Exercices: Commandabilité, Observabilité, Commande par Retour d'État

Institut Supérieur des Systèmes Industriels de Gabès
Département de Génie Electrique EEA
TD 02 :
Commandabilité, observabilité & commande par retour d’état
Niveau
:
MRE
-
ASR1
Module
:
Observateurs d’état
AU : 2020-2021
Enseignants : Mohamed Soufiene Bouallègue & Rafika El Harabi
Exercice 1 :
On considère le système linéaire continu suivant :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 0
1 2 1
1 0
X t X t u
y t X t
= +
− −
=
ɺ
1. Etudier la stabilité, la commandabilité et l’observabilité de ce système.
2. Calculer une loi de commande par retour d’état
(
)
(
)
u t KX t
= − telle que le système en
boucle fermée possède un coefficient d’amortissement
0.6
ξ
=
et une pulsation naturelle
0
10 rad/s
ω =.
Exercice 2 :
On considère un système linéaire régi par l’équation d’état :
( ) ( )
1 5 4
2 8 1
X t X t u
− −
= +
− −
ɺ
1. Etudier la commandabilité de ce système.
2. Calculer une commande par retour d’état permettant d’avoir une marge de phase de 45°
et un temps de montée
0.4 s
m
t= du système soumis à une entrée en échelon unité.
3. En déduire le dépassement de la réponse indicielle du système corrigé.
Exercice 3 :
On considère un système linéaire continu défini par l’équation d’état suivante :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 5
0 1 3
3 2
X t X t u t
y t X t
−
= +
− −
=
ɺ
1. Etudier la stabilité, la commandabilité et l’observabilité du système.
2. Déterminer une loi de commande par retour d’état
(
)
(
)
(
)
u t lr t KX t
= − , où
(
)
r t
est la
consigne, permettant d’imposer au système les pôles complexes
1,2
3 2
p j
= − ±
ainsi
qu’un gain statique égal à 1.
Exercice 4 :
On considère un système linéaire à temps discret défini par l’équation récurrente :
3 2 1 1
2.1 2.2 0.1 2
k k k k k k
y y y y e e
+ + + +
=− − − + +
1. Déterminer la fonction de transfert échantillonnée du système.
2. Vérifier que (A, B, C) est une représentation d’état du système étudié.
2.1 1.1 0.2
2 0 0
0 0.25 0
A− − = ;
2
0
0
B = ;
(
)
0 0.5 1
C=
3. Etudier la commandabilité et l’observabilité de ce système.