Chapitre1 Electrostatique des milieux matériels (1)

Chapitre 1
´
Electrostatique des milieux mat´eriels
Dans le cours de 1`
er ann´
ee, l’´ etude de l’´ electrostatique des milieux mat´ eriels a ´ et´ e limit´ ee
aux conducteurs dont les propri´ et´ es ´ electrostatiques sont contrˆ ol´ ees par la pr´ esence d’un
grand nombre d’´ electrons libres de se mouvoir dans le syst` eme. Dans ce chapitre, nous
allons nous int´ eresser aux mat´ eriaux isolants, dans lesquels les ´ electrons ne sont plus libres
mais plutˆ ot li´ ees ` a leurs noyau atomique.
Les propri´ et´ es ´ electrostatiques de ces deux classes de mat´ eriaux sont diff´ erentes. Par
exemple, l’application d’un champ ´ electrique, entraine dans le cas d’un conducteur, une
r´ epartition de charge, telle que le champ ` a l’int´ erieur du conducteur est nul. Par contre, dans
un isolant, sous l’effet du champ ´ electrique les charges positives et n´ egatives subissent des
d´ eplacements microscopiques oppos´ es engendrant un effet dipolaire . On dit que le mat´ eriau
est polaris´ e. Globalement, la charge totale est conserv´ ee. La cons´ equence du ph´ enom` ene de
polarisation est qu’un champ ´ electrique peut r´ egner dans les mat´ eriaux isolants sans que
ceux-c¸i soient pour autant travers´ es par un courant.
On appelle ces mat´ eriaux isolants les di´ electriques et on les classe en deux cat´ egories
selon qu’ils poss` edent une polarisation permanente ou induite sous l’action d’un champ
´
electrique ext´ erieur.
1.1 Polarisation de la mati`ere
1.1.1 Caract´eristiques ´electriques d’un atome (Mod`ele classique de Mossotti)
Un atome, de num´ ero atomique Z, non ionis´ e peut ˆ etre assimil´ e` a un noyau de charge
Ze, autour duquel gravite un nuage ´ electronique sph´ erique de charge −Ze. L’atome est
globalement neutre, de plus le barycentre des charges n´ egatives co¨ ıncide avec celui du
noyau. Cet atome ne pr´ esente pas de dipˆ ole permanent (fig 1.1 a).
1

1.1. POLARISATION DE LA MATI ` ERE
Sous l’effet d’un champ ´ electrique ⃗ E0, le barycentre du noyau et celui de charges n´ egatives
ne sont plus confondus, l’atome tout en restant neutre, pr´ esente maintenant un moment
dipolaire induit.
Figure 1.1 – Mod`ele de l’atome : a) absence de champ ´electrostatique. b) pr´esence d’un champ⃗ E0,⃗ 0
On se place dans le rep` ere li´ e aux ´ electrons, l’´ equilibre est atteint lorsque la force exerc´ ee
sur le noyau est nulle. On suppose que −→ E0n’est pas intense de telle sorte que le nuage
´
electronique reste une sph` ere de rayon atomique a0et de densit´ e volumique ρ=−3Ze
4πa3
0
. Pour
calculer ⃗ Eeauquel est soumis le noyau on utilise le th´ eor` eme de Gauss :
Φ = ⃗ Ee·−→ dS =qint
ε0
=#vρdτ
ε0
=−3Ze
4πa3
0
×4πa3
3(1.1)
−Ee4πa2=−Zea3
a3
0
.(1.2)
Ee=Zea
4πε0a3
0
(1.3)
A l’´ equilibre :
⃗
Ee+⃗ E0=−→ 0⇒E0−Zea
4πε0a3
0
=0 (1.4)
Et donc la position d’´ equilibre du noyau est fonction de E0:
a=4πε0a3
0
Ze E0(1.5)
Le d´ ecalage des barycentres des charges positives et n´ egatives caract´ erise le comportement
´
electrostatique d’un atome neutre plac´ e dans un champ ´ electrique.
L’atome est donc ´ equivalent ` a un dipˆ ole ´ electrostatique de moment ⃗ porient´ e dans le sens
du champ −→ E0:
⃗
p=Ze⃗ a=4πε0a3
0
−→
E0=α−→ E0(1.6)
Le coefficient αest appel´ e coefficient de polarisabilit´ e´ electronique de l’atome.
Ordre de grandeur
En prenant un rayon de Bohr moyen a0=5.10−11m, on obtient :
α=10−40Cm2/v
Benyoucef 2´ Electromagn´etisme

1.1. POLARISATION DE LA MATI ` ERE
1.1.2 G´en´eralisation aux mol´ecules
Comme l’atome, une mol´ ecule non ionis´ ee est neutre. Dans le cas de mol´ ecules sym´ etriques
(O2,N2,CO2,C6H6.... ), le barycentre des charges positives est confondu avec celui des charges
n´ egatives , la mol´ ecule ne pr´ esente pas de moment dipolaire permanent. En revanche si la
mol´ ecule est dissym´ etrique (H2O, HCl), le barycentre des charges positives et n´ egatives sont
distincts, la mol´ ecule poss` ede dans ce cas un moment dipolaire permanent −→ p0.
Dans le cas g´ en´ eral, une mol´ ecule plac´ ee dans un champs ´ electrique pr´ esente le moment
dipolaire −→ p:
−→
p=−→ p0+˜
˜
α−→ E(1.7)
˜
˜
αest un tenseur appel´ e tenseur de polarisabilit´ e´ electronique de la mol´ ecule.
1.1.3 Caract´eristiques ´electriques d’un syst`eme dense d’atomes ou de mol´ecules
On consid` ere un syst` eme constitu´ e d’une grande quantit´ e d’atomes ou de mol´ ecules. On
suppose que l’ensemble est globalement neutre. Chaque atome ou mol´ ecule peut pr´ esenter
un moment dipolaire induit ou ´ eventuellement un moment dipolaire permanent. Dans le
cadre de cette ´ etude, on ne se place pas ` a l’´ echelle atomique ou mol´ eculaire mais plutˆ ot ` a une
´
echelle plus grande o ` u le caract` ere discret des atomes et des mol´ ecules disparait au profit
d’une description continue du milieu. La notion de dipˆ ole individuel s’efface devant celle
de la densit´ e de polarisation −→ P:
−→
P=N⃗ p(1.8)
N est le nombre d’atomes ou de mol´ ecules par unit´ e de volume. Notons que 
−→
Pest homog` ene
`
a une charge par unit´ e de surface et non ` a un dipˆ ole.
Chaque ´ el´ ement de volume dτpourra ˆ etre consid´ er´ e comme ayant un moment dipolaire
´
el´ ementaire d⃗ p:
d⃗ p=−→ P dτ=N⃗ pdτ⃗ ppeut ˆ etre permanent ou induit (1.9)
Remarque : Dans le cas de syst` emes denses, on parlera aussi de polarisation induite d’orien-
tation.
Benyoucef 3´ Electromagn´etisme

1.2. CHAMP ´ ELECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DI ´ ELECTRIQUES
1.2 Champ ´electrique, potentiel et charges de polarisation dans les
di´electriques
1.2.1 Charges de polarisation
Le champ ´ electrique ` a l’int´ erieur du di´ electrique correspond ` a la moyenne du champ
local. Pour que cette moyenne ait un sens, elle devrait ˆ etre faite sur des temps grands devant
le temps caract´ eristiques des fluctuations temporelles de chaque dipˆ ole (10−16s) et sur des
dimensions grandes devant la distance interatomique ou intermol´ eculaire. Cette approche
est laborieuse.
Le champ ´ electrique local, doit v´ erifier les deux ´ equations fondamentales de l’´ electrostatique :
⃗
∇ ∧ ⃗ Eloc =−→ 0 (1.10)
Ce qui implique que le champ −→ Eloc d´ erive d’un potentiel Vloc
⃗
∇ · ⃗ Eloc =ρloc
ε0
(1.11)
ρloc est la densit´ e locale de charges.
Les moyennes des ´ equations 1.10 et 1.11 permettent d’´ ecrire :
⃗
∇ ∧ ⃗ E=−→ 0 (1.12)
Ce qui signifie que le champ ⃗ Ed´ erive d’un potentiel V qui d´ ecrit le potentiel ` a l’ext´ erieur et
`
a l’int´ erieur et il est ´ egale ` a la moyenne des potentiels locaux.
⃗
∇ · ⃗ E=ρ/ε0(1.13)
ρrepr´ esente la densit´ e moyenne locale des charges dans l’isolant, bien entendu, la charge
total du di´ electrique est nulle, puisqu’il est globalement neutre.
A quoi correspond cette densit´e volumique de charges ?
Pour r´ epondre ` a cette question, on calcule le champ et le potentiel ´ electrostatiques cr´ e´ es
par un di´ electrique.
1.2.1.1 Champ et potentiel ´electriques cr´e´es `a l’ext´erieur du di´electrique
Consid´ erons un di´ electrique de volume V et de surface S caract´ eris´ e` a l’´ echelle macro-
scopique par une polarisation ⃗
P.
L’ ´ el´ ement de volume dτcentr´ e autour du point M’ et de moment dipolaire ⃗ P(⃗ r′)dτcr´ ee
le potentiel ´ el´ ementaire dV(M).
Benyoucef 4´ Electromagn´etisme

1.2. CHAMP ´ ELECTRIQUE, POTENTIEL ET CHARGES DE POLARISATION DANS LES
DI ´ ELECTRIQUES
Figure 1.2 – Di´electrique de densit´e de polarisation ⃗ P
dV(M)=1
4πε0
Pdτcos θ
⃗
rM−⃗ rM′
2=1
4πε0
⃗
P·⃗ uM′Mdτ
⃗
rM−⃗ rM′
2(1.14)
⃗
∇M′
1
⃗
rM−⃗ rM′
=⃗
uM′M
⃗
rM−⃗ rM′
2(1.15)
dV(M)=1
4πε0
−→
P·⃗ ∇r′
1
⃗
rM−⃗ rM′
dτ(1.16)
Le potentiel total V(M) au point M est la superposition des diff´ erents potentiels ´ el´ ementaires.
V(M)=1
4πε0$V
⃗
P·⃗ ∇
1
⃗
rM−⃗ rM′
dτ(1.17)
En utilisant la relation vectorielle :
⃗
P·⃗ ∇r′
1
⃗
rM−⃗ rM′
=−→ ∇r′
⃗
P
⃗
rM−⃗ rM′
−1
⃗
rM−⃗ rM′
−→
∇r′⃗ P(1.18)
On peut ´ ecrire V(M) :
V(M)=1
4πε0$V
−→
∇r′
⃗
P
⃗
rM−⃗ rM′
dτ−1
4πε0$V
1
⃗
rM−⃗ rM′
−→
∇r′⃗ Pdτ(1.19)
Soit :
V(M)=1
4πε0"S
−→
P·−→ dS
⃗
rM−⃗ rM′
−1
4πε0"V
⃗
∇r′⃗ P·dτ
⃗
rM−⃗ rM′
(1.20)
Donc le potentiel cr´ ee au point M par le di´ electrique est ´ equivalent ` a celui qui cr´ eeraient
en M des charges dites de polarisation ou charges fictives, r´ eparties en surface et en volume,
de densit´ e respective :
σp=−→ P·⃗ net ρp=−⃗ ∇ · −→ P(1.21)
−→
n´ etant la normale ` a la surface.
Soulignons qu’il ne s’agit pas de charges suppl´ ementaires, mais d’une description coh´ erente
du syst` eme en terme de grandeurs moyennes. Ce sont des charges fictives.
Benyoucef 5´ Electromagn´etisme