Cours de : Technologie de construction
Objectifs
Licence 2 en Génie Mécanique
- Déterminer le degré d’hyperstatisme et la mobilité d’un système
mécanique.
- Proposer les solutions adéquates pour remédier aux
problèmesd’hyperstatisme.
- Pour maîtriser le comportement d’un mécanisme (afin, par exemple, d’obtenir une précision
voulue de mise en position d’une pièce par rapport à une autre, ou d’éviter une usure prématurée,
un coincement, ou un montage impossible) il faut connaître précisément la position relative de
chaque liaison, ainsi que les torseurs d’actions mécanique correspondants.
I/- Hypothèse de l’étude :
- Les résultats que nous allons mettre en place seront valables pour :
Des pièces modélisées par des solides indéformables.
Des liaisons sans frottement.
Des liaisons à contact bilatéral c'est-à-dire des liaisons dans les quelles le contact est supposé
maintenu si le sens des actions mécaniques est inversé.
Des pièces de masses supposées nulles.
II/- Définitions :
II-1/- Mécanisme :
- C’est un assemblage d’éléments capables de transformer l’énergie mécanique (exemple : système
bielle manivelle, vis écrou, réducteur…).
- Un mécanisme possède au moins une entrée où l’on applique l’action motrice et au moins, une
sortie réceptrice.
II-2/- Loi entrée - sortie :
- Il s’agit d’une relation entre les variables d’entrée et de sortie.
II-3/- Mobilités utiles :
- Elles justifient le mécanisme. Par exemple dans une automobile, la translation du piston entraîne
la rotation de la roue après embrayage.
==> Posons m u le nombre de mobilités utiles.
II-4/- Mobilités internes :
- Elles n’interviennent pas dans le fonctionnement du mécanisme. Par exemple, l’axe du piston le
reliant à la bielle peut tourner autour delui-même.
==> Posons m i le nombre de mobilité interne.
II-5/- Isostatisme et hyperstatisme :
- Lors qu’on peut déterminer les actions mécaniques à l’aide des seules équations de la statique, on
dit que le système est isostatique ; si non il est classéhyperstatique.
III/- Notations :
nc : nombre d’inconnuescinématiques
e : nombre de degrés de liberté
Pour une liaison
nc = e
ns : nombre d’inconnus statiques de liaisons
Pour une liaison
nc + ns = 6
Analyse des systèmes mécaniques
1/10
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
IV/- Degré d’hyperstatisme :
IV-1/- Etude statique :
- Pour un mécanisme comprenant avec le bâti n sous ensembles,
s, l’isolement de chacun, excepté le
bâti, conduit à 6.(n-1) équations.
L’ensemble des mobilités procure mu relations dépendantes et mi relations non
n significatives (du
genre 0=0).
Pour un mécanisme isostatique :
6.(n-1) – (mu + mi) = ∑ ns
Pour un mécanisme hyperstatique :
6.(n-1) – (mu + mi) = ∑ ns – h
Avec h : représente le degré d’hyperstatisme
statisme.
D’où
h = mu + mi - 6.(n -1) + ∑ ns
IV-2/- Etude cinématique :
- Pour chaque boucle fermée indépendante du graphe de liaison (ou de structure) on peut écrire :
∑{υi}A = {o}A
Cela procure 6 relations algébriques.
- Compte tenu des mobilités m, on peut écrire :
Pour un mécanisme isostatique : nc – 6 = m
Pour un mécanisme hyperstatique :nc – 6 = m – h
Avec : m = mu + mi
V/-Liaison Equivalente :
- Supposant qu’il existe entre deux pièces (S1) et (S2) plusieurs liaisons réalisées avec ou sans
pièces intermédiaires.
L1
S1
S2
L2
Fig 1
L3
S3
L4
- La liaison équivalente à l’ensemble des liaisons situées entre les pièces (S1) et (S2) est la liaison
théorique de référence (L12) qui ale
le même comportement que cette association de liaisons.
- C’est-à-dire
dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement.
S1
L12
S2
Fig 2
V-1/- Liaisons en parallèle :
V-1-1/- Définition :
- n liaison (L1), (L2),… et (Ln) sont disposées en
parallèle entre deux solides (S1) et(S2) si chaque
liaison relie directement ces deux solides.
- Le graphe des liaisons se trace ainsi :
Analyse des systèmes mécaniques
Fig 3
2/10
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
V-1-2/- Détermination de la liaison équivalente :
a/- Méthode statique :
- Pour déterminer les caractéristiques du torseur statique de la liaison équivalente, appliquer
l’expression suivante :
{ τ }M :Torseur
statique de la
liaison équivalente.
{ τi }M :Torseurs statique des « n »
liaisons en parallèles.
n
{ τ }M= ∑ { τi }M
i=1
Exemple :
1
Y
2
2
O
A
X
(L2)
(L1)
OA = L X
Fig 4
1
Schéma cinématique
Questions :
1/- Tracer le graphe de liaison.
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
2/- Déterminer le torseur statique de la liaison équivalente aux deux liaisons en parallèle (L1) et
(L2)……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
b/- Méthode cinématique :
- Le torseur
seur cinématique de la liaison équivalente doit être compatible avec tous les torseurs
cinématiques des liaisons (Li) :
{ υ }M :Torseur
{ υ }M={ υ1 }M={ υ2 }M= …. = { υn }M
Analyse des systèmes mécaniques
3/10
cinématique de
la liaison équivalente.
{ υn }M :Torseurs cinématique des
« n » liaisons en parallèles.
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
Exemple :
Y
OA = L X
L1
1
L2
2
O
2
A
(L1)
X
(L2)
Fig 5
1
Question :
Déterminer la nature de la liaison équivalente aux deux liaisons en parallèle (L1) et(L2).
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
V-1-3/- Hyperstatisme :
n
- Le nombre des inconnues statiques introduit par le n liaisons en parallèle est : ns =
- Soit rs le nombre d’équations scalaires indépendantes (rs≤ 6).
- Le degré d’hyperstatisme hde la liaison équivalente auxn liaisons en parallèle est :
∑n
i =1
si
h = ns - rs
Lorsque h = 0 la liaison équivalente est dite isostatique.
h> 0 la liaison équivalente est dite hyperstatique d’ordre h.
- Leshinconnues statiques qui ne peuvent pas être calculées en fonction des composantes X, Y, Z, L,
M et N du torseur statique de la liaison équivalente sont appelées inconnueshyperstatiques.
V-1-4/- Mobilité :
- Le degré de mobilité m de la liaison équivalente au n liaisons en parallèle est :
m = 6 - rs
Lorsquem = 0 la liaison équivalente est dite complète ou rigide.
m> 0 la liaison équivalente est dite à mobilité à « m » degré de liberté.
Analyse des systèmes mécaniques
4/10
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
V-2/- Liaisons en série :
V-2-1/- Définition :
- n liaison (L1), (L2),… et (Ln) sont disposées en série entre deux solides (S0) et(Sn) si elles sont
disposées à la suite l’une de l’autre par l’intermédiaire de (n-1) solides.
- Le graphe des liaisons se trace ainsi :
(L1)
0
1
(L2)
2
(L3)
(Li)
i
(Li+1)
(Ln)
n
Fig 6
V-2-2/- Détermination de la liaison équivalente :
a/- Méthode statique :
- Le torseur statique { τ i }de la liaison (Li) représente dans cette étude l’action mécanique du solide
(i-1) sur le solide (i). Et par conséquent, le torseur { τ }de la liaison équivalente représente l’action
mécanique du solide (0) sur le solide (n). Il doit vérifier la relation suivante :
{ τ }M={ τ 1 }M={ τ 2 }M= …. = { τ n }M
{ τ }M : Torseur statique de la
liaison équivalente.
{ τ n }M :Torseurs statiquedes n
liaisons en série.
Exemple :
2
- Soit une chaîne continue ouverte constituée par trois solides
(0), (1) et (2).
Questions :
1/- Tracer le graphe de liaison et déduire le schéma
cinématique du système.
2/- Déterminer le torseur statique de la liaison équivalente
(L20 ).
1
0
Fig 7
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Analyse des systèmes mécaniques
5/10
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
b/- Méthode cinématique :
- La relation entre le torseur { υ }de la liaison équivalente et les torseurs { υi } des liaisons (Li),
disposées en série, s’obtient en écrivant la relation de composition des torseurs cinématique entre
les différents solides au présence :
{ υ }M :Torseur cinématique de la
liaison équivalente.
{ υi }M :Torseurs cinématique des n
liaisons en série.
n
{ υ }M= ∑ { υi }M
i=1
Exemple :
- La figure ci-dessous représente le schéma cinématique du mécanisme proposé dans le paragraphe
précédent :
Y
2
OA = -h Y
1
O
(L1)
Fig 8
X
A
(L2)
0
Question :
Montrer que la liaison équivalente qui existe entre le solide (2) et le solide (0) est ponctuelle.
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Analyse des systèmes mécaniques
6/10
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
V-2-3/- Hyperstatisme :
- L’écriture de la relation {τ0/1}M = {τ1/2}M= {τ2/3}M= …. ={τn-1/n}Mpermet la détermination de
toutes les composantes Xi, Yi, Zi, Li, Miet Ni du torseur statique {τi} en fonction des composantesX,
Y, Z, L, M et N du torseur statique{τéq}de la liaison équivalente.
- Par conséquent, la liaison équivalente aux n liaisons en série entre (S0) et (Sn) est toujours
isostatique. (h = 0)
V-2-4/- Mobilité :
n
- Le nombre des inconnues cinématiques introduit par le n liaisons en série est : nc =
∑
n ci
i=0
n
- Le degré de mobilité m de la chaîne continue ouverte comprenant n liaisons est égal au nombre nc
∑ n ci
d’inconnues cinématiques introduit par les n liaisons en série est :
i=0
m = nc
- Comme l’introduction successive de solides intermédiaires entre (S0) et (Sn) ne peut qu’augmenter
le degré de mobilité de la chaîne continue ouverte ; on a : m = mu + mi.
- Le degré de mobilité mude la liaison équivalente aux nliaisons en série entre (S0) et (Sn) est égale
au nombre de inconnues cinématiques indépendantes du torseur cinématique de la liaison
équivalente.
- mu : est aussi appelé degré de mobilité utile de la chaîne continue ouverte.
- mi :est appelé degré de mobilité interne de la chaîne continue ouverte.
VI/-Chaîne continue fermée :
- Une chaîne continue ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux constitue une
chaîne continue fermée de n+1solides assemblés en série par n+1 liaisons.
- Une chaîne continue fermée est aussi appelée chaîne simple ou boucle.
VI-1/- Etude statique :
- Soit un mécanisme former de n solides reliés par n liaisons .On applique le P.F.S à chaque solide
hormis le bâti, pour chaque solide on peut écrire 6 équations.
On a donc : es = 6(n - 1) équations.
VI-2/- Hyperstatisme :
- Le degré d’hyperstatisme h de la chaîne continue fermée est égal :
h = ns- rs
(1)
- Dans cette étude statique, on peut montre que le degré de mobilité m de la chaîne continue fermée
est :
m=6.(n-1)-rs
Analyse des systèmes mécaniques
7/10
(2)
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
- En éliminant rsentre (1) et (2), on obtient la relation suivante entre le degré d’hyperstatisme het le
degré de mobilité m.
h = m – 6(n-1)+ns
- On démontre que le degré d’hyperstatisme de la chaîne continue ferméeest :
h = m + 6 - nc
- Cette relation permet le calcul de degré d’hyperstatisme connaissant le degré de mobilité.
VI-3/- Etude cinématique :
- Le torseur cinématique {νi}de la liaison (Li) représente dans cette étude le mouvement du
solide (Si) par rapport au solide (Si-1).
- En écrivant la relation de composition des torseurs cinématiques entre les différents solides en
présence, on obtient :
Vs / s
0
0
o
=
Vs /s
0
n
+
o
Vs /s
n
n −1
+ ... +
Vs / s
1
0
{ }
= 0
o
VI-4/- Mobilité :
- Le degré de mobilité m de la chaîne continue fermée est égal :
m = nc- rc
-
rc: Le rang du système (relations indépendantes entre les inconnues cinématiques).
VI-5/- Applications :
y
- Considérons un mécanisme de commande par un
excentrique.
- Soit R (o, x, y, z) un repère lié au bâti (S0).
- L’excentrique (S1) est assimilé a un cylindre de
révolution d’axe (c, z), de rayon a. (S1) a une
liaison pivot (L1) d’axe (o, z) avec (S0).
- Soit R1(o, x1, y1, z1) un repère lié
àl’excentrique(S1) tel que :
OC = e x1 (e ≥ 0).
On pose : θ = (x, x1).
- La tige (S2), cylindre de révolution, a une liaison
pivot glissant (L3) d’axe (o, y) avec (S0).
- (S1) et (S2) ont une liaison linéaire rectiligne (L2)
d’axe (i,z) et de normale y.
Analyse des systèmes mécaniques
S2
S0
L3
i
y1
L1
Fig 9
8/10
L2
x1
S1
c
o
x
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
Questions :
1 – Par une étude cinématique déterminer le degré de mobilité de la chaîne continue fermée (S0-S1S2-S0).
2 – En déduire le degré d’hyperstatisme.
3 – Par une étude statique, déterminer l’inconnue hyperstatique de la chaîne continue fermée.
4 – Proposer une solution pour rendre ce mécanisme isostatique.
VII/-Chaîne complexe :
- Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes continues
fermées imbriquées.
VII-1/- Nombre cyclomatique :
- C’est le nombre des chaînes continues fermées indépendantes àétudier:
γ=l–n+1
γ : est appelé nombre cyclomatique;
Où l : est le nombre de liaisons de la chaîne complexe ;
n : est le nombre des solides de la chaîne complexe ;
VII-2/- Etude statique :
- Soient n le nombre de solides et nsle nombre des inconnues statique introduit par les l liaisons.
- En appliquant le principe fondamental de la statique successivement à(n - 1) solides de la chaîne
complexe on obtient 6(n - 1) équations scalaires entre le nsinconnues statiques.
- Soit rsle nombre d’équations scalaires indépendantes (rs≤Es = 6(n - 1))
VII-3/- Hyperstatisme :
- Le degré d’hyperstatismeh de la chaîne complexe est égal :
h = ns - rs
(1)
- Dans cette étude statique, on peut montrer que le degré de mobilité m de la chaîne complexe est :
m = 6 (n-1) - rs
(2)
- En éliminant rsentre (1) et (2), on obtient la relation suivante entre le degré d’hyperstatisme het le
degré de mobilité m.
(Loi de mobilité)
h = m – 6 (n-1)+ ns
- On démontre que le degré d’hyperstatisme de la chaîne complexe est :
h = m + 6γ - nc
- Cette relation permet le calcul de degré d’hyperstatisme connaissant le degré de mobilité de la
chaîne complexe.
Analyse des systèmes mécaniques
9/10
Cours de : Technologie de construction
Licence 2 en Génie Mécanique
VII-4/- Etude cinématique :
- En écrivant pour les γ chaînes continues fermées la loi de composition des torseurs cinématiques,
on obtient 6γrelations scalaires entre les ncinconnues cinématiques de la chaîne complexe.
- Soit rcle nombre d’équations scalaires indépendantes (rc≤ 6γ)
VII-5/- Mobilité :
- Le degré de mobilité m de la chaîne complexe est égal :
m = nc - rc
VII-6/- Applications :
- Considérons un étau serrant une pièce (S3) de la
forme parallélépipédique.
y
L5
L4
S1
- Soit R (o, x, y, z) un repère lié au mors fixe (S0).
- Le mors mobile (S1) a une liaison glissière (L1) de
direction x avec (S0).
- La vis de manœuvre (S2) a une liaison pivot
(L3)d’axe (o,x), et une liaison hélicoïdale (L2)d’axe
(o, x) avec (S1).
S2
S3
L3
L2
x
o
S0
- La liaison de la pièce (S3) avec le mors fixe (S0) et
le morsmobile (S1) sont des liaisons planes (L5) et
(L4)respectivement, de normale x.
L1
Fig 10
Questions :
1 – Tracer le graphe des liaisons et
indépendantes de ce mécanisme.
déterminer le nombre des chaînes continues fermées
2 – Par une étude cinématique déterminer le degré de mobilité de la chaîne complexe.
3 – En déduire le degré d’hyperstatisme.
4 – Par une étude statique, déterminer l’inconnue hyperstatique du mécanisme.
5 – A quelles conditions dimensionnelles et angulaires de position relative des liaisons
correspondant-elles ?
Analyse des systèmes mécaniques
10/10
