculer l’intensité du champ élec-
trostatique
créé par au
point pour . Étudier la conti-
nuité de en . Conclure.
c) Établir les valeurs limites de
pour tendant vers zéro. Quelle
est la signification physique de ce ré-
sultat ?
1) Calculer le potentiel en tout point d’abscisse d’un axe orthogonal à un
disque de rayon uniformément chargé avec une densité surfacique de charges
(Fig. (3)).
2) Calculer en particulier le potentiel au point le centre du disque.
FIG. (2)
𝑴
𝒛
𝑫
𝒛
𝒅𝒓
𝑨
𝑭
𝑶
𝒓
𝜽
𝑨
𝑶
𝑴
𝒛
𝒓
𝑪
𝒛
𝑶
𝑴
𝒙
𝑹𝟎
𝒙
FIG. (3)
𝑶
𝑴
𝒙
𝑹𝟎
𝒅
𝒙
𝝈
𝝈
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Électrostatique
2021/2022
―3―
Équipe Pédagogique d’électricité 1
3) On considère, maintenant une plaque circulaire d’épaisseur et de rayon pour-
vue d’une densité surfacique de charges positive sur l’une de ses faces et d’une
densité surfacique de charges sur l’autre face (Fig. (4)).
a) Calculer le potentiel créé par cet ensemble en un point d’abscisse situé le
long de l’axe orthogonal à la plaque passant par son centre . On supposera que
et de manière à effectuer le développement limité approprié. On
supposera par ailleurs que le point appartient à la face chargée positivement.
b) Calculer ensuite le champ
au point .
Deux tiges en formes d’arcs de cercle de rayons et ( ) sont respective-
ment chargées uniformément avec les densités linéiques de charges et . Ces arcs
forment un angle symétrique par rapport à l’axe des (FIG. (4)).
1) Déterminer le potentiel électrostatique à l’origine , produit par la distribu-
tion positive en fonction de , et . En déduire le potentiel produit par la
distribution négative au point .
2) En utilisant le principe de superposition, calculer le potentiel électrostatique total
au point .
3) Quel serait le potentiel électrostatique à l’origine si les distribuions linéiques de
charges sont :
a)
et
b) et
L’ensemble de deux charges ponctuelles et situées respectivement aux points
et telles que , constituent un dipôle électrostatique que l’on caractérise par
𝑹𝟐
𝒚
𝒛
𝒙
𝜶
𝜽
𝑴𝟎𝟎𝒛
𝜽𝟎
𝜽𝟎
𝜽
𝑹𝟏
𝑹𝟐
𝒙
𝒚
FIG. (4)
𝑶
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Électrostatique
2021/2022
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Équipe Pédagogique d’électricité 1
son moment dipolaire
, où
est un vecteur unitaire porté par et di-
rigé de vers .
1) Étudier les symétries et les invariances du système ? Quelles en sont les consé-
quences pour le potentiel et champ
, en un point quelconque de
l’espace ?
2) Établir l’expression de dans le cas où en fonction de ,
et . On
désignera par l’angle formé par les vecteurs
et .
3) Déterminer les composantes , et de
en coordonnées sphériques.
4) Donner l’allure des lignes de champ et des surfaces équipotentielles du dipôle.
5) Le dipôle est placé dans un champ extérieur
quelconque.
a) Exprimer la force résultante et le moment du couple s’exerçant sur le dipôle en
fonction de son moment dipolaire.
b) Quelles sont les actions de ce couple et de la force sur le dipôle ? existe-il une
position d’équilibre du dipôle ?
c) Établir l’expression de l’énergie d’interaction entre le dipôle et le champ exté-
rieur en fonction des données du problème.
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