6 LES QUADRIPOLES 6.1 Définitions D’une manière générale, un quadripôle est décrit comme suit : vCA A vAB iA iC iB iD c vCD D B vBD On a : i A + iB + iC + iD = 0 v AB + vCA − vCD + v BD = 0 Cependant, le terme quadripôle est plutôt utilisé pour un circuit dont les bornes sont groupées par paire. Alors le courant entrant dans le pôle d’une paire ressort par l’autre pôle de la même paire. Nous avons le schéma équivalent suivant : v1 6.2 i1 i2 i1 i2 v2 Description matricielle du quadripôle Pour relier les 4 paramètres du quadripôle ( les deux courants et les deux différences de potentiel), il existent 4 représentations matricielles différentes: - matrices impédances - matrices admittances - matrices hybrides - matrices de transfert 6.2.1 Matrices impédances 2 équations sont suffisantes pour décrire le quadripôle On a : 47 v1 = f (i1 , i2 ) v2 = g (i1 , i2 ) Les deux équations sont : v1 = Z 11i1 + Z 12 i2 v 2 = Z 21i1 + Z 22 i2 L’unité des impédances Z ij sont les ohms (Ω) . L’indice i est relatif à la tension et indice j est relatif au courant. Sous forme matricielle nous avons : v1 Z 11 v = Z 2 21 Z 12 i1 . Z 22 i2 v = Z.i v est le vecteur colonne des tensions et i est le vecteur colonne des courants. Z est la matrice impédance de dimension 2x2 Définition 1 : un quadripole est dit réciproque si les termes de la seconde diagonale sont égaux : Z 12 = Z 21 . Cette propriété est caractéristique des quadripôles réciproques composés d’éléments passifs (sans générateur de courant et de tension). Définition 2 : Si de plus, les termes de la première diagonale sont égaux : Z 11 = Z 22 , on dit que le quadripole est symétrique. Exemple 1 : quadripôle en T i1 Z1 Z2 i2 Z3 v1 i1 i1+i2 v2 i2 Nous avons les deux relations suivantes en appliquant la loi des mailles : v1 = Z 1i1 + Z 3 (i1 + i2 ) = ( Z 1 + Z 3 )i1 + Z 3 i2 v 2 = Z 2 i2 + Z 3 (i1 + i2 ) = Z 3 i1 + ( Z 2 + Z 3 )i2 Ainsi, on a : 48 Z + Z 3 Z= 1 Z3 Z3 Z 2 + Z 3 Ce quadripole est réciproque. Il est symétrique à la condition que Z 2 = Z 1 Nous allons maintenant nous interesser à l’interprétation physique de chacun des différents coefficients de la matrice impédance. Z 11 = v1 i1 i2 = 0 Z 11 est l’impédance vue de l’entrée en laissant la sortie du quadripole en circuit ouvert ( i2 = 0 ) Z 22 = v2 i2 i1 = 0 Z 22 est l’impédance vue de la sortie en laissant l’entrée du quadripôle en circuit ouvert ( i1 = 0 ) Z 12 = v1 i2 i1 = 0 Z 12 est l’impédance de transfert inverse ou transimpédance inverse obtenue avec l’entrée du quadripôle en circuit ouvert ( i1 = 0 ) Z 21 = v2 i1 i2 = 0 Z 21 est l’impédance de transfert directe ou transimpédance obtenue avec la sortie du quadripôle en circuit ouvert ( i2 = 0 ) Ces définitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci. Exemple 1 : (suite) quadripôle en T i1 Z1 Z2 i2 Z3 v1 i1 i1+i2 v2 i2 cas i2 = 0 Z 11 = Z 21 = v1 i1 v2 i1 = Z1 + Z 3 i2 = 0 = Z3 i2 =49 0 Z1 i1 Z3 v1 v2 i1 i1 cas ii = 0 Z12 = Z2 v1 i2 Z 22 = Z3 v2 i2 i2 v1 i2 v2 i2 = Z3 i1 = 0 = Z2 + Z3 i1 = 0 Nous retrouvons les résultats calculés précédemment. Exemple 2 : quadripôle en pi i1 Z3 i i2 Z2 Z1 v1 i1-i i1 i2+i v2 i2 i v1 = Z 11i1 + Z 12 i2 v 2 = Z 21i1 + Z 22 i2 Comme dans l’exemple précédent, nous allons considérer successivement les cas i2 = 0 et i1 = 0 . cas i2 = 0 i1 Z3 i Z2 Z1 v1 i1 i1-i i v2 i Z 11 = v1 i1 = Z1 // ( Z 2 + Z 3 ) i2 = 0 = Z1 ( Z 2 + Z 3 ) Z1 + Z 2 + Z 3 50 Z 21 = v2 i1 i2 = 0 Pour déterminer ce coefficient, nous devons calculer la relation entre i et i1 . On a : v1 = Z1 (i1 − i ) = ( Z 3 + Z 2 )i Soit i1 Z 3 + Z 2 + Z1 = i Z1 D’ou Z 21 = v2 i1 v2 i i i1 = i2 = 0 = i2 = 0 Z 2 Z1 Z 3 + Z 2 + Z1 cas i1 = 0 Z3 i i2 Z2 Z1 v1 i2+i v2 i2 i Z 22 = Z12 = v2 i2 v1 i2 = Z2 // ( Z 1 + Z 3 ) = i1 = 0 Z 2 (Z1 + Z 3 ) Z1 + Z 2 + Z 3 i1 = 0 Pour déterminer ce coefficient, nous devons calculer la relation entre i et i2 . On a : v2 = Z 2 (i2 + i ) = −( Z 3 + Z1 )i Soit Z + Z 2 + Z1 i2 =− 3 i Z2 D’ou 51 Z 12 = v1 i2 = i1 = 0 v1 i i i2 = i1 = 0 Z 2 Z1 Z 3 + Z 2 + Z1 En résumé, nous avons : Z1 ( Z 2+ Z 3 ) Z + Z + Z 2 3 Z= 1 Z1 Z 2 Z1 + Z 2 + Z 3 Z1 Z 2 Z1 + Z 2 + Z 3 Z 2 ( Z 1+ Z 3 ) Z1 + Z 2 + Z 3 Le quadripole est donc réciproque. Il est symétrique si Z1 ( Z 2 + Z 3 ) = Z 2 ( Z1 + Z 3 ) ⇔ Z1 = Z 2 6.2.2 Matrices admittances On utilisent les deux équations suivantes pour décrire le quadripôle : i1 = Y11v1 + Y12 v2 i2 = Y21v1 + Y22 v2 −1 L’unité des admittances Yij sont les ohms-1 (Ω ) . L’indice i est relatif au courant et indice j est relatif à la tension. Sous forme matricielle nous avons : i1 Y11 Y12 v1 i = Y .v Y 2 21 22 2 i = Y.v i est le vecteur colonne des courants et v est le vecteur colonne des tensions. Y est la matrice admittance de dimension 2x2 On a la relation suivante entre Y , la matrice admittance et Z , la matrice impédance d’un quadripôle. v = Z.i = Z.Y.v ⇒ Z.Y = I où I est la matrice identité. Ainsi, nous avons : Y = Z −1 La matrice Y est l’inverse de la matrice Z . Le passage de l’une à l’autre implique d’inverser la matrice (voir cours de mathématiques sur les matrices). 52 On a les relations entre les éléments de la matrice admittance Y et la matrice impédance Z : [Z ] = Z 11 Z 21 Z 12 . Z 22 Y Y = 11 Y21 ⇒ Z 22 Y12 Z Z − Z 12 Z 21 . = 11 22 − Z 21 Y22 Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 − Z 12 Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 Z 11 Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 Nous allons maintenant nous interesser à l’interprétation physique de chacun des différents coefficients de la matrice admittance. Y11 = i1 v1 v2 = 0 Y11 est l’admittance vue de l’entrée lorsque la sortie du quadripôle est en court-circuit ( v2 = 0 ) Y22 = i2 v2 v1 = 0 Y22 est l’admittance vue de la sortie lorsque l’entrée du quadripôle est en court-circuit ( v1 = 0 ) Y12 = i1 v2 v1 = 0 Y12 est l’admittance de transfert inverse obtenue avec l’entrée du quadripôle en court-circuit ( v1 = 0 ) Y21 = i2 v1 v2 = 0 Y21 est l’admittance de transfert directe obtenue avec la sortie du quadripôle en court-circuit ( v2 = 0 ) Ces définitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci. Exemple 2 : (suite) quadripôle en pi i1 Z3 i Z2 Z1 v1 i1 Soit Y1 = i2 i1-i i2+i i2 v2 1 1 1 , Y2 = et Y3 = , Z1 Z2 Z3 Soit i le courant circulant dans l’admittance Y3 . On a i = Y3 (v1 − v 2 ) i Les équations associées à la matrice admittance sont les suivantes : 53 i1 = Y1v1 + i = (Y1 + Y3 )v1 − Y3 v 2 i2 = Y2 v 2 − i = −Y3 v1 + (Y2 + Y3 )v 2 D’où les éléments de la matrice admittance suivants : Y11 = Y1 + Y3 Y12 = Y21 = −Y3 Y22 = Y2 + Y3 et Ces éléments de la matrice admittance peuvent être vérifiés en utilisant les relations entre les éléments de la matrice admittance Y et ceux de la matrice impédance Z calculés au paragraphe précédent. 6.2.3 Matrices hybrides On utilisent les deux équations suivantes pour décrire le quadripôle : v1 = h11i1 + h12 v2 i2 = h21i1 + h22 v2 Sous forme matricielle nous avons : v1 h11 i = h 2 21 h12 i1 . h22 v2 v1 i1 = H . i v 2 2 H est la matrice hybride de dimension 2x2 Les matrices hybrides sont utilisées en particulier dans l’étude des transistors. Nous avons : h11 = v1 i1 v2 = 0 h11 est l’impédance d’entrée lorsque la sortie du quadripôle est en court-circuit ( v2 = 0 ) h12 = v1 v2 i1 = 0 h12 est le gain en tension inverse lorsque l’entrée du quadripôle est ouverte ( i1 = 0 ) h21 = i2 i1 v2 = 0 54 h21 est le gain en courant obtenu avec la sortie du quadripôle en court-circuit ( v 2 = 0 ) h22 = i2 v2 i1 = 0 h22 est l’admittance de sortie lorsque l’entrée du quadripôle est ouverte ( i1 = 0 ) 6.2.4 Matrice de transfert ou matrice chaîne Cette matrice est très pratique pour la mise en cascade des quadripôles. i1 v1 v2 générateu r v3 charge Les relations définissant la matrice de transfert T sont les suivantes : v1 = Av 2 − Bi2 i1 = Cv 2 − Di2 i2 i1 v1 i1 matrice de transfert T i2 v2 Soit sous forme matricielle : v1 A B v 2 i = C D .− i 2 1 Attention : contrairement aux autres représentations matricielles, pour la matrice de transfert T on utilise le courant − i 2 (courant sortant du quadripole) à la place du courant i2 (courant entrant dans le quadripole) Ce formalisme permet de simplifier les calculs lorsque nous associerons plusieurs quadripoles en cascade. A et D sont sans dimension B est une impédance en ohm et C une admittance en ohm-1 6.3 Schémas équivalents du quadripôle Ces schémas se déduisent directement des relations matricielles impédance, admittance et hybride. 55 6.3.1 Représentation matricielle impédance Z11 Z22 Z12i2 Z21i1 i1 v1 6.3.2 6.3.3 6.4 v 2 = Z 21i1 + Z 22 i2 v2 Y12v2 Y21v1 Y11 i2 i1 = Y11v1 + Y12 v2 v2 Y22 i2 = Y21v1 + Y22 v2 Représentation matricielle hybride i1 h11 v1 v1 = Z 11i1 + Z 12 i2 Représentation matricielle admittance i1 v1 i2 h12v2 h21i1 v1 = h11i1 + h12 v2 i2 h22 i2 = h21i1 + h22 v2 v2 Association de quadripôles Suivant l’association de quadripôles, nous choisirons la matrice la plus appropriée. 6.4.1 Association série 56 i1 i'2 i'1 v'1 v1 Quadripole Q' i''1 i1 v''1 i2 v'2 v2 i''2 Quadripole Q'' i''1 v''2 i2 i''2 On a les relations suivantes : v1 = v'1 + v"1 et v 2 = v' 2 +v"2 v'1 = Z '11 i '1 + Z '12 i ' 2 v' 2 = Z ' 21 i '1 + Z ' 22 i ' 2 Comme i1 = i '1 = i"1 équivalent : v"1 = Z "11 i"1 + Z "12 i"2 v"2 = Z "21 i"1 + Z "22 i"2 et i2 = i ' 2 = i"2 nous pouvons écrire les relations suivantes pour le quadripole v1 = Z 11i1 + Z 12 i2 = ( Z '11 + Z "11 )i1 + ( Z '12 + Z "12 )i2 v 2 = Z 21i1 + Z 22 i2 = ( Z ' 21 + Z "21 )i1 + ( Z ' 22 + Z "22 )i2 Ainsi sous forme matricielle, la matrice impédance du quadripole équivalent est égal à la somme des matrices impédances : [Z] = [Z'] + [Z"] On ajoute terme à terme les éléments de même indice. 6.4.2 Association parallèle 57 v1 i'2 i'1 i1 v'1 i1 v'2 Quadripole Q' i2 v2 i''2 i''1 v''1 i2 v''2 Quadripole Q'' i''1 i''2 On a les relations suivantes : i1 = i '1 +i"1 i2 = i ' 2 +i"2 et i '1 = Y '11 v'1 +Y '12 v' 2 i ' 2 = Y ' 21 v'1 +Y ' 22 v' 2 Comme v1 = v '1 = v"1 équivalent : i"1 = Y "11 v"1 +Y "12 v"2 i"2 = Y "21 v"1 +Y "22 v"2 et v 2 = v ' 2 = v"2 nous pouvons écrire les relations suivantes pour le quadripole i1 = Y11v1 + Y12 v 2 = (Y '11 +Y "11 )v1 + (Y '12 +Y "12 )v 2 i2 = Y21v1 + Y22 v 2 = (Y ' 21 +Y "21 )v1 + (Y ' 22 +Y "22 )v 2 Ainsi sous forme matricielle, la matrice admittance du quadripole équivalent est égal à la somme des matrices admittances : [Y] = [Y'] + [Y"] On ajoute terme à terme les éléments de même indice. 6.4.3 Association en cascade i1 v1 i1 i'2 i'1 v'1 Quadripole Q' v'2 i'2 i''2 i''1 v''1 v2 Q'' Quadripole i''1 v''2 i2 i2 v2 i''2 Nous allons chercher à déterminer la matrice de transfert du quadripôle résultant de cette association. Chaque quadripôle est défini par sa matrice de transfert : A' B' C ' D' Quadripole Q’ : T' = A" B" C" D" Quadripole Q’’ : T" = 58 Dans cette association, nous avons les relations suivantes entre les courants et entre les différences de potentiel : i1 = i '1 i"1 = −i ' 2 i"2 = i2 v1 = v'1 v' 2 = v"1 v"2 = v 2 On a donc les relations suivantes pour le premier quadripôle : v1 = v'1 = A' v' 2 − B' i ' 2 = A' v"1 + B' i"1 i1 = i '1 = C ' v' 2 − D' i ' 2 = C ' v"1 + D' i"1 Pour le second quadripole, nous avons : v' 2 = v"1 = A" v"2 − B" i"2 = A" v 2 − B" i2 − i ' 2 = i"1 = C" v"2 − D" i"2 = C" v 2 − D" i2 D’où : v1 = A' ( A" v"2 − B" i"2 ) + B' (C" v"2 − D" i"2 ) i1 = C ' ( A" v"2 − B" i"2 ) + D' (C" v"2 − D" i"2 ) Ainsi on en déduit les relations entre v1 , i1 , v 2 et i2 : v1 = ( A' A"+ B' C" )v 2 − ( A' B"+ B' D" )i2 i1 = (C ' A"+ D' C" )v 2 − (C ' B"+ D' D" )i2 A' A"+ B' C" A' B"+ B' D" T= C ' A"+ D' C" C ' B"+ D' D" La matrice T du quadripole Q obtenu par la mise en cascade de deux quadripoles Q’ et Q’’ est égale au produit matriciel des matrices T’ et T’’ : [T ] = [T '][. T "] Toutes ces associations de quadripoles se généralisent à un nombre n de quadripoles. 6.5 Fonctions de transfert d’un quadripôle ZL i1 v1 e générateur i2 Z ZC v2 charge 59 En utilisant la matrice impédance, on a les relations suivantes : v1 = Z 11i1 + Z 12 i2 equation (1) v 2 = Z 21i1 + Z 22 i2 equation (2) e = Z L i1 + v1 equation (3) v 2 = − Z C i2 equation (4) Les grandeurs intéressantes sont : v2 v1 Tv = gain en tension du quadripole. Ce gain est sans dimension (réel ou complexe) TC est toujours inférieur à 1 pour un quadripole passif. Ti = i2 i1 gain en courant ZE = v1 i1 impédance d’entrée ZS = v2 i2 impédance de sortie • Gain en courant Ti = i2 i1 En combinant les équations (2) et (4), on obtient : − Z C i 2 = Z 21i1 + Z 22 i 2 D’où : Ti = i2 Z 21 =− equation (5) i1 Z C + Z 22 On peut observer que le gain en courant dépend de la charge Z C • Gain en tension Tv = v2 v1 On va exprimer v1 en fonction de v 2 à partir des équations (1),(4) et (5). v2 ZC Z + Z 22 v 2 Z + Z 22 (5) => i1 = − C i2 = − C Z 21 Z 21 ZC (4) => i2 = − 60 v1 = − Z11 (1) => Z v2 Z C + Z 22 v 2 − 12 v 2 = [Z11 ( Z C + Z 22 ) − Z12 Z 21 ] ZC Z C Z 21 Z 21 Z C En posant ∆Z = Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 ( ∆Z est le déterminant de la matrice impédance Z ) On obtient finalement : Tv = • Z C Z 21 v2 = v1 Z 11 Z C + ∆Z Impédance d’entrée ZE = v1 c’est l’impédance vue de l’entrée du quadripole i1 (1) => v1 = Z 11i1 − Z 12 ZE = • Z ( Z + Z 22 ) − Z 12 Z 21 Z 21 i1 i1 = 11 C Z C + Z 22 Z C + Z 22 v1 Z C Z 11 + ∆Z = i1 Z C + Z 22 Impédance de sortie ZS = v2 i2 C’est l’impédance vue de la sortie du quadripole obtenue en annulant le générateur à l’entrée du quadripole. Pour déterminer cette impédance, il convient d’annuler le générateur i2 i1 ZL v1 Z v2 ZS (1) et (3) => v1 = − Z L i1 = Z 11i1 + Z 12 i 2 i1 = − Z 12 i2 Z 11 + Z L (2) => v 2 = Z 21i1 + Z 22 i2 = − ZS = − Z 21 Z 12 + Z 11 Z 22 + Z L Z 22 Z 21 Z 12 i2 + Z 22 i2 = Z 11 + Z L Z 11 + Z L v 2 Z L Z 22 + ∆Z = i2 Z 11 + Z L 61 i2 62
