CoursDF

Mathématiques
par
Stéphane Perret
Version 3.304
I
Logique et
raisonnement
II
Calcul
algébrique
III
Trigonométrie
IV
Fonctions
VI
Continuité,
comportement
asymptotique
et dérivée
VII
Calcul
intégral
V
Géométrie
VIII
Combinatoire
et
probabilités

Table des matières
I Logique et raisonnement 1
1 Les principes de base de la logique 3
1.1 Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lesimplications................................ 4
1.4 La réciproque d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Leséquivalences................................ 5
1.6 Le contraire d’une expression bien formée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Lacontraposée ................................ 6
1.8 Trois méthodes pour démontrer des implications . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Contre-exemples................................ 8
1.10 La découverte des nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
i

Lycée cantonal de Porrentruy
Mathématiques : table des matières
Cours de Mathématiques
II Calcul algébrique 11
2 Ensembles, nombres et calcul algébrique 13
2.1 Ensembles et opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Ladroiteréelle ................................ 17
2.3.1 Lesintervalles............................. 17
2.3.2 Écriture décimale et scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Addition, neutre additif, opposé et soustraction . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Multiplication, neutre multiplicatif, inverse et division . . . . . . . 20
2.4.3 Règles concernant les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Puissances, bases et exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.5 Les identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.6 Les racines n-ièmes.......................... 27
2.4.7 Extension de la notion d’exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.8 Leslogarithmes............................ 29
2.4.9 Analogies entre les diverses opérations . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.10 Règle des signes, valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.11 Un peu de vocabulaire : simplifier, développer, factoriser . . . . . 30
3 Sommes, séries arithmétiques et géométriques 31
3.1 Lesymbolesomme .............................. 31
3.2 Séries arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Sériesgéométriques.............................. 34
3.4 Application : calculs d’intérêts et capitalisation . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Capitalisation............................. 36
3.4.2 Actualisation ............................. 38
3.4.3 Équivalence de capitaux et échéance moyenne . . . . . . . . . . . 38
4 Équations polynomiales 39
4.1 Résolution des équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 La propriété du produit dans les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Lien entre factorisation et recherche de solutions . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Résolution des équations du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Les équations du deuxième degré camouflées . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Résolution des équations de degré supérieur à deux . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Systèmes d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Factorisation de polynômes 47
5.1 Polynômes de degré n............................ 47
5.2 Factorisation des polynômes de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Factorisation des polynômes de degré 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Autre preuve que la racine de 2 est irrationnelle . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6 Le schéma de Horner (version la plus générale) . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Le lemme de Gauss (version la plus générale) . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.8 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . . . . . . . . . . 55
5.9 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
S. Perret page ii Version 3.304

Cours de Mathématiques
Mathématiques : table des matières
Lycée cantonal de Porrentruy
III Trigonométrie 59
6 Trigonométrie 61
6.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1 Lesangles............................... 61
6.1.2 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.3 Formules de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.4 Les fonctions tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Valeurs des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Les triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4 Les triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.5 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.6 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.7 Formules trigonométriques d’additions des angles . . . . . . . . . . . . . 76
7 Un astrolabe 79
Version 3.304 page iii S. Perret