pdf-correction-de-lexamen-de-rattrapage-l3-eln-2021-2022-1 compress

Université de KHEMIS MILIANA
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département de la Technologie
Niveau
Niv
eau : L3 Électr
Électronique
onique
Matière : Asservissements et Régulation
Semestre 2 - Année Universitaire : 2021-2022
Corrigé Type de l’Examen de Rattrapage - durée 01H00
Exerci
Exe
rcice
ce 1 –
Un système linéai
linéaire
re est modélisé par l’équation
l’équation différentiell
différentiellee ci-dessous
ci-dessous :
ds2 (t)
dt2
−
2
ds(t)
dt
−
21s(t) −
du(t)
dt
−
u(t) = 0
Sachant que u(t) et s(t) sont l’entrée et la sortie du système respectivement et les conditions
initiales sont nulles.
1. Calculer la fonction de transfert du système ;
(3 pts)
En appliquant la Transformée de Laplace sur l’équation, on obtient :
p2 S (p) − 2pS (p) − 21S (p) − pU (p) − U (p) = 0
p
2
−

2p − 21 S (p) = (p + 1) U (p) ⇒ G(p) =
p+1
p2 − 2p − 21
2. On monte
monte ce système dans une boucle de régulat
régulation
ion à retour unit
unitaire
aire ;
(a) Tracer le schéma fonctionnel du système ;
E (p)
S(p)
p+1
p2 − 2p − 21
(b) Calculer la fonction de transfert en bou
boucle ouverte du système ;
T (p) = G (p) =
(2 pts)
p+1
p2 − 2p − 21
(c) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée du système ;
p+1
G(p)
p+1
p2 − 2p − 21
F (p) =
=
=
p+1
1 + G(p)
p2 − p − 20
1+ 2
p − 2p − 21
1
(2 pts)
(2 pts)
(d) Calculer la réponse impulsionnelle du système.
On a F (p) =
S (p)
E (p)
⇒
avec e(t) = δ (t) ⇒ E (p) = 1
S (p) = F (p)E (p)
p+1
p2 − p − 20
On cherche les pôles du système S (p) =

p
p
=
1
∆ = 81 ⇒
(3 pts)
1−9
= −4
2
1+9
=
2
2
=5
Donc on peut écrire S (p) sous la forme :
S (p) =
p+1
a
b
=
+
(p + 4)(p − 5)
p+4
p−5
On cherche a et
b
p+1
−3
1

(p
+4)
a = lim 
=
=
 p − 5)
p
4
(p
+4)(
−9
3

6
2
p+1

(p−5)
b = lim 
=
=

p
5
(p + 4)
(p−5)
9
3
−→−
−→
De ce fait, on aura
2 1
1 1
S (p) = 3 p + 4 + 3 p − 5
En utilisant la table de transformées inverse de Laplace, on trouve :
s(t) =
1
3
−4t
e
2
+ e5t u(t)
3

(e) Calculer la réponse indicielle du système.
On a F (p) =
S (p)
E (p)
⇒
S (p) = F (p)E (p)
(3 pts)
avec e(t) = u (t) ⇒ E (p) =
1
p
Donc on a
S (p) =
On cherche a, b et
p+1
a
b
c
= +
+
p(p + 4)(p − 5)
p
p+4
p−5
c
p+1
1
a = lim p
=
−
 p(p + 4)(p − 5)
p
0
20

p+1
−3
1

(p
+4)
b = lim 
=
=
−

p
4
p
(p
+4)(p − 5)
36
12
p+1
6
2

(p−5)
c = lim 
=
=

p
5
p(p + 4)
(p−5)
45
15
−→
−→−
−→
De ce fait, on aura
S (p) =
p+1
=
p(p + 4)(p − 5)
−
2 1
1 1
1 1
+
+−
20 p
12 p + 4 15 p − 5
En utilisant la table de transformées inverse de Laplace, on trouve :
1
s(t) = −
20

2
−
1
e
12
−4t
2
+ e5t u(t)
15

(f) Étudier la stabilité du système.
(2 pts)
Le systeme est instable puisqu’il a un pôle à partie réelle positive p = 5.
3. On ajoute un correcteur de type proportionnel K à la chaine directe de la boucle de
régulation
régula
tion ; Étudier la stabilité
stabilité du systè
système
me selon les valeurs de K .
(3 pts)
L’équation
L’équat
ion caractérist
caractéristique
ique du systeme
systeme devien
devientt :
1 + T (p) = 1 + K
p+1
=0
p2 − 2p − 21
1 + T (p) = p 2 + (K − 2)p + K − 21 = 0
On applique le critère de Routh pour étudier la stabilité du systeme :
p2
p1
p0
1
K
−
K −2
K − 21
21
0
0
Pour que le systeme soit stable, il faut que tout les éléments de la 1ère colonne sont de
même signe, dans notre cas positif.

K
K

2 >0
− 21
>0
−
⇒
Donc pour que le systeme soit stable il faut choisir un
3
K > 21
K > 21 .