Chapitre1 Electrostatique des milieux matériels (1)

Chapitre 1
Électrostatique des milieux matériels
Dans le cours de 1èr année, l’étude de l’électrostatique des milieux matériels a été limitée
aux conducteurs dont les propriétés électrostatiques sont contrôlées par la présence d’un
grand nombre d’électrons libres de se mouvoir dans le système. Dans ce chapitre, nous
allons nous intéresser aux matériaux isolants, dans lesquels les électrons ne sont plus libres
mais plutôt liées à leurs noyau atomique.
Les propriétés électrostatiques de ces deux classes de matériaux sont différentes. Par
exemple, l’application d’un champ électrique, entraine dans le cas d’un conducteur, une
répartition de charge, telle que le champ à l’intérieur du conducteur est nul. Par contre, dans
un isolant, sous l’effet du champ électrique les charges positives et négatives subissent des
déplacements microscopiques opposés engendrant un effet dipolaire . On dit que le matériau
est polarisé. Globalement, la charge totale est conservée. La conséquence du phénomène de
polarisation est qu’un champ électrique peut régner dans les matériaux isolants sans que
ceux-çi soient pour autant traversés par un courant.
On appelle ces matériaux isolants les diélectriques et on les classe en deux catégories
selon qu’ils possèdent une polarisation permanente ou induite sous l’action d’un champ
électrique extérieur.
1.1
1.1.1
Polarisation de la matière
Caractéristiques électriques d’un atome (Modèle classique de Mossotti)
Un atome, de numéro atomique Z, non ionisé peut être assimilé à un noyau de charge
Ze, autour duquel gravite un nuage électronique sphérique de charge −Ze. L’atome est
globalement neutre, de plus le barycentre des charges négatives coı̈ncide avec celui du
noyau. Cet atome ne présente pas de dipôle permanent (fig 1.1 a).
1
1.1. POLARISATION DE LA MATIÈRE
⃗ 0 , le barycentre du noyau et celui de charges négatives
Sous l’effet d’un champ électrique E
ne sont plus confondus, l’atome tout en restant neutre, présente maintenant un moment
dipolaire induit.
⃗ 0 , ⃗0
Figure 1.1 – Modèle de l’atome : a) absence de champ électrostatique. b) présence d’un champE
On se place dans le repère lié aux électrons, l’équilibre est atteint lorsque la force exercée
−
→
sur le noyau est nulle. On suppose que E0 n’est pas intense de telle sorte que le nuage
3Ze
électronique reste une sphère de rayon atomique a0 et de densité volumique ρ = − 4πa
3 . Pour
0
⃗ e auquel est soumis le noyau on utilise le théorème de Gauss :
calculer E
#
ρdτ
qint
−
→
3Ze
4πa3
v
⃗ e · dS =
Φ=
E
=
=−
×
ε0
ε0
3
4πa3
(1.1)
0
−Ee 4πa2 =
Ee =
−Zea3
.
a30
(1.2)
Zea
4πε0 a30
(1.3)
A l’équilibre :
−
⃗e + E
⃗0 = →
E
0 ⇒ E0 −
Zea
=0
4πε0 a30
(1.4)
Et donc la position d’équilibre du noyau est fonction de E0 :
a=
4πε0 a30
Ze
E0
(1.5)
Le décalage des barycentres des charges positives et négatives caractérise le comportement
électrostatique d’un atome neutre placé dans un champ électrique.
L’atome est donc équivalent à un dipôle électrostatique de moment ⃗
p orienté dans le sens
−
→
du champ E0 :
−
→
−
→
⃗
p = Ze⃗a = 4πε0 a30 E0 = αE0
(1.6)
Le coefficient α est appelé coefficient de polarisabilité électronique de l’atome.
Ordre de grandeur
En prenant un rayon de Bohr moyen a0 = 5.10−11 m, on obtient :
α = 10−40 Cm2 /v
Benyoucef
2
Électromagnétisme
1.1. POLARISATION DE LA MATIÈRE
1.1.2
Généralisation aux molécules
Comme l’atome, une molécule non ionisée est neutre. Dans le cas de molécules symétriques
(O2 , N2 , CO2 , C6 H6 .... ), le barycentre des charges positives est confondu avec celui des charges
négatives , la molécule ne présente pas de moment dipolaire permanent. En revanche si la
molécule est dissymétrique (H2 O, HCl), le barycentre des charges positives et négatives sont
−
distincts, la molécule possède dans ce cas un moment dipolaire permanent →
p .
0
Dans le cas général, une molécule placée dans un champs électrique présente le moment
−p :
dipolaire →
→
−
→
−p = →
−
p0 + α̃˜ E
(1.7)
α̃˜ est un tenseur appelé tenseur de polarisabilité électronique de la molécule.
1.1.3
Caractéristiques électriques d’un système dense d’atomes ou de molécules
On considère un système constitué d’une grande quantité d’atomes ou de molécules. On
suppose que l’ensemble est globalement neutre. Chaque atome ou molécule peut présenter
un moment dipolaire induit ou éventuellement un moment dipolaire permanent. Dans le
cadre de cette étude, on ne se place pas à l’échelle atomique ou moléculaire mais plutôt à une
échelle plus grande où le caractère discret des atomes et des molécules disparait au profit
d’une description continue du milieu. La notion de dipôle individuel s’efface devant celle
→
−
de la densité de polarisation P :
→
−
P = N⃗
p
(1.8)
→
−
N est le nombre d’atomes ou de molécules par unité de volume. Notons que P est homogène
à une charge par unité de surface et non à un dipôle.
Chaque élément de volume dτ pourra être considéré comme ayant un moment dipolaire
élémentaire d⃗
p:
→
−
d⃗
p = P dτ = N⃗
pdτ
⃗
p peut être permanent ou induit
(1.9)
Remarque : Dans le cas de systèmes denses, on parlera aussi de polarisation induite d’orientation.
Benyoucef
3
Électromagnétisme
1.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DIÉLECTRIQUES
1.2
Champ électrique, potentiel et charges de polarisation dans les
diélectriques
1.2.1
Charges de polarisation
Le champ électrique à l’intérieur du diélectrique correspond à la moyenne du champ
local. Pour que cette moyenne ait un sens, elle devrait être faite sur des temps grands devant
le temps caractéristiques des fluctuations temporelles de chaque dipôle ( 10−16 s) et sur des
dimensions grandes devant la distance interatomique ou intermoléculaire. Cette approche
est laborieuse.
Le champ électrique local, doit vérifier les deux équations fondamentales de l’électrostatique :
−
⃗ ∧E
⃗ loc = →
∇
0
(1.10)
→
−
Ce qui implique que le champ E loc dérive d’un potentiel Vloc
⃗ ·E
⃗ loc =
∇
ρloc
ε0
(1.11)
ρloc est la densité locale de charges.
Les moyennes des équations 1.10 et 1.11 permettent d’écrire :
−
⃗ ∧E
⃗ =→
∇
0
(1.12)
⃗ dérive d’un potentiel V qui décrit le potentiel à l’extérieur et
Ce qui signifie que le champ E
à l’intérieur et il est égale à la moyenne des potentiels locaux.
⃗ ·E
⃗ = ρ/ε0
∇
(1.13)
ρ représente la densité moyenne locale des charges dans l’isolant, bien entendu, la charge
total du diélectrique est nulle, puisqu’il est globalement neutre.
A quoi correspond cette densité volumique de charges ?
Pour répondre à cette question, on calcule le champ et le potentiel électrostatiques créés
par un diélectrique.
1.2.1.1
Champ et potentiel électriques créés à l’extérieur du diélectrique
Considérons un diélectrique de volume V et de surface S caractérisé à l’échelle macro⃗
scopique par une polarisation P.
⃗ r⃗′ )dτ crée
L’ élément de volume dτ centré autour du point M’ et de moment dipolaire P(
le potentiel élémentaire dV(M).
Benyoucef
4
Électromagnétisme
1.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DIÉLECTRIQUES
⃗
Figure 1.2 – Diélectrique de densité de polarisation P
⃗·u
⃗M′ M dτ
1 P
1 Pdτ cos θ
=
2
4πε0 ⃗r − ⃗r ′
4πε0 ⃗r − ⃗r ′ 2
M
M
M
M




⃗M′ M
1
u
⃗ M′ 
 =
∇


2
⃗rM − ⃗rM′
⃗rM − ⃗rM′
dV(M) =
(1.14)
(1.15)


 dτ


− ⃗ 
1
1 →
dV(M) =
P · ∇r′ 
4πε0
⃗rM − ⃗rM′
(1.16)
Le potentiel total V(M) au point M est la superposition des différents potentiels élémentaires.


$


1
1
⃗
 dτ

⃗
(1.17)
V(M) =
P · ∇ 

4πε0
′
⃗
⃗
rM − rM
V
En utilisant la relation vectorielle :



⃗
 −→ 

1
P
⃗ r′ 
 = ∇r′ 
⃗·∇
P



⃗rM − ⃗rM′
⃗rM − ⃗rM′


 −

1
⃗rM − ⃗rM′
−→ ⃗
∇r′ P
(1.18)
On peut écrire V(M) :
1
V(M) =
4πε0
$
V

−→ 
∇r′ 
Soit :
1
V(M) =
4πε0
⃗
P
⃗rM − ⃗rM′
"
S

$

−→ ⃗
1
 dτ − 1
∇r′ Pdτ

4πε0
rM − ⃗rM′
V ⃗
→
→
− −
P · dS
⃗rM − ⃗rM′
1
−
4πε0
"
V
⃗ r′ P
⃗ · dτ
∇
(1.19)
(1.20)
⃗rM − ⃗rM′
Donc le potentiel crée au point M par le diélectrique est équivalent à celui qui créeraient
en M des charges dites de polarisation ou charges fictives, réparties en surface et en volume,
de densité respective :
→
−
σp = P · ⃗n
et
−
⃗ ·→
ρp = −∇
P
(1.21)
→
−n étant la normale à la surface.
Soulignons qu’il ne s’agit pas de charges supplémentaires, mais d’une description cohérente
du système en terme de grandeurs moyennes. Ce sont des charges fictives.
Benyoucef
5
Électromagnétisme
1.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DIÉLECTRIQUES
Ainsi, du point de vue des propriétés électrostatiques macroscopiques, un diélectrique
→
−
peut être considéré comme un système présentant une densité surfacique de charges σp = P ·⃗n
−
⃗ ·→
et une densité volumique ρp = −∇
P.
Dans le cas d’une polarisation uniforme le système diélectrique neutre obéit à l’équation
de Laplace : ∆V = 0.
Dans le cas d’une polarisation non uniforme : ∆V +
ρ
ε0
= 0;
On peut vérifier que la somme algébrique des charges de polarisation est nulle, en effet :
Z
Z
⃗ −
div Pdτ
⃗ · ⃗ndS = 0
P
(1.22)
s
v
Le diélectrique peut être chargé, les charges correspondantes sont dites libres, et dans ce
cas :
1
V(M) =
4πε0
"
S
⃗ · ⃗n
P
⃗rM − ⃗rM′
1
dS −
4πε0
$
⃗P
⃗
∇
V
⃗rM − ⃗rM′
1
dτ +
4πε0
$
V
ρl dτ
⃗rM − ⃗rM′
(1.23)
ρl = densité volumique de charges libres.
Calcul du champ électrique à l’extérieur du diélectrique :
Le champ électrique crée par le diélectrique en un point M est donnée par la relation :
−−−→
→
−
E (M) = − gradV(M)
→
−
E (M) =
1.2.2
1
4πε0
"
S
⃗n
1
P.⃗
−
2
→
−r − →
−r ′
4πε0
M
M
$
V
(1.24)
$
⃗ M′ P
⃗
ρl dτ
∇
→
−u ′ dτ + 1
MM
2
2
→
−r − →
−r ′
4πε0
V ⃗
rM − ⃗rM′
M
M
(1.25)
Potentiel et champ électrostatique à l’intérieur d’un diélectrique
Le calcul du potentiel à l’extérieur du diélectrique repose sur l’approximation dipolaire,c’est à dire, le point M est très éloigné de la distribution dipolaire. Par contre à l’intérieur
du diélectrique, au voisinage immédiat du point où l’on calcule le potentiel, il existe un grand
nombre de molécules polarisées et donc :
dV =
⃗
1 Pdτ
⃗r n’est plus applicable.
4πε0 r3
(1.26)
Pour résoudre ce problème, on considère un diélectrique de surface S et de volume V,
contenant une surface sphérique creuse S’ de rayon R et entourant le volume V’. Du point de
vue macroscopique V’ est extrêmement petit mais suffisamment grand pour que le potentiel
crée en M centre de V’ vérifie l’approximation dipolaire vis à vis des molécules de V-V’. Le
potentiel au point M s’obtient en superposant le potentiel crée par V-V’ et par V’.
Benyoucef
6
Électromagnétisme
1.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DIÉLECTRIQUES
Figure 1.3 – Calcul du champ à l’intérieur du diélectrique
1.2.2.1
⃗ 1 crées en M par V-V’
Potentiel V1 et champ électrostatique E
1
V1 (M) =
4πε0
"
⃗n
P.⃗
$
1
+
4πε0
⃗P
⃗
−∇.
1
dτ +
4πε0
"
⃗n
P.⃗
dS
⃗rM − ⃗rM′
(1.27)
"
$
"
→
−
⃗
⃗
⃗
⃗
→
−
1
P.⃗n. u M′ M dS
1
∇M′ P
1
P.⃗n
→
−u
dS
E 1 (M) =
−
MM′ +
2
2
2
→
−
→
−
→
−
→
−
4πε0
4πε0
4πε0
S r M − r M′
V−V ′ r M − r M′
S′ ⃗
rM − ⃗rM′
(1.28)
→
− →
−
A l’échelle macroscopique, le rayon R de la cavité S’ est très petit, de telle sorte que E , P et
→
−→
−
ρp = − ∇ P y sont uniformes en tout point de V’ ce qui implique.
S
⃗rM − ⃗rM′
dS
M′
$
V−V ′
⃗ P⃗
⃗ uM′ M
−∇.
V′
⃗rM − ⃗rM′
2
⃗rM − ⃗rM′
dτ = 0
S′
(1.29)
Ce qui implique :
$
⃗ P⃗
⃗ uM′ M
−∇.
V−V ′
⃗rM − ⃗rM′
Calcul de l’expression :
1
4πε0
Benyoucef
"
S′
2
$
⃗ P⃗
⃗ uM′ M
−∇.
dτ =
V
⃗n
P.⃗
⃗rM − ⃗rM′
7
⃗rM − ⃗rM′
⃗ ′ dS
u
2 MM
2
dτ
(1.30)
(1.31)
Électromagnétisme
1.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DIÉLECTRIQUES
Figure 1.4 – champ crée par la surface creuse
⃗ · ⃗n = −P cos θ
P
d2 S = R2 sin θdθdφ
dS = 2πR2 sin θdθ
anneau de largeur Rdθ
1
4πε0
"
⃗n
P.⃗
S′
⃗rM − ⃗rM′
1
′ M dS =
⃗
u
M
2
4πε0
Z
π
0
⃗
−Pcosθ2πR2 sinθdθ(−cosθ⃗ez )
P
=
3ε0
R2
(1.32)
Ce champ est compensé par le champ créés par les dipôles proche du point M et qui sont
à l’intérieur du volume V’ :
⃗
→
−
P
E =−
3ε0
(1.33)
On démontrera en TD cette relation.
Conclusion : Le champ et le potentiel électrique crée par un diélectrique en tout point de
l’espace :
1
V(M) =
4πε0
→
−
E (M) =
1
4πε0
"
S
"
⃗ · ⃗n
P
S
⃗rM − ⃗rM′
1
dS −
4πε0
⃗n
P.⃗
→
−u ′ dτ − 1
→
−r − →
−r ′ 2 M M
4πε0
M
M
$
⃗ M′ P
⃗
∇
V
$
V
⃗rM − ⃗rM′
dτ
⃗ M′ P
⃗
∇
→
−u ′ dτ
→
−r − →
−r ′ 2 M M
M
M
(1.34)
(1.35)
Exemple d’application
1. Sphère présentant une polarisation permanente :
Une sphère de rayon R constituée d’une répartition uniforme de dipôles permanents
parallèles ⃗
p de densité N. Il s’agit d’une sphère composée d’un ensemble dense de molécules
polaires, toutes orientées dans la même direction. Tout matériau qui présente une telle
propriété est appelé ”ferroélectrique”.
Benyoucef
8
Électromagnétisme
1.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DIÉLECTRIQUES
A l’échelle microscopique, chaque dipôle
moléculaire peut être représenté par deux
charges -q et +q distant de a.
Figure 1.5 – Polarisation uniforme d’une sphère
Ainsi la sphère de dipôles peut être traitée comme la superposition de deux sphère S1 et
S2 de même rayon R, l’une chargé positivement Q+ , l’autre négativement Q− , et dont les
centres de charges sont décalés de la distance a.
Le champ crée par la sphère S de dipôles est la superposition du champ crée par S1 et
celui crée par S2 .
4
Q+ = qN πR3
3
4
Q− = −qN πR3
3
(1.36)
(1.37)
a-A l’extérieur de la sphère
→
−
Vu de l’extérieur, la sphère de dipôles est équivalente à un dipôle P placé à l’origine de
charge Q− et Q+ .
→
−
4
4
4
⃗
p = πR3 P
P = Q⃗a = qN πR3⃗a = N πR3 ⃗
3
3
3
(1.38)
⃗
⃗ et V est obtenu en utilisant les expressions simple du dipôle électrique P.
Le calcul de E
Er =
⃗= E =
E
θ
2P cos θ
cos θR3
= 2P 3ε
3
4πε0 r3
0r
P sin θ
P sin θR3
= 3ε r3
4πε0 r3
0
(1.39)
Eϕ = 0
V(M) =
P cos θ P cos θR3
=
4πε0 r2
3ε0 r2
(1.40)
b- A l’intérieur de la sphère
⃗ ·P
⃗ = N⃗
⃗ =0,
Le vecteur de polarisation P
p est uniforme est uniforme ce qui aboutit à ∇
le potentiel à l’intérieur de la sphère doit vérifiée l’équation de Laplace ∆V = 0, et satisfaire
les conditions aux limites imposant le potentiel sur la surface :
V(z) =
PZ
3ε0
(1.41)
Le champ électrostatique est obtenu par la relation :
⃗
−
⃗ = − P = Ez→
⃗ = −∇V
E
ez
3ε0
Benyoucef
9
(1.42)
Électromagnétisme
1.3. LE VECTEUR DÉPLACEMENT
c-Densité surfacique de charge
⃗ et le potentiel V sont connus en tout point de l’espace, alors on peut définir
Le champ E
leur cause. Il suffit d’appliquer le théorème de Gauss à une surface fermée enveloppant un
élément infinitésimal de surface dS chargée.
Figure 1.6 – Densité surfacique de charge
−
−
⃗ = σ dS = E
⃗ dS
⃗+ · →
⃗ − · −→
dϕ = E.
er dS + E
er dS
ε0
(1.43)
P cos θ
σ
2P cos θ 3
R dS +
dS =
ds
3
ε0
3ε0
3ε0 R
(1.44)
P cos θ
σ
dS =
dS
ε0
3ε0
(1.45)
On obtient donc l’expression de la densité surfacique σ(θ) :
−
⃗→
σ(θ) = P cos θ = P.
er
(1.46)
Nous retrouvons ainsi la densité surfacique de polarisation σp = σp (θ) non uniforme.
1.3
Le vecteur déplacement
Nous avons montré en électrostatique du vide que le champ électrique vérifie deux
équations fondamentales :









−
⃗ ∧E
⃗ =→
∇
0
⃗ ·E
⃗ = ρ/ε0
∇
(1.47)
Ces deux équations restent valable dans un diélectrique, à condition de tenir compte des
charges fictives de polarisation. Or il n’est pas toujours facile de déterminer ces dernières et
l’utilisation des deux équations précédentes n’est pas toujours commode. Pour remédier à ce
problème, on introduit une nouvelle grandeur électrostatique, appelée, vecteur déplacement
⃗
électrostatique D.
Benyoucef
10
Électromagnétisme
1.3. LE VECTEUR DÉPLACEMENT
L’intérêt de ce vecteur réside dans le fait que les deux équations fondamentales auxquels
il obeit ne font appel qu’aux charges ” libres” que nous contrôlons en valeur et en distribution.
1.3.1
Définition du vecteur déplacement
Considérons le système de charges ”libres”, caractérisé par la densité volumique ρlib ,
immergée dans un diélectrique. Le potentiel électrostatique V doit vérifier l’équation de
Poisson :
− ∆V =
ρlib + ρp
ε0
⃗ ⃗
ρ
⃗ ·E
⃗ = l − ∇·P
∇
ε0
ε0
(1.48)
⃗ = ε0 E
⃗+P
⃗ qui vérifie l’équation locale :
On définit le vecteur déplacement D
⃗D
⃗ ε0 E
⃗ = ∇.
⃗+P
⃗ = ρl
∇.
(1.49)
⃗ crée
La structure de cette équation montre que les propriétés du champ électrique E
⃗ si les charges sont
par des charges dans le vide se transposent au vecteur déplacement D
immergées dans un diélectrique.
⃗ en se limitant aux charges libres pour
Ainsi on peut appliquer le théorème de Gauss à D
⃗ et P.
⃗
déduire ensuite E
Dans un diélectrique linéaire homogène et isotrope (LHI) :
⃗ = ε0 χE
⃗
P
(1.50)
χ susceptibilité du milieu diélectrique.
⃗ = ε0 (1 + χ)E
⃗ = ε0 εr E
⃗ = εE
⃗
D
(1.51)
εr = 1 + χ est la permittivité relative
(1.52)
ε = ε0 εr
est la constante diélectrique du milieu
⃗D
⃗ ·E
⃗ = ε∇
⃗ = ρl
∇
(1.53)
(1.54)
Le champ électrique crée par une distribution de charges immergées dans un milieu
diélectrique linéaire homogène isotrope, se calcule comme dans le vide à condition de remplacer ε0 par ε.
Benyoucef
11
Électromagnétisme
1.3. LE VECTEUR DÉPLACEMENT
1.3.2
1.3.2.1
Propriétés du vecteur déplacement
Comportement de la composante normale au passage d’une interface
On applique le théorème de Gauss au vecteur
⃗ , la surface de Gauss est un
déplacement D
cylindre commun aux deux milieux d’axe perpendiculaire à la surface de séparation et de
hauteur h très petite devant le rayon de la base
Figure 1.7 – comportement de la composante nor⃗
male de D
⃗
Le flux de D à travers le cylindre :
"
"
−
→
−
→
→
⃗
⃗
⃗ n2 · −
ϕ=
D · dS =
Dn1 · dS1 +
D
dS2 + ϕlatérale = σl S
S1
(1.55)
S2
Avec ϕlatérale →0 lorsque h →0
Ce qui implique que :
Dn1 − Dn2 = σl
(1.56)
σl est la densité surfacique de charges libres à l’interface.
1.3.2.2
Comportement de la composante tangentielle E⃗t au passage d’une interface
→
− ⃗ ⃗
L’équation ∇ ∧ E
= 0 entraine que la circula→
−
tion de E sur un trajet ferme est nulle.
Figure 1.8 – Comportement de la composante tan-
I
⃗ · dℓ⃗ =
E
Z
−
⃗ 1 · d→
E
ℓ1 +
AB
C
gentielle E⃗t au passage d’une interface
Z
Z
→
−
⃗
⃗
⃗
⃗ · dℓ⃗
E2 · dℓ2 +
E · dℓ +
E
Z
CD
BC
|
=0
DA
{z
}
quand BC = DA = ℓ → 0
(1.57)
= E1t L − E2t L
=0
D’où la continuité de la composante tangentielle du champ électrostatique :
Et1 = Et2
Ainsi quelque soit la nature des milieux en contact, il y a toujours la continuité de la
composante tangentielle du champ électrostatique.
Benyoucef
12
Électromagnétisme
1.3. LE VECTEUR DÉPLACEMENT
1.3.3
Interface entre deux diélectriques
Supposons que l’interface ne contient pas de charges libres (σl = 0), on aura donc :
Dn2 = Dn1
et
Et1 = Et2
(1.58)
Si les deux diélectriques sont linéaires homogènes et isotrope, de perméabilité ε1 et ε1 ,
les équations précédente deviennent :
ε1 · En1 = ε2 · En2
et
Et1 = Et2
(1.59)
Figure 1.9 – Réfraction des lignes de champ ) la traversée d’une interface
θi : Angle entre les lignes de champ de Ei avec la normale à l’interface.
tg θ1 =
Et1
En1
(1.60)
tg θ2 =
Et2
En2
(1.61)
tg θ1 En2 ε1 εr2
=
=
=
tg θ2 En1 ε2 εr2
(1.62)
On dit qu’il y a réflexion des lignes de champ pendant le passage d’un milieu a un autre
de perméabilités relatives différentes.
1.3.4
Interface diélectriques-conducteurs
L’étude des diélectriques en présence de conducteurs chargés est d’un grand intérêt. En
général, les charges libres sont localisées à la surface des conducteurs. L’état électrique des
conducteurs est complètement déterminée par la donnée des charges Qi ou des potentiels Vi .
La présence du diélectrique entraine l’évolution du système vers un nouveau état d’équilibre.
Benyoucef
13
Électromagnétisme
1.3. LE VECTEUR DÉPLACEMENT
⃗ la densité de polarisation P
⃗ et le
A l’équilibre électrostatique , le champ électrique E,
⃗ sont nuls à l’intérieur du conducteur. Au voisinage de la surface :
vecteur déplacement D
→
−
σ−
n
E = →
ε0
(1.63)
→
−
n : normale extérieur à la surface du conducteur.
σ : densité totale des charge surfaciques.
Si le milieu extérieur, au voisinage de la surface est le vide :
⃗ = ⃗0 ⇒ σp = 0
P
(1.64)
Figure 1.10 – Interface métal-diélectrique
Ce qui implique que : σl = σ
Par contre, si le milieu extérieur est un diélectrique linéaire et homogène :
→
−
→
−
→
−
D = ε · E = ε0 εr E
(1.65)
σ−
−
D = σl→
n =ε →
n
ε0
ε
σl = σ = εr σ
ε0
σ
σ= l
εr
(1.67)
σ < σl
(1.69)
(1.66)
(1.68)
ce qui entraine que :
Benyoucef
14
Électromagnétisme
1.4. APPLICATION
Or
σp + σl = σ
σp = σ − σl
ε0
ε0
σp = σl − σl =
− 1 σl
ε
ε
ε0
−1 σ
σp = −
ε
⇒
(1.70)
(1.71)
(1.72)
σp = − (εr − 1) σ
(1.73)
Donc à la surface de séparation d’un diélectrique et d’un conducteur portant une densité
surfacique σl , il existe une densité de polarisation σp de signe opposé à celui de σl ,ce qui
entraine que :
σtot < σl
1.4
1.4.1
(1.74)
Application
Condensation plan avec diélectriques
On suppose que le diélectrique est linéaire homogène et isotrope.
On charge le condensateur, puis on introduit le diélectrique entre ses armatures. Com⃗ le potentiel V, la charge Q et la capacité C ?
ment évoluent le champ électrostatique E,
On distingue deux cas :
1er cas : Le condensateur est isolé Q = Cte = Q0 .
→
⃗ est uniforme et parallèle au champ initial −
Par raison de symétrie, le champ E
E0
Figure 1.11 – Condensation plan avec diélectriques
Q = Q0 ⇒ σ = σ0
(1.75)
→
⃗ =−
La conservation de Dn sur les faces du diélectrique entraine : D
D0
⃗ = ε0 E
⃗0
εr ε0 E
Benyoucef
⇒
15
−
→
E0
⃗
E=
εr
(1.76)
Électromagnétisme
1.4. APPLICATION
Comme V = E.d , d = l’épaisseur du condensateur
V=
V0
E0 d
⇒V=
εr
εr
(1.77)
Aussi Q = CV = C0 V0 (système isolé )
C = C0
V0
= εr C0
V
(1.78)
C = εr C0
(1.79)
Ainsi le problème est résolu, sans faire intervenir les charges fictives de polarisation.
Pour comprendre leur rôle, on remplace le diélectrique par la distribution de charges fictives
équivalente :
⃗=0
ρ f = − div P
(1.80)
⃗ · ⃗n| = P
σ f = |P
(1.81)
⃗=D
⃗ − ε0 E
⃗ = (ε − ε0 ) E
⃗
P
(1.82)
σ f = (ε − ε0 ) E
(1.83)
Figure 1.12 – Effet des charges de polarisation sur le condensateur
Ces charges surfaciques apparaissent sur les faces du diélectrique : −σ f sur l’armature
portant la densité surfacique +σ et +σ f sur l’armature portant la densité surfacique−σ. Il se
⃗ d dépolarisant, opposé à E
⃗0 :
crée donc un champ E
σf
(ε − ε0 ) E
−
→
Ed =
=
ε0
ε0
(1.84)
Ces charges doivent être considérées dans le vide , puisque le diélectrique est supprimé.
Benyoucef
⃗ d = (1 − εr ) E
⃗
E
(1.85)
→ ⃗
⃗
⃗=−
⃗
E
E0 + E
d = E0 + (1 − εr ) E
(1.86)
⃗
⃗ = E0
E
εr
(1.87)
16
Électromagnétisme
1.5. ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE D’UNE DISTRIBUTION CONTINUE
On retrouve exactement l’expression de l’équation 1.76
2éme cas : Le condensateur est relié à la source de potentiel V = Cte = V0
Le potentiel est constant, ce qui entraine :
⃗ =
∥E∥
V V0
=
d
d
(1.88)
Ce qui implique :
⃗0
⃗=E
E
(1.89)
⃗ =D
⃗ 0 . Il y a conservation de Dn sur les faces du diélectrique
On ne peut plus écrire : D
mais, le source a modifié la charge des armatures : Dn = D0 On a en fait :
−→
⃗
⃗ = εE
⃗=−
D
εE0 = εr ε0 E
(1.90)
→
⃗ = εr −
D0
D
(1.91)
→
σ σ0
⃗ = −
∥E∥
E0 ⇒ =
ε
ε0
(1.92)
σ = εr σ0
(1.93)
Q = σs = εr σ0 s
(1.94)
Q = εr Q0
(1.95)
La source augmente la charge réelle du condensateur, quand on introduit le diélectrique :
C=
Q εr Q0 εr Q0
=
=
V
V
V0
⇒ C = εr C0
(1.96)
Dans les deux cas envisagés ( Q = cte ou V = cte ) l’introduction du diélectrique augmente
la capacité du condensateur. La dernière relation montre l’intérêt d’utiliser des milieux à forte
permittivité pour réaliser des condensateurs de faibles dimensions.
1.5
Energie électrostatique d’une distribution continue
1.5.1
Energie électrostatique d’une distribution continue
Considérons la distribution de charge ρ(⃗r) qui peut être non uniforme. Pour déduire
l’énergie d’une telle distribution, on calcule le travail pour augmenter la densité ρ de dρ en
amenant des charges de l’ infini.
$
dWe =
dρlib (⃗r)V(⃗r)dτ
(1.97)
V
Benyoucef
17
Électromagnétisme
1.5. ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE D’UNE DISTRIBUTION CONTINUE
Or
dρlib
−
⃗ ·→
=∇
D ⇒ dWe =
$
−
⃗ ·→
∇
DV(⃗r)dτ
(1.98)
V
⃗ · dD)V
⃗ · (VdD)
⃗
⃗
⃗ − dD
⃗ · ∇V
(∇
=∇
$
$
⃗ · (VdD)dτ
⃗
⃗
⃗ · ∇Vdτ
dWe =
∇
−
dD
V
V
$
$
⃗ · (VdD)dτ
⃗
⃗ · Edτ
⃗
dWe =
∇
+
dD
V
(1.99)
(1.100)
(1.101)
V
Sans toucher la généralité de ce calcul, on peut remplacer V par un volume sphérique Ṽ
limité par S et qui englobe toutes les charges.
$
"
−→ −
→
⃗
⃗
∇ · (VdD)dτ =
V dD · dS
Ṽ
(1.102)
S
On prend Ṽ aussi grand que possible ce qui entraine que le système est équivalent à une
charge ponctuelle placée au centre de la sphère de rayon R.
S ≊ R2
$
→
⃗ ·−
V
dD ≊ R−1 .R−2 = R−3
⃗ · (VdD)dτ
⃗
∇
varie en 1/R
Ṽ
$
−→
R→∞⇒
div(V dD)dτ −→ 0
Ṽ
$
⃗ · Edτ
⃗
dWe =
dD
(1.103)
(1.104)
(1.105)
(1.106)
espace
⃗ et E.
⃗
Pour effectuer cette intégrale, il faut connaitre la relation entre D
1.5.2
Energie électrostatique dans le vide
Dans le vide :
1.5.3
⃗ = ε0 E
⃗
D
$
⃗ · Edτ
⃗
dWe = ε0
dE
(1.107)
Intégration de E = 0 a E f = E
$
ε0
⃗ · Edτ
⃗
We =
E
2
ε0 ⃗ ⃗
E · E = densité d’énergie
2
(1.109)
(1.108)
(1.110)
(1.111)
En présence d’un diélectrique
Nous nous limitons à un diélectrique linéaire
⃗ = εE
⃗
D
$
ε
⃗ · Edτ
⃗
We =
E
2
Benyoucef
18
(1.112)
Électromagnétisme
1.5. ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE D’UNE DISTRIBUTION CONTINUE
1.5.4
Énergie de polarisation
Cette énergie est associée à la présence d’un milieu diélectrique, elle est définie comme
étant la différence d’énergie δWl du système de charges libres en présence et en absence de
diélectrique. Dans le cas d’un milieu diélectrique linéaire et homogène.
$
$
ε0
ε
⃗
⃗
⃗ · Edτ
⃗
∆We =
E · Edτ −
E
2
2
$
1
⃗ · Edτ
⃗
(ε0 − ε) E
∆We =
2
⃗
⃗ = ε0 χE
⃗ = (ε − ε0 ) E
or P
$
1
⃗ · Edτ
⃗
∆We = −
P
2
Benyoucef
19
(1.113)
(1.114)
(1.115)
(1.116)
Électromagnétisme