TD 3 & 4 (Ex & Sol)

Prof. FELLAH Mohammed-Karim 2007 / 2008 Asservissement – Régulation
Enoncés TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels TD3 - 1
Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès
Faculté des Sciences de l'Ingénieur
Département d'Electrotechnique Enoncés TD n° 3
Réduction des blocs fonctionnels ETL 405 - ETL 412
ETL 423 - ETL 433
Exercice n°1
Déterminez les fonctions de transfert par simplifications successives des blocs fonctionnels, puis en utilisant la
règle de Mason.
a)
b)
c)
d)
e)
S(p)
E(p)
2
G
1
G
+
–
–
+
+
+
4
G
3
G
S(p)
E(p) 2
G
1
G
+
–
–
+
+
+
2
H
1
H
S(p)
E(p) 1
G 2 G3
G
2
H
1
H
4
G
+
–
–
+
+
+
S(p)
1
G 2 G3 G
2
H
1
H
E(p)
+
–
–
+
+
+
–
+
3
H
S(p)
1
G2 G3 G
1
H
3
H
4
G
E(p)
+
–
–
+
+
+
–
+
2
H

Prof. FELLAH Mohammed-Karim 2007 / 2008 Asservissement – Régulation
Enoncés TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels TD3 - 2
Exercice n°2
Soit le système suivant à 2 entrées. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p) :
S(p)
1
G 3
G4 G
6
G
7
G
2
G
E(p)
+
–
+
+
–
+
–
+
5
G
–
+ +
W(p)

Prof. FELLAH Mohammed-Karim 2007 / 2008 Asservissement – Régulation
Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels TD3 - 3
Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès
Faculté des Sciences de l'Ingénieur
Département d'Electrotechnique Solutions TD n° 3
Réduction des blocs fonctionnels ETL 405 - ETL 412
ETL 423 - ETL 433
Exercice n°1
Simplification de schémas fonctionnels, et calcul des fonctions de transfert correspondantes :
1.a)
¾ 1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
⇒
¾ 2ème méthode : Par application de la règle de Mason :
• Trouver les chaines directes et leurs gains ( j
M avec j = entier représentant le nombre de
chaines directes du système) :
Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus
d’une fois. 11
22
MG
MG
=
=
• Trouver les boucles et leurs gains :
Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus
d’une fois.
13 23
14 24
1 3
2 4
Boucle G G Boucle G G
Boucle G G Boucle G G
=− =−
==
• Trouver les j
Δ :
j
Δ = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors j Δ = 1.
Si nous éliminons le chemin 11
MG= du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :
11Δ= .
Si nous éliminons le chemin 22
MG= du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :
21Δ=.
• Trouver Δ (fonction caractéristique) :
S(p)
E(p) 2
G
1
G
+
–
–
+
+
+
4
G
3
G
S
E 12
GG+
34
GG−
–
+
S
E
()()
12
1234
1
GG
GGGG
+
++ −
S(p)
E(p)
1
G
2
G
3
G
4
G−
1
1−
1

Prof. FELLAH Mohammed-Karim 2007 / 2008 Asservissement – Régulation
Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels TD3 - 4
()
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
Δ= −
+
−
+
∑
∑
∑
()
13 14 23 24
1 () () ()....GG GG GG GGΔ= − − + − + + − +
()()
13 14 23 24 1 2 3 4
11GG GG GG GG G G G G⇒Δ=+ − + − =++ −
• La solution est alors :
(
)
(
)
12
1234
()
() 1
jj
j
M
Sp G G
Ep G G G G
Δ
+
==
Δ++−
∑
1.b)
¾ 1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
⇒
S(p)
E(p) 2
G
1
G
+
–
–
+
+
+
2
H
1
H
S
E 2
G
1
G
+
–
–
+
+
+
2
H
1
H
S
E 2
G
1
G
+
–
+
+
12
HH−
E 1
1G+
(
)
2
21 2
1
G
GH H+− S E
(
)
(
)
21
21 2
1
1
GG
GH H
+
+−
S

Prof. FELLAH Mohammed-Karim 2007 / 2008 Asservissement – Régulation
Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels TD3 - 5
¾ 2ème méthode : Par application de la règle de Mason :
• Trouver les chaines directes et leurs gains ( j
M avec j = entier représentant le nombre de
chaines directes du système) :
Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus
d’une fois. 112
22
MGG
MG
=
=
• Trouver les boucles et leurs gains :
Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus
d’une fois.
21
22
1
2
Boucle G H
Boucle G H
=−
=
• Trouver les j
Δ :
j
Δ = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors j Δ = 1.
Si nous éliminons le chemin 112
MGG= du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :
11Δ= .
Si nous éliminons le chemin 22
MG= du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :
21Δ=.
• Trouver Δ (fonction caractéristique) :
()
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
Δ= −
+
−
+
∑
∑
∑
()
21 22
1
()
()
()....
GH GHΔ= − − +
+
−
+
()
21 22 2 1 2
11GH GH G H H⇒Δ=+ − =+ −
• La solution est alors :
()
()
()
21
12 2
21 2 21 2
1
()
() 1 1
jj
j
M
GG
Sp GG G
Ep G H H G H H
Δ
+
+
== =
Δ+− +−
∑
S(p)
E(p)
1
G
2
G
1
H
2
H−
1
1−
1 1 1