COURS SUR LES NOMBRES COMPLEXES

CME BINGERVILLE CE MATHEMATIQUES 2022-2023.
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CHAPITRE I : NOMBRES COMPLEXES
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé 
I. ETUDE ALGEBRIQUE
1. Forme algébrique
L’écriture  est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
a est la partie réelle de z noté Re(z) et b est la partie imaginaire de z noté Im(z).
Propriétés :
Soient z et z’ deux nombres complexes.
 z est réel et z est imaginaire pur .
En particulier .
2. Conjugué d’un nombre complexe.
le conjugué du nombre complexe  est .
Propriétés :
Soit z un nombre réel tel que . On a :
. ;  ;  ; .
 est réel si et seulement si  ;
 est imaginaire pur si et seulement si   et .
Propriétés 
 ; 
 ; 
  ; 
  ; 
3. Module d’un nombre complexe
Le module de est le réel positif : .
Propriétés
 Si z’
 et 
 )

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II. NOMBRE COMPLEXE ET GEOMETRIE
Le plan  est muni du repère orthonormé direct 
.
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
 L’application qui à tout nombre complexe de forme algébrique  associe le point
Mest une bijection de l’ensemble  des nombres complexes vers l’ensemble 
des points du plan.
Le point Mest appelé point image du nombre complexe ;
Le nombre complexe  est appelé affixe du point M
 L’application qui à tout nombre complexe de forme algébrique  associe le vecteur
est une bijection de l’ensemble  des nombres complexes vers l’ensemble des
vecteurs du plan.
Le vecteur 
est appelé vecteur image du nombre complexe ;
Le nombre complexe  est appelé affixe du vecteur 
 Le plan muni du repère orthonormé direct
 est souvent appelé plan complexe.
Le point M d’affixe  se note M
Le vecteur 
d’affixe  se note 
.
2. Interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe
Les points  et 
d’affixes respectives  et 
sont symétriques par
rapport à l’axe des
abscisses.

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3. Interprétation géométrique du module d’un nombre complexe
 Si  est l’affixe du point , alors :
 Si  est l’affixe du vecteur 
, alors :
 Si  est l’affixe du point  et  est
l’affixe du point  alors : 
III. ETUDE TRIGONOMETRIQUE
1. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
 Argument d’un nombre complexe non nul
Soit z un nombre complexe non nul et M son
point image dans le plan complexe.
On appelle argument de z toutes mesures de
l’angle orienté 
.
Si 
,
On note : 
 Interprétation géométrique
Si z est l’affixe du vecteur 
, arg(z) est une mesure de l’angle orienté 
.
Propriétés
Soient z et z’ deux nombres complexes
.
 Formule de MOIVRE : 

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2. Forme trigonométrique :
.
Forme algébrique- Forme trigonométrique : Schéma de Passage d’une forme à une autre.
Remarque :
Forme exponentielle d’un nombre complexe : 
Forme polaire d’un nombre complexe : .
Exercice d’application 1
1. On donne les nombres complexes 
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : ; ; 
 et .
2. Déterminer les formes trigonométriques, exponentielles et polaires des complexes :
 ;  ;  ;  
Formule de EULER : et  on a :
 et de façon générale
 .
Ces formules sont utilisées pour linéariseret 
Exercice d’application 2 : linéariser
3. Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Soit z un nombre non nul et n entier naturel (n
On appelle racine n-ième de z tout nombre complexe u tel que 
Forme trigonométrique

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Donc les racines nième de z sont les nombres complexes 
Les points images de ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrits dans
le cercle de centre O et de rayon 
Exrcice d’application 3 :
1. Déterminer les racines cubiques de 1.
2. Détermine sous forme trigonométrique les solutions de l’équation :
.
IV. UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES
1. Résolution d’équations dans 
 Racines carrées d’un nombre complexe
Soit à déterminer les racines carrées du nombre complexe 
On a : 
 .
(S) : a deux solution (2,-1) et (-2, 1), les racines carrées de  sont 
 Equation du  degré
Soit l’équation 
On pose  et on désigne par  les racines carrées dans 
 Si 
 Si 
Exercice d’application 4 :
 Résoudre dans 
 Résoudre dans  
 Equations se ramenant au degré
Exercice d’application 5
Soit l’équation 
1. Démontrer que (E).
2. Résoudre dans  l’équation (E).