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Université de KHEMIS MILIANAUniversité de KHEMIS MILIANA
Faculté des Sciences et de la TechnologieFaculté des Sciences et de la Technologie
Département de la TechnologieDépartement de la Technologie
NivNiveau : eau : L3 L3 ÉlectrÉlectroniqueonique
Matière : Asservissements et RégulationMatière : Asservissements et Régulation
Semestre 2 - Année Universitaire : 2021-2022Semestre 2 - Année Universitaire : 2021-2022
Corrigé Type de l’Examen de Rattrapage - durée 01H00Corrigé Type de l’Examen de Rattrapage - durée 01H00
ExeExercircice ce 1 1 ––
Un système Un système linéailinéaire est re est modélisé par modélisé par l’équal’équation différention différentielltielle e ci-desci-dessous :sous :
dsds22((tt))
dtdt22  −− 22dsds((tt))
dtdt  −− 2121ss((tt)) −− dudu((tt))
dtdt  −− uu((tt) ) = = 00
Sachant queSachant queuu((tt))etetss((tt))sont l’entrée et la sortie du système respectivement et les conditionssont l’entrée et la sortie du système respectivement et les conditions
initiales sont nulles.initiales sont nulles.
11. . CCaallccuulleer r lla a ffoonnccttiioon n dde e ttrraannssffeerrt t ddu u ssyyssttèèmme ; e ; ((3 3 ppttss))
En appliquant la Transformée de Laplace sur l’équation, on obtient :En appliquant la Transformée de Laplace sur l’équation, on obtient :
pp22SS((pp)) −− 22pSpS((pp)) −− 2121SS((pp)) −−pUpU((pp)) −− UU((pp) ) = = 00
pp22 −− 22pp −− 2121SS((pp) ) = = ((pp+ 1)+ 1) UU((pp)) ⇒⇒  GG((pp) ) ==  pp+ 1+ 1
pp22 −− 22pp −− 2121
2. 2. On montOn monte ce système dans une boucle de régulate ce système dans une boucle de régulation à retour unition à retour unitaireaire;;
((aa) ) TTrraacceer r lle e sscchhéémma a ffoonnccttiioonnnneel l ddu u ssyyssttèèmmee ; ; ((2 2 ppttss))
pp + 1+ 1
pp22−−22pp−−2121
EE((pp)) SS((pp))
((bb) ) CCaallccuulleer r lla a ffoonnccttiioon n dde e ttrraannssffeerrt t een n bobouucclle e oouuvveerrtte e ddu u ssyyssttèèmmee ; ; ((2 2 ppttss))
TT((pp) ) ==GG((pp) ) ==  pp+ 1+ 1
pp22 −− 22pp −− 2121
((cc) ) CCaallccuulleer r lla a ffoonnccttiioon n dde e ttrraannssffeerrt t een n bboouucclle e ffeerrmméée e ddu u ssyyssttèèmmee ; ; ((2 2 ppttss))
FF((pp) ) ==  GG((pp))
1 +1 +GG((pp))==
pp+ 1+ 1
pp22 −− 22pp −− 2121
1 +1 +  pp+ 1+ 1
pp22 −− 22pp −− 2121
==  pp+ 1+ 1
pp22 −−pp −− 2020
11

((dd) ) CCaallccuulleer r lla a rrééppoonnsse e iimmppuullssiioonnnneelllle e ddu u ssyyssttèèmmee. . ((3 3 ppttss))
On On aaFF((pp) ) ==  SS((pp))
EE((pp))  ⇒⇒ SS((pp) ) ==FF((pp))EE((pp))avecavecee((tt) ) ==δδ((tt)) ⇒⇒ EE((pp) ) = = 11
On cherche les pôles du systèmeOn cherche les pôles du systèmeSS((pp) ) ==  pp+ 1+ 1
pp22 −−pp −− 2020
∆ = 81∆ = 81 ⇒⇒ 
pp11  ==11 −− 99
22  == −−44
pp22  ==
1 + 91 + 9
22  = = 55
Donc on peut écrireDonc on peut écrireSS((pp))sous la forme :sous la forme :
SS((pp) ) ==  pp+ 1+ 1
((pp+ 4)(+ 4)(pp −− 5)5)==  aa
pp+ 4+ 4++  bb
pp −− 55
On chercheOn chercheaaetetbb
aa= = lliimm
pp−−→−→−44
((pp+ 4)+ 4)  pp+ 1+ 1
((pp+ 4)(+ 4)(pp −− 5)5)==  −−33
−−99==11
33
bb= lim= lim
pp−−→→55
((pp −− 5)5)  pp+ 1+ 1
((pp+ 4)+ 4) ((pp −− 5)5)==66
99==22 33
De ce fait, on auraDe ce fait, on aura
SS
((
pp) ) ==
11
33
11
pp+ 4+ 4++
22
33
11
pp −− 55
En utilisant la table de transformées inverse de Laplace, on trouve :En utilisant la table de transformées inverse de Laplace, on trouve :
ss((tt) ) == 11
33ee−−44tt ++22 33ee55ttuu((tt))
((ee) ) CCaallccuulleer r lla a rrééppoonnsse e iinnddiicciieelllle e ddu u ssyyssttèèmmee. . ((3 3 ppttss))
On On aaFF((pp) ) ==  SS((pp))
EE((pp))  ⇒⇒ SS((pp) ) ==FF((pp))EE((pp))avecavecee((tt) ) ==uu((tt)) ⇒⇒ EE((pp) ) ==11
pp
Donc on aDonc on a
SS((pp) ) ==  pp+ 1+ 1
pp((pp+ 4)(+ 4)(pp −− 5)5)==aa
pp++  bb
pp+ 4+ 4++  cc
pp −− 55
On chercheOn chercheaa,,bbetetcc
aa= lim= lim
pp−−→→00
pp  pp+ 1+ 1
pp((pp+ 4)(+ 4)(pp −− 5)5)== −− 11
2020
bb= = lliimm
pp−−→−→−44
((pp+ 4)+ 4)  pp+ 1+ 1
pp ((pp+ 4)(+ 4)(pp −− 5)5)==  −−33
3636  == −− 11
1212
cc= lim= lim
pp−−→→55
((pp −− 5)5)  pp+ 1+ 1
pp((pp+ 4)+ 4) ((pp −− 5)5)==  66
4545==  22
1515
De ce fait, on auraDe ce fait, on aura
SS((pp) ) ==  pp+ 1+ 1
pp(( pp+ 4)(+ 4)( pp −− 5)5)== −− 11
2020
11
pp++ −− 11
1212
11
pp+ 4+ 4++  22
1515
11
pp −− 55
En utilisant la table de transformées inverse de Laplace, on trouve :En utilisant la table de transformées inverse de Laplace, on trouve :
ss((tt) ) == −− 11
2020 −− 11 1212ee−−44tt ++  22
1515ee55ttuu((tt))
22

((ff) ) ÉÉttuuddiieer r lla a ssttaabbiilliitté é ddu u ssyyssttèèmmee. . ((2 2 ppttss))
Le systeme estLe systeme estinstableinstablepuisqu’il a un pôle à partie réelle positivepuisqu’il a un pôle à partie réelle positive pp= = 55..
3. On ajoute un correcteur de type proportionnel3. On ajoute un correcteur de type proportionnel  KKà la chaine directe de la boucle deà la chaine directe de la boucle de
régularégulationtion; Étudier la ; Étudier la stabilstabilité du ité du systèsystème selon les me selon les vvaleurs dealeurs deKK. . ((3 3 ppttss))
L’équatL’équation ion caractcaractéristéristique du ique du systemsysteme e deviendevient t ::
1 +1 +TT((pp) = 1 +) = 1 +KK  pp+ 1+ 1
pp22 −− 22pp −− 2121= = 00
1 +1 +TT((pp) ) ==pp22 + (+ (KK−− 2)2)pp++KK −− 21 = 021 = 0
On applique le critère de Routh pour étudier la stabilité du systeme :On applique le critère de Routh pour étudier la stabilité du systeme :
pp22 11  KK−− 2121
pp11 KK−− 2 2 00
pp00 KK−− 21 21 00
Pour que le systeme soit stable, il faut que tout les éléments de la 1ère colonne sont dePour que le systeme soit stable, il faut que tout les éléments de la 1ère colonne sont de
même signe, dans notre cas positif.même signe, dans notre cas positif.
KK−− 22  >>00
KK−− 2121  >>00 ⇒⇒ K K >>2121
Donc pour que le systeme soit stable il faut choisir unDonc pour que le systeme soit stable il faut choisir unK K >>2121..
33