Lycée cantonal de Porrentruy
Mathématiques : table des matières
Cours de Mathématiques
II Calcul algébrique 11
2 Ensembles, nombres et calcul algébrique 13
2.1 Ensembles et opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Ladroiteréelle ................................ 17
2.3.1 Lesintervalles............................. 17
2.3.2 Écriture décimale et scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Addition, neutre additif, opposé et soustraction . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Multiplication, neutre multiplicatif, inverse et division . . . . . . . 20
2.4.3 Règles concernant les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Puissances, bases et exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.5 Les identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.6 Les racines n-ièmes.......................... 27
2.4.7 Extension de la notion d’exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.8 Leslogarithmes............................ 29
2.4.9 Analogies entre les diverses opérations . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.10 Règle des signes, valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.11 Un peu de vocabulaire : simplifier, développer, factoriser . . . . . 30
3 Sommes, séries arithmétiques et géométriques 31
3.1 Lesymbolesomme .............................. 31
3.2 Séries arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Sériesgéométriques.............................. 34
3.4 Application : calculs d’intérêts et capitalisation . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Capitalisation............................. 36
3.4.2 Actualisation ............................. 38
3.4.3 Équivalence de capitaux et échéance moyenne . . . . . . . . . . . 38
4 Équations polynomiales 39
4.1 Résolution des équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 La propriété du produit dans les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Lien entre factorisation et recherche de solutions . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Résolution des équations du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Les équations du deuxième degré camouflées . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Résolution des équations de degré supérieur à deux . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Systèmes d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Factorisation de polynômes 47
5.1 Polynômes de degré n............................ 47
5.2 Factorisation des polynômes de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Factorisation des polynômes de degré 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Autre preuve que la racine de 2 est irrationnelle . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6 Le schéma de Horner (version la plus générale) . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Le lemme de Gauss (version la plus générale) . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.8 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . . . . . . . . . . 55
5.9 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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